4.3 探索三角形全等的条件 一课一练（含解析）

初中数学北师大版七年级下学期 第四章 4.3 探索三角形全等的条件
一、单选题
1.下列给出的简记中，不能判定两个三角形全等的是（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
2.下列所叙述的三角形一定全等的是（?? ）
A.?边长相等的两个正三角形????????????????????????????????????B.?腰相等的两个等腰三角形
C.?含有30°角的两个直角三角形??????????????????????????????D.?两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形
3.如图，已知AB=AC，BD=DC，则直接能使△ABD≌△ACD的根据是（?? ）
A.?SAS?????????????????????????????????????B.?ASA?????????????????????????????????????C.?AAS?????????????????????????????????????D.?SSS
4.如图所示，已知 ，则不一定能使 的条件是（?? ）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?平分
5.如图， 平分 ， 于点 ， 于点 ，延长 ， 交 ， 于点 ， ，下列结论错误的是（? ）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
6.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（?? ）
A.?AC＝BD??????????????????????B.?AD＝BC??????????????????????C.?∠ABD＝∠BAC??????????????????????D.?∠CAD＝∠DBC
7.如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点 B、C、E 在同一条直线上，AE与 BD交于点 O，AE与 CD交于点 G，AC与 BD交于点 F，连接 OC、FG，则下列结论要：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④OC 平分∠BOE，其中结论正确的个数有（? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
二、填空题
8.如图，已知 ，请你添加一个条件________，使得 ≌ 。

9.在 中， ，点 在 边上，且满足 ，则 ________度．
10.如图，AB与CD相交于点O，OC＝OD．若要得到△AOC≌△BOD，则应添加的条件是________．（写出一种情况即可）
11.如图，在△ABC中，点E、F分别是AB、AC边上的点，EF∥BC，点D在BC边上，连接DE、DF请你添加一个条件________，使△BED≌△FDE
12.如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，图中全等三角形共有________对．
13.如图，方格纸中△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，则在图中能够作出与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是________．
14.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，其中点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE。以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠ACE=∠DBC正确的是________

三、解答题
15.如图，AC，BD相交于点O，且 ， 求证： .

16.如图所示，已知AB//DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明．
17.如图所示，PB⊥AB于点B ， PC⊥AC于点C ， 且PB＝PC ， D是AP上一点．
求证：∠BDP＝∠CDP.
18.如图，点 在同一直线上， ，过点 分别作 ， ， ．若 与 交于点G，试证明 平分 ；
19.已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∠1＝∠2．求证：OB＝OC．
20.如图，已知在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：∠5=∠6.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
解： ， ， 能判定两个三角形全等， 不能判定两个三角形全等，
故答案为：B．
2.【答案】 A
解：A、边长相等的两个正三角形，利用SSS可得一定全等，选项符合题意；
B、腰相等的两个等腰三角形，没有指明角相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
C、含有30°角的两个直角三角形，因为没有指明边相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
D、两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，选项不符合题意；
故答案为：A．
3.【答案】 D
解：根据已知条件AB=AC，BD=DC，且△ABD与△ACD有公共边AD，
由SSS可证得△ABD≌△ACD.
故答案为：D.
4.【答案】 C
解：A、添加BD＝CD可利用SAS判定△ABD≌△ACD，故此选项不符合题意；
B、添加∠B＝∠C可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
C、添加AB＝AC不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
D、添加 平分 ，则∠BAD＝∠CAD，可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意.
故答案为：C.
5.【答案】 D
解：∵ 平分 ， 于点 ， 于点 ，
∴PC=PD，故A选项不符合题意；
∵∠ODP=∠OCP= ，
又∵OP=OP，PC=PD，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD，
∴OC=OD，故B选项不符合题意；
∵△OPC≌△OPD，
∴ ，故C选项不符合题意；
∵∠PDE=∠PCF= ，PD=PC，∠DPE=∠CPF，
∴△DPE≌△CPF，
∴PE=PF，
∵PF>PC，
∴PE>PC，故D选项符合题意；
故答案为：D．
6.【答案】 D
解：∵∠D=∠C=90°，AB=BA，
∴当AC=BD或AD=BC时，均可利用“HL”定理判定全等，故排除A，B，
当∠ABD＝∠BAC 时，可利用“AAS”判定全等，故排除C，
当∠CAD＝∠DBC时，无法判断△ABC≌△BAD.
故答案为：D.
7.【答案】 D
解：∵△ABC 和△DCE 均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，①符合题意；
∠CBD＝∠CAE，
∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG＝BF，②符合题意；
同理：△DFC≌△EGC（ASA），
∴CF＝CG，
∴△CFG 是等边三角形，
∴∠CFG＝∠FCB＝60°，
∴FG∥BE，③符合题意；
过 C 作 CM⊥AE 于 M，CN⊥BD 于 N，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠AEC，
∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，
∴△CDN≌△CEM，
∴CM＝CN，
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）
∴∠BOC＝∠EOC，
∴OC 平分∠BOE，④符合题意；
故答案为：D．
二、填空题
8.【答案】 CB=CD或∠BAC=∠DAC
解：①添加 ，根据SSS，能判定 ≌ ；②添加 ，根据SAS，能判定 ≌ ；故答案为 或 .
9.【答案】 66
解：在线段DC取点E，CE=BD，连接AE，
∵CE=BD，
∴BE=CD，
∵AB=CD，
∴AB=BE ，∠BAE=∠BEA=（180°-48°）÷2=66°，
∴∠DAE=48° ，∠AED=66°，
∴△ADB?△AEC，
∴∠BAD=∠CAE=18°，
∴∠CAD=∠DAE+∠CAE=66°．
故答案为：66．
10.【答案】 OA=OB（答案不唯一）
解：OA=OB，
理由是：在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）．
故答案为：OA=OB．（答案不唯一）
11.【答案】 BD=FE（答案不唯一）
解：当BD=FE时，△BED≌△FDE，
∵EF∥BC，
当BD=FE时，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴∠B＝∠DFE，BE＝FD
∵BD＝FE
∴△BED≌△FDE，
故答案为：BD＝FE．
12.【答案】 6
解：∵AD∥BC，OE=OF，
∴∠FAC=∠BCA，
又∠AOF=∠COE，
∴△AFO≌△CEO，
∴AO=CO，
进一步可得△AOD≌△COB，△FOD≌△EOB，△ACB≌△ACD，△ABD≌△DCB，△AOB≌△COD
共有6对．
故答案为6
13.【答案】 4
解：如图，
分三种情况，①公共边是AC，符合条件的是△ACE；②公共边是BC，符合条件的是△BCF，△CBG，△CBH；③公共边是AB，有符合条件的三角形，但是顶点不在格点上．
综上，共有4个．
14.【答案】 ①②③
解：①根据SAS定理，可判断出△BAD≌△CAE（SAS），判断出BD=CE，结论正确
②△BAD≌△CAE，可得出∠ABD=∠ACE，∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，所以BD⊥CE，结论正确
③△ABC为等腰直角三角形，∠ABD=∠ACE，∠ACE+∠DBC=45°，结论正确
④因为∠ABC=∠ACE，所以只有当∠ABD=∠DBC时，结论才成立。
综上，正确的为①②③
三、解答题
15.【答案】 证明：连接BC.

在 和 中，
，
≌ ，
，
在 和 中，

≌ .
.
16.【答案】 解：此图中有三对全等三角形．分别是：△ABF≌△DEC、△ABC≌△DEF、△BCF≌△EFC．
证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D．
又∵AB=DE、AF=DC，
∴△ABF≌△DEC．
17.【答案】 证明：∵PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，∴∠ABP=∠ACP=90°．
在Rt△ABP和Rt△ACP中，∵ ，∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL），∴∠APB=∠APC．
在△PBD与△PCD中，∵ ，∴△PBD≌△PCD（SAS），∴∠BDP=∠CDP．
18.【答案】 证明：∵AE=CF，
∴AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°，
∵在Rt△BFA和Rt△DEC中，
?，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∴在△BFG和△DEG中，
?，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG=FG，
∴BD平分EF．
19.【答案】 解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∠1＝∠2，∴OE=OD，∠BDO=∠CEO=90°，又∵∠BOD=∠COE，∴△BOD≌△COE，∴OB＝OC
20.【答案】 解：∵ ，
∴△ADC≌△ABC（ASA）.
∴DC=BC.
又∵ ，
∴△CED≌△CEB（SAS）.
∴∠5=∠6.