4.5 利用三角形全等测距离 一课一练（含解析）

初中数学北师大版七年级下学期 第四章 4.5 利用三角形全等测距离
一、单选题
1.要测量河两岸相对的两点 ， 的距离，先在 的垂线 上取两点 ， ，使 ，再作出 的垂线 ，使 ， ， 在一条直线上（如图），可以说明 ，得 ，因此测得 的长就是 的长.判定 最恰当的理由是（?? ）
A.?边角边?????????????????????????????B.?角边角?????????????????????????????C.?边边边?????????????????????????????D.?斜边、直角边
2.在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（?? ）
A.?a???????????????????????????????????B.?b???????????????????????????????????C.?b﹣a???????????????????????????????????D.?（b﹣a）
3.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事方法是（ ?）
A.?带①去?????????????????????????????B.?带②去?????????????????????????????C.?带③去?????????????????????????????D.?①②③都带去
4.如图小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB= AD，BC= DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。此角平分仪的画图原理是(?? ?)
A.?SSS?????????????????????????????????????B.?SAS?????????????????????????????????????C.?ASA?????????????????????????????????????D.?AAS
5.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长到点D，使 ，连接BC并延长到点E，使 ，连接DE并且测出DE的长即为A，B间的距离，这样实际上可以得到 ，理由是（?? ）
A.?SSS?????????????????????????????????????B.?AAS?????????????????????????????????????C.?ASA?????????????????????????????????????D.?SAS
6.装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图所示），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（?? ）
A.?①?????????????????????????????????????????B.?②?????????????????????????????????????????C.?③?????????????????????????????????????????D.?④
二、填空题
7.如图，在 中， ， ，点E，F是AD上的任意两点、若 ， ，则图中阴影部分的面积为________．
8.如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，若测得DE的长为25米，则河宽AB长为________．
9.如图，把两根钢条 ， 的中点连在一起做成卡钳，可测量工件内槽的宽，已知 的长度是 ，则工件内槽的宽 是________cm．
10.如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动________分钟后△CAP与△PQB全等.
11.如图，要测量池塘两岸相对的两点A ， B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C ， D ， 使BC=CD ， 再画出BF的垂线DE ， 使E与A ， C在一条直线上.若想知道两点A ， B的距离，只需要测量出线段________即可．
12.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1、2、3、4的四块)．你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第________块。依据________?。
三、解答题
13.如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE＝CG；②在BC上取BD＝CF；③量出DE的长为a m，FG的长为b m．如果a＝b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？
14.如图所示，C、D分别位于路段A、B两点的正北处与正南处，现有两车分别从E、F两处出发，以相同的速度直线行驶，相同时间后分别到达C、D两地，休整一段时间后又以原来的速度直线行驶，最终同时到达A、B两点，那么CE与DF平行吗？为什么？
15.某中学八年级同学到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一池塘，同学们想知道池塘两端的距离.某同学设计了如下测量方案：先取一个可直接到达池塘的两端的点 ， 的点 ，连接 ， ，分别延长 至点 ， 至点 ，使得 ， .再测出 的长度即可知道 之间的距离.他的方案可行吗？请说明理由.
16.如图，一根电线杆 直立在水平地面上的点 处，分别用钢丝绳 ， 将它加固，两根钢丝绳分别固定在地面上的点 处，点 在同一条直线上，小明测得 ，两根钢丝绳相等吗？请说明理由.
17.仅用一块没有刻度的直角三角板能画出图1∠AOB的平分线吗?
小刚想出了这样的方法：如图2所示，先将直角三角板的一个锐角顶点和∠AOB的顶点O重合，一条直角边与OA重叠(重叠部分为OC)，沿另一条直角边画出直线m；再将三角板的同一锐角顶点与O重合，同一条直角边与OB重叠(重叠部分为OD)，沿另一条直角边画山直线n，m与n交于点P，连接OP并延长，则射线OP为∠AOB的平分线，你认为小刚的方法正确吗?为什么?

18.你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′、BB′有何数量关系，为什么？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
解：在△ABC和△EDC中，
∵∠ACB=∠ECD，BC=CD，
又∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC=∠EDC=90゜，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED.
故答案为：B.
2.【答案】 D
解：在 和 中，
?
∴ ≌ ，
∴
∵EF＝b
∴圆形容器的壁厚是
故答案为：D.
3.【答案】 C
解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.应带③去.
故答案为：C.
4.【答案】 A
解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠CAD.
故答案为：A.
5.【答案】 D
解：在 与 中，
∴AB=DE.
故答案为：D.
6.【答案】 A
解： ①?包括大三角形的两个角以及这两个角的夹边，根据ASA定理可知拿①去配，可以更换到相匹配的陶瓷片.
故答案为：A.
二、填空题
7.【答案】 12
解：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ADC≌△ADB（SSS），
∴S△ADC=S△ADB ，
∵BC=8，
∴BD=4，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴EB=EC，FB=FC，
∵EF=EF，
∴△BEF≌△CEF（SSS）
∴S△BEF=S△CEF ，
∵AD=6，
∴S阴影=S△ADB= BD?AD＝ ×4×6＝12．
故答案为：12．
8.【答案】 25米
解：根据题意可知∠B=∠D=90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=DE=25米．
故答案为：25米
9.【答案】 6
解：如图，设点O是 ， 的中点，
∴OB=OA，OC=OD，
在△BOD和△AOC中，
∵OB=OA，∠BOD=∠AOC，OD=OC，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD=AC=6cm．
故答案为：6．
10.【答案】 4
解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12-x）m，
分两种情况：
①若BP=AC，则x=4，
AP=12-4=8，BQ=8，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP=AP，则12-x=x，
解得：x=6，BQ=12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故答案为：4.
11.【答案】 DE
解：根据题意可知∠B=∠D=90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC
∴AB=DE
即只需要测量出线段DE即可.
故答案为：DE
12.【答案】 2；ASA
解：∵第二块有完整的两角和夹边，可以利用角边角定理找到和和原来三角形全等的三角形，符合题意，其他几块都没有三角形全等完整的的三要素.
故答案为：2，ASA.
三、解答题
13.【答案】 证明：这种做法合理，理由如下：在△BDE和△CFG中，BE=CG；BD=CF；DE=FG∴△BDE≌△CFG（SSS），∴∠B=∠C。故这种做法合理，
14.【答案】 解： .
证明：∵C、D分别位于路段A、B两点的正北处与正南处，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵两车分别从E、F两处出发，以相同的速度直线行驶，相同时间后分别到达C、D两地，
∴CE＝DF，
∵两车以原来的速度从C、D两地直线行驶，最终同时到达A，B两点，
∴AC＝BD，
∵
∴ (HL).
∴ .
∴ .
15.【答案】 解：可行.理由如下：
在 和 中，
.
16.【答案】 解：相等，理由如下：
∵BN=CN，
由题意得：AN⊥BC，
∴∠ANC=∠ANB，
∵AN=AN，
∴△ABN≌△ACN（SAS），
∴AB=AC.
17.【答案】 解：正确，理由如下：
∵OC和OD是三角板的同一条直角边，
∴OC=OD，
∵OP=OP，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL），
∴∠POD=∠POC.
即射线OP为∠AOB的平分线.
18.【答案】解：数量关系：AA′=BB′；
理由如下：
∵O是AB′、A′B的中点，
∴OA=OB′，OA′=OB，
在△A′OA与△BOB′中，
，
∴△A′OA≌△BOB′（SAS），
∴AA′=BB′．