第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
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1.掌握等比数列前n项和的性质的应用．(重点)2.掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点)3.能用分组转化方法求数列的和．(重点、易错点)
1.通过学习等比数列前n项和公式的函数特征，体现逻辑推理素养．2.借助等比数列前n项和性质的应用及分组求和，培养学生的数学运算素养．
1．等比数列前n项和的变式
当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数).
思考：在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3n－1＋k，则实数k的取值是什么？
[提示] 由题{an}是等比数列，
∴3n的系数与常数项互为相反数，
而3n的系数为，∴k＝－.
2．等比数列前n项和的性质
性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．
性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则
①在等比数列中，若项数为2n(n∈N
)，则＝q．
②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
思考：在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，如何求S6的值？
[提示] S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.
1．设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝
．
15 [法一：a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.
法二：因为a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为＝15.]
2．已知数列{an}为等比数列，且前n项和S3＝3，S6＝27，则公比q＝
．
2 [q3＝＝＝8，所以q＝2.]
3．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝
．
(－2)n－1 [当n＝1时，S1＝a1＋，所以a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋－
＝(an－an－1)，所以an＝－2an－1，即＝－2，
所以{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，所以an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.]
4．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为
．
80 [令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，
则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知：＝q＝，
所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.]
等比数列前n项和公式的函数特征应用
【例1】 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}( )
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．是等差数列或等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
B [当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，满足上式．
∴an＝(a－1)·an－1，n∈N
.
∴＝a，∴数列{an}是等比数列．]
1．已知Sn通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
2．若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．
1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝
．
－ [显然q≠1，
此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.]
等比数列前n项和性质的应用
[探究问题]
1．在等差数列中，我们知道Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等差数列．在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列吗？为什么？
[提示] Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．
∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn，
∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，
S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)·qm＝Sm·qm.
同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…，
在Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．
2．若数列{an}为项数为偶数的等比数列，且S奇＝a1＋a3＋a5＋…，S偶＝a2＋a4＋a6＋…，那么等于何值？
[提示] 由等比数列的通项公式可知＝＝q.
【例2】 (1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为( )
A．28 B．32 C．21 D．28或－21
(2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝
．
思路探究：(1)由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列求解．
(2)利用
＝q，及S2n＝S奇＋S偶求解．
(1)A (2)24 [(1)∵{an}为等比数列，
∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，
即7，S4－7，91－S4成等比数列，
∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.
∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4
＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2
＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，
∴S4＝28.
(2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，
S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则＝q＝3，即S1＝3S2.
又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24.
即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.]
1．(变条件)将例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中Sn＝2，S3n＝14”求S4n的值．
[解] 设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列，
所以
所以或(舍去)，所以S4n＝30.
2．(变条件，变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为“项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的，又它的首项为，且中间两项的和为”求此等比数列的项数．
[解] 设等比数列为{an}，项数为2n，一个项数为2n的等比数列中，＝q.
则q＝，
又an和an＋1为中间两项，则an＋an＋1＝，即a1qn－1＋a1qn＝，
又a1＝，q＝，
∴·＋·＝?··＝?n＝6.
∴项数为2n＝12.
则此等比数列的项数为12.
1．在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算．若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0).
2．等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1).
分组求和法
【例3】 已知数列{an}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此数列是首项为1，公比为的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
思路探究：通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为的等比数
列的前n项和，数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了．
[解] (1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋＋＋…＋＝.
(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝＋＋…＋
＝n－＝(2n－1)＋.
分组转化求和法的应用条件和解题步骤
(1)应用条件
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．
(2)解题步骤
2．求数列2，4，6，…，2n＋，…的前n项和Sn.
[解] Sn＝2＋4＋6＋…＋
＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋
＝＋
＝n(n＋1)＋－.
1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg
an}构成等差数列．
2．等比数列前n项和中用到的数学思想
(1)分类讨论思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0，0
1或a1>0，0(2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1).设A＝，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系．
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解．
1．判断正误
(1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.
( )
(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1－1，则a＝1.
( )
(3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．
( )
(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
[提示] (1)＝q＝＝；(2)由等比数列前n项和的特点知a＝1得a＝3；(4)由S3，S6－S3，S9－S6成等比数列知(4)错误．
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A．3∶4
B．2∶3
C．1∶2
D．1∶3
A [在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.]
3．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝
．
－63 [法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；
当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；
当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；
当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32.
所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.
法二：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.]
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值．
[解] 由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．
由题意可知上面数列的首项为S4＝2，公比为＝2，
故S4n－S4n－4＝2n(n≥2)，
所以a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32.
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-2.5 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
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1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)2.会用错位相减法求数列的和．(重点)3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．
1.通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养．2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养．
1．等比数列前n项和公式
思考：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?
[提示] 可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．
2．错位相减法
(1)推导等比数列前n项和的方法
一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，
①
用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，
②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
整理得Sn＝(q≠1).
(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.
思考：等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？
[提示] 根据等比数列的定义，有：＝＝＝…＝＝q，
再由合比定理，
则得＝q，
即＝q，进而可求Sn.
1．等比数列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n项和Sn为( )
A．
B．
C.
D．
C [当x＝1时，数列为常数列，又a1＝1，所以Sn＝n.
当x≠1时，q＝x，Sn＝＝.]
2．等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则S5＝
．
31 [S5＝＝＝31.]
3．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为
．
4 [由S5＝＝44，解得a1＝4.]
4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为
．
11(1.15－1)a [去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a·＝11(1.15－1)a.]
等比数列基本量的运算
【例1】 在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＝8，an＝，Sn＝，求n；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
[解] (1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或
Sn＝.
(2)显然q≠1，由Sn＝，即＝，
∴q＝.又an＝a1qn－1，即8×＝，∴n＝6.
(3)因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．
从而或
又Sn＝＝126，所以q为2或.
1．在等比数列
{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
1．在等比数列{an}中．
(1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q；
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
[解] (1)由Sn＝得11＝，∴q＝－2，
又由an＝a1qn－1得16＝(－2)n－1，
∴n＝5.
(2)若q＝1，则S8＝2S4，不合题意，
∴q≠1，
∴S4＝＝1，
S8＝＝17，
两式相除得＝17＝1＋q4，
∴q＝2或q＝－2，
∴a1＝或a1＝－，
∴an＝·2n－1或－·(－2)n－1.
等比数列前n项和公式的实际应用
【例2】 借贷10
000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)
思路探究：解决等额还贷问题关键要明白以下两点：
(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少．
[解] 法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，
则a0＝10
000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.
由题意，可知a6＝0，
即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，
a＝.
∵1.016≈1.061，∴a＝≈1
739.
故每月应支付1
739元．
法二：一方面，借款10
000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为
S1＝104(1＋0.01)6
＝104×(1.01)6(元).
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a
＝＝a[1.016－1]×102(元).
由S1＝S2，得a＝.
以下解法同法一，得a≈1
739，故每月应支付1
739元．
解数列应用题的具体方法步骤
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
2．一个热气球在第一分钟上升了25
m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.
这个热气球上升的高度能超过125
m吗？
[解] 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，
由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×[1－()n]
<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125
m．
错位相减法求和
[探究问题]
1．对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?
[提示] 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝＝264－1.
2．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？
[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.
3．在等式
Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？
[提示] 在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
两边同乘以{2n}的公比可变形为
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1
＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.
此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．
【例3】 已知等比数列{an}满足：a1＝，a1，a2，a3－成等差数列，公比q∈(0，1)，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
思路探究：(1)根据a1，a2，a3－成等差数列求得公比q，写出通项公式；
(2)由bn＝nan可知利用错位相减法求和．
[解] (1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝，因为a1，a2，a3－成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－，即得4q2－8q＋3＝0，解得q＝或q＝，
又因为q∈(0，1)，所以q＝，
所以an＝·＝.
(2)根据题意得bn＝nan＝，
Sn＝＋＋＋…＋，①
Sn＝＋＋＋…＋，②
作差得Sn＝＋＋＋…＋－，Sn＝2－(n＋2).
本题中设cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn′.
[解] 由题意知cn＝n·2n，
所以Sn′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n，
2Sn′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1，
两式相减得：－Sn′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Sn′＝(n－1)·2n＋1＋2.
错位相减法的适用题目及注意事项
(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
(2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和．
1．判断正误
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．
( )
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.
( )
(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N
)，则此数列一定是等比数列．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
[提示] (1)错误．在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．
(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.
(3)正确．根据等比数列前n项和公式Sn＝(q≠0且q≠1)变形为Sn＝－qn(q≠0且q≠1)，若令a＝，则和式可变形为Sn＝a－aqn.
2．在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝( )
A．－ B． C．－或1 D．或1
C [由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或1.]
3．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝
．
510 [a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，两式联立解得q＝2或，而q为整数，
所以q＝2，a1＝2，代入公式求得S8＝＝510.]
4．求和：＋＋＋＋…＋.
[解] 设Sn＝＋＋＋＋…＋
＝＋＋＋＋…＋＋，
①
则Sn＝＋＋＋…＋＋.
②
①－②，得Sn＝＋＋＋＋…＋－
＝＋＋＋…＋－
＝＋－＝－－
＝－，∴Sn＝3－.
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10
-第2课时 等比数列的性质
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目
标
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养
1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式．(难点)
1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养．2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养．
1．推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N
).
2．“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk．
思考：如何推导an＝amqn－m?
[提示] 由＝＝qn－m，
∴an＝am·qn－m.
3．等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am·an＝ap·aq．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N
)时，am·an＝a．
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
4．两等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列．
思考：等比数列{an}的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是
(1){3an}是等比数列；
(2){3＋an}是等比数列；
(3)是等比数列；
(4){a2n}是等比数列．
[提示] 由定义可判断出(1)(3)(4)正确．
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
[答案] D
2．等比数列{an}中，a1＝3，q＝2，则a4＝
，an＝
．
24 3×2n－1 [a4＝a1q3＝3×23＝24，an＝a1qn－1＝3×2n－1.]
3．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝
．
9 [因为a7＝a5q2，所以q2＝.
所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×＝9.]
4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为
．
25 [因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25.]
灵活设项求解等比数列
【例1】 已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，则此4个数为
．
8，－2，，－或－，，－2，8 [设此4个数为a，aq，aq2，aq3.
则a4q6＝1，aq(1＋q)＝－，①
所以a2q3＝±1，当a2q3＝1时，q>0，代入①式化简可得q2－q＋1＝0，此方程无解；
当a2q3＝－1时，q<0，代入①式化简可得q2＋q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－.
当q＝－4时，a＝－；
当q＝－时，a＝8.
所以这4个数为8，－2，，－或－，，－2，8.]
巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2.
(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3.
1．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
[解] 由题意设此四个数为，b，bq，a，
则有
解得或
所以这四个数为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8.
等比数列的性质及应用
【例2】 已知{an}为等比数列．
(1){an}满足a2a4＝，求a1aa5；
(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
思路探究：利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq求解．
[解] (1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝.
(2)由等比中项，化简条件得
a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5＝5.
(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2…a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．
2．(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7；
(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
[解] (1)法一：相除得q8＝9.
所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.
法二：因为a＝a3a11＝81，所以a7＝±9，
又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.
(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.
所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±.
由递推公式转化为等比数列求通项
[探究问题]
1．如果数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N
)，你能判断出{an}是等差数列，还是等比数列吗？
[提示] 由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列．
2．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？
[提示] 在an＋1＝2an＋1两边都加1得
an＋1＋1＝2(an＋1)，显然数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以q＝2为公比的等比数列．
3．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1改为an＋1＝3an＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？
[提示] 先将an＋1＝3an＋5变形为an＋1＋x＝3(an＋x).将该式整理为an＋1＝3an＋2x与an＋1＝3an＋5对比可知2x＝5，即x＝；所以在an＋1＝3an＋5两边都加，可构造出等比数列.利用等比数列求出an＋即可求出an.
【例3】 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.
(1)求a1的值；
(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．
思路探究：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；
(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．
[解] (1)因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.
(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n≥2时，
Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，
又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，
且b1＝a1－1＝2≠0，
所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．
1．将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改为“bn＝an＋1－2an”，试证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式．
[证明] an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.
＝＝
＝＝2.
所以数列{bn}是公比为2的等比数列，
首项为a2－2a1.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，
所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3.
所以bn＝3·2n－1.
2．将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，a＝2a＋anan＋1”，试证明数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式．
[解] 由已知得a－anan＋1－2a＝0，
所以(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0.
所以an＋1－2an＝0或an＋1＋an＝0，
(1)当an＋1－2an＝0时，＝2.又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．所以an＝2n－1.
(2)当an＋1＋an＝0时，＝－1，又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列，
所以an＝1×(－1)n－1＝(－1)n－1.
综上：an＝2n－1或(－1)n－1.
1．已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．
2．由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}．
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．
2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
1．判断正误
(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．
( )
(2)当q>1时，{an}为递增数列．
( )
(3)当q＝1时，{an}为常数列．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
[提示] (2)当a1>0且q>1时{an}为递增数列，故(2)错．
2．在正项等比数列{an}中，3a1，a3，2a2成等差数列，则等于( )
A．3或－1
B．9或1
C．1
D．9
D [由3a1，a3，2a2成等差数列可得a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q，
∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.
解得q＝3或q＝－1(舍).
∴＝＝＝q2＝9.]
3．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为
．
8 [设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b>0，∴b＝2(舍负).所以这3个数的积为abc＝4×2＝8.]
4．已知数列{an}为等比数列．
(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；
(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.
[解] (1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6，
∴a1a3＝36.
又∵a1＋a3＝21－a2＝15，
∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.
当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n－1；
当a1＝12时，q＝，an＝12·.
(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，∴q＝±.
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1
-2.4 等比数列
第1课时 等比数列
学
习
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标
核
心
素
养
1.理解等比数列的定义．(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)
1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养．2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养．
1．等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).
(2)符号语言：
＝q(q为常数，q≠0，n∈N
).
思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？
[提示] 不能．
2．等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫做a，b的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝ab．
思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？
[提示] 不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．
3．等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列{·qn}中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．
思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式？
[提示] 还可以用累乘法．
当n>2时，＝q，＝q，…，＝q，
∴an＝a1··…·＝a1·qn－1.
1．2＋和2－的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
C [设2＋和2－的等比中项为a，则a2＝(2＋)(2－)＝1.即a＝±1.]
2．下列数列为等比数列的序号是
．
①2，22，3×22；②，，，，(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0，0，0，0，0.
② [≠，所以①不是等比数列；②是首项为，公比为的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]
3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝
．
[由定义知＝＝＝＝q，则a2＝a1q＝2，①
a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，②
所以②÷①得q3＝，所以q＝.]
等比数列的通项公式及应用
【例1】 在等比数列{an}中．
(1)a1＝，q＝，an＝，求项数n；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
[解] (1)因为an＝a1qn－1，所以×＝，即＝，
解得n＝5.
(2)设等比数列的公比为q，
那么
解得
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.
1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
1．(1)在等比数列{an}中，若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求an.
[解] (1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝＝－3，∴a5＝405.
(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1?2q2－5q＋2＝0?q＝2或，
由a＝a10＝a1q9>0?a1>0，又数列{an}递增，
所以q＝2.a＝a10?(a1q4)2＝a1q9?a1＝q＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
等比中项
【例2】 (1)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A．±4 B．4 C．± D．
(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
思路探究：(1)用定义求等比中项．
(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．
(1)A [由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.]
(2)[证明] b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，
(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
等比中项应用的三点注意
(1)由等比中项的定义可知＝?G2＝ab?G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0).
2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
B [因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，
所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9.]
3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
B [∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，
∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，
k＝4.]
等比数列的判断与证明
[探究问题]
1．若数列{an}是等比数列，易知有＝q(q为常数，且q≠0)或a＝an·an＋2(an≠0，n∈N
)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[提示] 能．若数列{an}满足＝q(q为常数，q≠0)或a＝an·an＋2(an≠0，n∈N
)都能说明{an}是等比数列．
2．若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1·qn－1(a，q为非零常数，n∈N
).反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[提示] 能．根据等比数列的定义可知．
【例3】 已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要检验吗？
[解] an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2).
当n≥2时＝＝2；
当n＝1时，＝＝.
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．
[证明] ∵Sn＝2－an，
∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，
∴an＋1＝an.
又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝，
∴{an}是等比数列．
2．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
[解] 因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1).
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
所以＝2(n∈N
)，所以数列{an＋1}是等比数列．
所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.
判断一个数列{an}是等比数列的方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)等比中项法：对于数列{an}，若a＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q(q为与n无关的常数且不为零).
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N
).
2．两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
1．判断正误
(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．
( )
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．
( )
(3)常数列一定为等比数列．
( )
(4)任何两个数都有等比中项．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
[提示] (1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
2．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为( )
A．± B．±2 C． D．－2
D [因为＝q3＝－8，故q＝－2.]
3．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝
．
－729 [a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729.]
4．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
[解] 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是bn＝.而＝＝＝2.
∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.
PAGE
-
8
-第2课时 等差数列前n项和的综合应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握an与Sn的关系并会应用．(难点)2.掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点)3.会求等差数列前n项和的最值．(重点)4.会用裂项相消法求和．(易错点)
1.通过等差数列前n项和Sn的函数特征的学习，体现了数学建模素养．2.借助等差数列前n项和Sn性质的应用及裂项相消法求和，培养数学运算素养．
1．Sn与an的关系
an＝
2．等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．
(2)数列{an}是等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数).
思考：如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？
[提示] (a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)
＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.
∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．
3．等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
思考：我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？
[提示] 由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－2n，则( )
A．当n的值为1时，Sn有最大值－1
B．当n的值为1时，Sn有最小值－1
C．当n的值为2时，Sn有最大值0
D．当n的值为2时，Sn有最小值0
B [因为Sn＝n2－2n＝(n－1)2－1，所以当n的值为1时，Sn有最小值－1.]
2．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝
．
15 [由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)，
解得S6＝15.]
3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为
．
23或24 [由an≤0即2n－48≤0得n≤24.
∴所有负项的和最小，即n＝23或24.]
4.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为
．
2A [a1＝S1＝A＋B，
a2＝S2－S1＝(4A＋2B)－(A＋B)
＝3A＋B，
∴d＝a2－a1＝2A.]
等差数列前n项和的性质
【例1】 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
[解] (1)在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30，70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
(2)＝＝＝＝＝.
等差数列前n项和计算的几种思维方法
(1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解．
(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算．
1．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则S13＝
．
(2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为
．
(1)104 (2)75 [(1)由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8，
所以S13＝×13＝a7·13＝104.
(2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3.
所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，
所以是公差为1，首项为3的等差数列，
所以前10项和为3×10＋×1＝75.]
等差数列前n项和Sn的函数特征
[探究问题]
1．将首项为a1＝2，公差d＝3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？
[提示] 首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为Sn＝2n＋＝n2＋n，
显然Sn是关于n的二次型函数．
且常数项为0，二次项系数为，一次项系数为a1－；如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么当n＝1时，S1＝a1＝4.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－2，则该数列的通项公式为an＝6n－2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n项和都是关于n的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n项和具备上述特征，该数列一定是等差数列．
2．已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，试画出Sn关于n的函数图象．你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？
[提示] Sn＝n2－5n＝－，它的图象是分布在函数y＝x2－5x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{an}前n项为负数．由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前3项和最小．
【例2】 数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，
(1)求{an}的通项公式；
(2)问{an}的前多少项和最大；
(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′.
思路探究：(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项．
(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．
(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解．
[解] (1)法一：(公式法)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.
故{an}的通项公式为an＝34－2n.
法二：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.
(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，
故数列{an}的前17项大于或等于零．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二：(函数性质法)由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝.
距离最近的整数为16，17.
由Sn＝－n2＋33n的
图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，
故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；
当n≥18时，an<0.
所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn
＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.
当n≥18时，
Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)
＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn
＝n2－33n＋544.
故Sn′＝
1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中a1＝25，S17＝S9”求其前n项和Sn的最大值．
[解] 法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d
＝17×25＋d，
解得d＝－2.
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法二：同法一，求出公差d＝－2.
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
∵a1＝25>0，
由
得
又∵n∈N
，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法三：∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
∵a1>0，∴d<0.∴a13>0，a14<0.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法四：设Sn＝An2＋Bn.∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169.
2．(变条件)将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“Sn＝－＋n”求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解] a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－
＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N
).
由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.
即当n≤34时，an>0；
当n≥35时，an<0.
(1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n；
(2)当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝2(－×342＋×34)－(－n2＋n)
＝n2－n＋3
502.
故Tn＝
1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小).
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．
裂项相消法求和
【例3】 等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋.
思路探究：根据{an}为等差数列求出其前n项和，根据的通项特征，利用裂项相消法求和．
[解] ∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，
∴前n项和Sn＝na1＋d
＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N
)，
∴＝＝
＝，
∴＋＋…＋
＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]
＝
＝－.
裂项相消法求和的注意点
(1)常见的裂项公式
①＝－；
②＝；
③＝－.
(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
(3)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的前n项和Sn.
[解] an＝
＝，
∴Sn＝＋＋＋…＋＋
＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]
＝＝，
∴Sn＝.
1．等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形
(1)Sn＝n·；
(2)Sn＝n2＋n；
(3)＝n＋(a1－)({}是公差为的等差数列).
2．等差数列前n项和的常用性质
(1)数列{an}为等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数).
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列，公差为原公差的k2倍．
(3)若等差数列{an}的项数为2n(n∈N
)，则S偶－S奇＝nd，＝；若项数为2n－1(n∈N
)，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，＝.
(4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·.
(5)若Sm＝Sn(m≠n)，则Sm＋n＝0；若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n).
(6)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为原公差的.
1．判断正误
(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列．
( )
(2)若a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大．
( )
(3)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)·an.
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
C [由题知S偶－S奇＝5d，
∴d＝＝3.]
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，则
eq
\o(,\s\do4(k＝1))
eq
\f(1,Sk)＝
．
[Sn＝，＝＝2，
因此
eq
\o(,\s\do4(k＝1))＝2＝.]
4．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2－30n.
(1)求数列
{an}的通项公式an；
(2)求Sn的最小值及对应的n值．
[解] (1)∵Sn＝n2－30n，
∴当n＝1时，a1＝S1＝－29.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－30n)－[(n－1)2－30(n－1)]＝2n－31.
∵n＝1也适合，
∴an＝2n－31，n∈N
.
(2)法一：Sn＝n2－30n
＝－225，
∴当n＝15时，Sn最小，且最小值为S15＝－225.
法二：∵an＝2n－31，∴a115时，an>0.
∴当n＝15时，Sn最小，且最小值为S15＝－225.
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11
-2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点)2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点)
1.通过等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用，培养数学运算素养．2．借助等差数列前n项和的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养．
1．数列的前n项和的概念
一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．
思考：如何用Sn和Sn－1的表达式表示an?
[提示] an＝
2．等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
思考：等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？
[提示] S3＝＝3a2＝21.
1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝( )
A．230 B．420 C．450 D．540
B [S20＝20a1＋d＝20×2＋20×19＝420.]
2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则其前n项和Sn＝
．
[因为a1＝1，d＝1，
所以Sn＝n＋×1＝＝＝.]
3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝
．
24 [由S10＝＝120.解得a1＋a10＝24.]
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝
．
48 [设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋×d＝20，即4×＋d＝20，
解得d＝3，所以S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.]
等差数列前n项和的有关计算
【例1】 在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
[解] (1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.∴n＝15，d＝－.
(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题
等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
1．在等差数列{an}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a3＋a15＝40，求S17.
[解] (1)
解得a1＝－5，d＝3.
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
(2)S17＝＝＝＝340.
an与Sn的关系的应用
[探究问题]
1．若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？
[提示] 使用条件是n≥2.
2．若数列{an}的前n项和为Sn，a2
020＋a2
021＋a2
022如何用前n项和Sn表示？
[提示] a2
020＋a2
021＋a2
022＝S2
022－S2
019.
3．已知数列{an}的通项公式an，可利用Sn＝a1＋a2＋…＋an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列{an}的前n项和Sn，如何求出它的通项公式？
[提示] 对所有数列都有Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2).因此，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，有a1＝S1.
所以an与Sn的关系为an＝
当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N
)来表示．
【例2】 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.
(1)求a1及an；
(2)判断这个数列是否是等差数列．
思路探究：(1)利用a1＝S1，求a1，借助于an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式但要验证a1是否符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可．
[解] (1)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32.
(2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)，
所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)，
所以数列{an}是等差数列．
1．(变条件，变结论)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“log2(Sn＋1)＝n＋1”，其他条件不变，求an.
[解] 由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1，
当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n.
当n＝1时，a1＝S1＝3.经验证不符合上式．
∴an＝
2．(变条件，变结论)将本例中的条件“Sn＝2n2－30n”变为“正数数列{bn}的前n项和Sn＝(bn＋1)2”，求{bn}的通项公式．
[解] 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，
∴bn＝(bn＋1)2－(bn－1＋1)2
＝(b－b＋2bn－2bn－1).
整理得：b－b－2bn－2bn－1＝0，
∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0，
∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1＝2(n≥2).
∴{bn}为等差数列．
又∵b1＝(b1＋1)2，∴b1＝1，
∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝
等差数列前n项和公式的实际应用
【例3】 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
思路探究：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．
[解] 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
2．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为
米．
2
000 [假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为
S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2
000(米).]
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N
)；若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
3．由Sn与an的关系求an主要使用an＝
1．判断正误
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．
( )
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．
( )
(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确．由前n项和的定义可知正确．
(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
又因为a1＝S1＝3，
所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．
(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则( )
A．an＝2n＋1
B．an＝－2n＋1
C．an＝－2n－1
D．an＝2n－1
B [由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，
当n＝1时，S1＝a1＝－1符合上式．
∴an＝－2n＋1.]
3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝
．
190 [S19＝＝＝190.]
4．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12.
[解] ∵Sn＝n·＋·(－)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
a12＝＋(12－1)×＝－4.
PAGE
-
8
-第2课时 等差数列的性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点)2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)
1.通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养．2．借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养．
1．等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
思考：由上式可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
[提示] 等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d＝，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝.
2．等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N
)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N
)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；
d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列．
思考：若{an}为等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q一定成立吗？
[提示] 不一定．如常数列{an}，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4.
1．在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于( )
A.5
B．8
C.10
D．14
C [a1＋a7＝a3＋a5＝10.]
2．等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于( )
A.2
B．20
C.100
D．不确定
A [∵a100－a90＝10d，∴10d＝20，即d＝2.]
3．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝
．
33 [由题意得d＝＝＝3.
∴a14＝a8＋6d＝15＋18＝33.]
4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝
．
15 [由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，又∵a4＝1，
∴a12＝15.]
灵活的设元解等差数列
【例1】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
[解] 法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得
解得或
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得
化简，得
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝26，,a＋3a1d＋2d2＝40，))
解得或
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得
化简，得
解得
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．
2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.
3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.
1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
[解] 设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
由已知有
整理得
解得a＝1，d＝±.
当d＝时，这5个数分别是－，，1，，；
当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.
综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－.
等差数列的实际应用
【例2】 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
甲 乙
请你根据提供的信息回答问题．
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由．
思路探究：解决本题关键是构造两个数列：一个是每年的养鸡只数的平均值构成的数列，一个是每年的养鸡场的个数构成的数列．
[解] 由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.
(1)由a1＝1，a6＝2，得
∴得a2＝1.2；
由b1＝30，b6＝10，得
∴得b2＝26.
∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，
即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只．
(2)∵c6＝a6b6＝2×10＝201．在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．
2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．
2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费
元．
23．2 [根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要多支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4
km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14
km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).]
等差数列的性质
[探究问题]
1．在等差数列{an}中，若an＝3n＋1，那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？
[提示] 由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若m，n，p，q∈N
且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
对于任意等差数列{an}，设其公差为d.
则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d
＝2a1＋(m＋n－2)d，
ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d
＝2a1＋(p＋q－2)d，
因为m＋n＝p＋q，故am＋an＝ap＋aq对任意等差数列都适用．
2．在等差数列{an}中，如果m＋n＝2r，那么am＋an＝2ar是否成立？反过来呢？
[提示] 若m＋n＝2r(m，n，r∈N
)，则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d＝2a1＋(2r－2)·d＝2[a1＋(r－1)d]＝2ar，显然成立；在等差数列{an}中，若am＋an＝2ar，不一定有m＋n＝2r，如常数列．
3．已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则：
(1)若将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新数列，这个新数列还是等差数列吗？
(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？
(3)如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？
[提示] (1)、(2)、(3)中所得到的数列都还是等差数列，其中(1)中的公差为d，(2)中的公差为2d，(3)中的公差为7d.
【例3】 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )
A.30 B．15 C．5 D．10
(2)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
思路探究：(1)利用等差数列的性质求解．
(2)①选用哪条性质求解更为简便？②a15，a30，a45，a60，a75成等差数列吗？
(1)B [∵数列{an}为等差数列，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝(a2＋a4)＝×6＝15.]
(2)[解] 法一：(利用隔项成等差数列)
因为{an}为等差数列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第4项，
所以a60＝a15＋3d，得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24.
法二：(利用首项与公差)
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
a60＝a15＋45d，
所以20＝8＋45d，所以d＝，
a75＝a15＋60d＝8＋60×＝24.
1．(变条件，变结论)本例(2)中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15.
[解] 法一：因为a5，a10，a15成等差数列，
所以a5＋a15＝2a10.
所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32.
法二：因为{an}为等差数列，设其公差为d，所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝.
所以a15＝a10＋5d＝20＋5×＝32.
2．本例(2)中的条件变为“{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21”求a5＋b5的值．
[解] (1)法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
法二：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴数列{an＋bn}也构成等差数列，
∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.
等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N
)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
易错警示：对于新构造的等差数列，要注意判断其公差和首项．
1．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
1．判断正误
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．
( )
(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．
( )
(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N
都有2an＋1＝an＋an＋2.
( )
(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
[提示] (1)错误，如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．
(2)错误，如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．
(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n∈N
都有2an＋1＝an＋an＋2成立．
(4)正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.
2．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( )
A.20 B．30 C．40 D．50
C [∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，
∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，
∴a7＝20.
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]
3．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝
．
18 [∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，
∴a7＝.
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.
故d＝＝＝.
∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，
∴13－7＝(k－9)×，
∴k＝18.]
4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
[解] 法一：设这三个数为a，b，c(a法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，
由已知得
由①得a＝6，代入②得d＝±2，
∵该数列是递增的，∴d＝2，
∴这三个数为4，6，8.
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10
-2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念及简单的表示
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点)3．掌握等差数列的判定方法．(重点)
1.通过学习等差中项及等差数列通项公式的应用，体现了数学运算素养．2．借助等差数列的判断与证明培养学生的逻辑推理素养．
1．等差数列的概念
(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N
).
2．等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是a＋b＝2A．
思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0.
[提示] 插入的数分别为3，2，，0.
3．等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d．
思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？
[提示] 还可以用累加法，过程如下：
∵a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d(n≥2)，
将上述(n－1)个式子相加得
an－a1＝(n－1)d(n≥2)，
∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，
当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，
∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N
).
4．从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d．
思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
[提示] 只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．
1．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝( )
A.4－2n
B．2n－4
C.6－2n
D．2n－6
C [an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.]
2．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝
．
3 [(－3)－(－6)＝3，故d＝3.]
3．下列数列：
①0，0，0，0；
②0，1，2，3，4；
③1，3，5，7，9；
④0，1，2，3，….
其中一定是等差数列的有
个．
3 [①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．]
4．lg
(＋)与lg
(－)的等差中项是
．
0 [lg
(＋)与lg
(－)的等差中项为：
＝
＝＝0.]
等差中项
【例1】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
[解] ∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，
∴c＝＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
).
1．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝
．
21 [由an－1＋an＋1
＝2an
(n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列．
∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.]
等差数列的通项公式及其应用
【例2】 (1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}是等差数列，a5＝－1，a8＝2，求a1与d.
思路探究：设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．
[解] (1)∵a4＝7，a10＝25，
则得
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5(n∈N
).
(2)∵a5＝－1，a8＝2，
∴解得
1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，
得求出a1和d，从而确定通项公式．
2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．
2．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
[解] (1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，
得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为
an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项．
等差数列的判定与证明
[探究问题]
1．在数列{an}中，若an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N
)，则{an}是等差数列吗？为什么？
[提示] 由等差数列的定义可知满足an－an－1＝d(常数)(n≥2)是等差数列．
2．在数列{an}中，若有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N
)成立，则{an}是等差数列吗？为什么？
[提示] 是，由等差中项的定义可知．
3．若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
[提示] ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d.
∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．
【例3】 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
思路探究：①要判断数列是否为等差数列，是否要先求－的表达式？
②能否求出数列的通项公式？
[解] (1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，∴－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝.
1．(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”．
(1)试证明数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝＝.
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n.
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2.
2．(变条件)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N
)”试判断数列{an}是否是等差数列．
[解] 当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝1≠，故数列{an}不是等差数列．
等差数列的判定方法有以下三种：
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N
)?{an}为等差数列；
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}为等差数列；
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N
)?{an}为等差数列．
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N
)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N
)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
1．判断正误
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
( )
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．
( )
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
[提示] (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．
2．在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝( )
A.1
B．－1
C.±1
D．±2
C [由已知得，解得d＝±1.]
3．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为
．
[＝＝＝.]
4．已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由．
[解] 因为an＝an－1＋2(n≥3)，
所以an－an－1＝2(常数).
又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，
而a2－a1＝0≠a3－a2，
所以数列{an}不是等差数列．
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-
8
-第2课时 数列的通项与递推公式
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点)3．会求数列中的最大(小)项．(易错点)
1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养学生的逻辑推理素养．2．借助数列最大(小)项的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养．
1．数列递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的第1项(或前几项)；
②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．
思考：已知an＋1＝2an，a1＝2，a5的值是什么？
[提示] a5＝32.
2．数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系
表示an与n之间的关系
联系
(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
思考：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N
)就能确定这个数列吗？
[提示] 不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．
1．符合递推关系式an＝an－1的数列是( )
A.1，2，3，4，…
B．1,
，2，2，…
C.，2,
，2，…
D．0,
，2，2，…
[答案] B
2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A.－3 B．－11
C．－5 D．19
D [a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，
a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，
a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.]
3．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝
．
[a2＝1＋＝1＋1＝2，
a3＝1＋＝1＋＝，
a4＝1＋＝1＋＝，
a5＝1＋＝1＋＝.]
4．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2
022－a2
021＝________．
2
021 [由an＋1－an＝n，得a2
022－a2
021＝2
021.]
由递推关系写出数列的项
【例1】 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
[解] (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.
故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.
1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．
[解] ∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝.
故该数列的前5项为1，，，，.
数列的最大(小)项的求法
【例2】 已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由．
思路探究：①an＋1－an等于多少？②n为何值时，an＋1－an>0？an＋1－an<0?
[解] 法一：(单调性法)∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)·＝·，
当n<9时，an＋1－an>0，即an当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＝an＋1；
当n>9时，an＋1－an<0，即an>an＋1；
故a1a11>a12>…，
所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a9＝a10＝.
法二：(最大项法)设ak是数列{an}的最大项．
则
即
整理得
得9≤k≤10，∴k＝9或10，即数列{an}中的最大项为
a9＝a10＝.
求数列的最大(小)项的两种方法
一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．
二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N
且k≥2都成立，解不等式组即可．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[解] (1)由n2－5n＋4<0，
解得1∵n∈N
，∴n＝2，3，∴数列中有两项是负数．
(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝－，可知对称轴方程为n＝＝2.5.
又∵n∈N
，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
法二：设第n项最小，由
得
解这个不等式组，得2≤n≤3，
∴n＝2或3，∴a2＝a3且最小．
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
由递推公式求数列的通项公式
[探究问题]
1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{an}，满足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能归纳出数列{an}的通项公式吗？
[提示] 由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，
a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，
由以上各项归纳可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.
即an＝2n＋18(n∈N
，n≤30).
2．对于任意数列{an}，等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立吗？若数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，你能求出它的通项an吗？
[提示] 对于任意数列{an}，等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝1＋2(n－1)＝2n－1.
3．若数列{an}中的各项均不为0，等式a1···…·＝an成立吗？若数列{an}满足：a1＝3，＝2，则它的通项an是什么？
[提示] 等式a1···…·＝an成立．
按照＝2可得＝2，＝2，＝2，…，＝2(n≥2)，将这些式子两边分别相乘可得···…·＝2·2·…·2.
则＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N
).
【例3】 (1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N
，求通项公式an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.
思路探究：(1)先将an＋1＝an＋变形为an＋1－an＝－，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解．
(2)先将an＝an－1(n≥2)变形为＝，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．
[解] (1)∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝.
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－.
∴an＋1＝1－，
∴an＝－(n≥2).
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N
).
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，
an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N
).
1．(变条件)将例题(2)中的条件“a1＝1，an＝an－1(n≥2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N
)”写出数列的前5项，猜想an并加以证明．
[解] 由a1＝2，an＋1＝3an，得：
a2＝3a1＝3×2，
a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，
a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，
a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，
…，
猜想：an＝2×3n－1，
证明如下：由an＋1＝3an得＝3.
因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3.
将上面的n－1个式子相乘可得
···…·＝3n－1.
即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，又a1＝2，故an＝2·3n－1.
2．将例题(1)中的条件“a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N
”变为“a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)”求数列{an}的通项公式．
[解] ∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1.
∴＝＋＋(－)＋…＋
＝＝n＋1.
∴＝n＋1，∴an＝.
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：
(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．
(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．
1．{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．
2．数列的表示方法
(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．
3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
1．判断正误
(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．
( )
(2)有些数列可能不存在最大项．
( )
(3)递推公式是表示数列的一种方法．
( )
(4)所有的数列都有递推公式．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
[提示] 并不是所有的数列都有递推公式，如的精确值就没有递推公式．
2．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( )
A.an＝an－1＋2(n≥2)
B．an＝2an－1(n≥2)
C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
C [A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意．]
3．数列{an}中，an＝，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )
A．a1，a50
B．a1，a44
C．a45，a44
D．a45，a50
C [an＝
＝1＋.
∴当n∈[1，44]且n∈N
时，{an}单调递减，当n∈[45，＋∞)且n∈N
时，{an}单调递减，结合函数f(x)＝的图象(图略)，可知(an)max＝a45，(an)min＝a44.]
4．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln
，求an.
[解] 由题意得an＋1－an＝ln
，
∴an－an－1＝ln
(n≥2)，
an－1－an－2＝ln
，
…，
a2－a1＝ln
.
∴当n≥2时，an－a1＝ln
(··…·)＝ln
n，
∴an＝2＋ln
n(n≥2).
当n＝1时，a1＝2＋ln
1＝2，符合上式，∴an＝2＋ln
n(n∈N
).
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1
-2.1 数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的概念及简单表示法
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解数列的概念．(重点)2.掌握数列的通项公式及应用．(重点)3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(难点、易错点)
1.通过数列概念及数列通项的学习，体现了数学抽象及逻辑推理素养．2.借助数列通项公式的应用，培养学生的逻辑推理及数学运算素养．
1．数列的概念及一般形式
思考：(1)数列的项和它的项数是否相同？
(2)数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？
[提示] (1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．
(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．
2．数列的分类
分类标准
数列名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4．数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域
正整数集N
(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值构成
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法
思考：数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
[提示]
如图，数列可以看成以正整数集N
(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
1．数列3，4，5，6，…的一个通项公式为( )
A．an＝n
B．an＝n＋1
C.an＝n＋2
D．an＝2n
C [经验证可知，它的一个通项公式为an＝n＋2.]
2．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第
项．
24 [an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.]
3．数列{an}满足an＝log2(n2＋3)－2，则log23是这个数列的第
项．
3 [令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3.]
4．数列1，2,
，，，…中的第26项为
．
2 [因为a1＝1＝，a2＝2＝，
a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，所以a26＝＝＝2.]
数列的概念及分类
【例1】 已知下列数列：
①2
016，2
017，2
018，2
019，2
020，2
021；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1，0，－1，…，sin
，…；
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是
，无穷数列是
，递增数列是
，递减数列是
，常数列是
，摆动数列是
(填序号).
①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ [①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]
判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限．
1．给出下列数列：
①2013～2020年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；
②无穷多个构成数列，
，
，
，…；
③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．
① ②③ ① ② ③ [①为有穷数列；②③是无穷数列．同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]
由数列的前几项求通项公式
【例2】 写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：
(1)－1，，－，；
(2)，3，，；
(3)0.9，0.99，0.999，0.999
9；
(4)3，5，3，5.
思路探究：①求数列的通项公式时，是否应考虑将个别项或各项进行适当的变形？②数列的通项公式唯一吗？
[解] (1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，
正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其中一个通项公式为
an＝(－1)n·.
(2)数列可化为，，，，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，
故原数列的一个通项公式为
an＝＝.
(3)原数列可变形为，，，，…，故数列的一个通项公式为an＝1－.
(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n.
1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
2．观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
2．写出下列数列的一个通项公式：
(1)0，3，8，15，24，…；
(2)1，－3，5，－7，9，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)1，11，111，1
111，….
[解] (1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N
).
(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N
).
(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N
).
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9
999，…，易知数列9，99，999，9
999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N
).
数列通项公式的应用
[探究问题]
1．数列，，，，，…的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？是否为该数列中的一项？为什么？
[提示] 由数列各项的特点可归纳出其通项公式为an＝，当n＝7时，a7＝＝，若为该数列中的一项，则＝，解得n＝8，所以是该数列中的第8项．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．
[提示]
由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．
【例3】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
思路探究：(1)将n＝4，n＝6分别代入an求出数值即可；
(2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并判断．
[解] (1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项．
1．(变结论)若本例中的条件不变，
(1)试写出该数列的第3项和第8项；
(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？
[解] (1)因为an＝3n2－28n，
所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32.
(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)，
所以20是该数列的第10项．
2．(变条件，变结论)若将例题中的“an＝3n2－28n”变为“an＝n2＋2n－5”，试判断数列{an}的单调性．
[解] ∵an＝n2＋2n－5，
∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)
＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3.
∵n∈N
，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N
(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件．
1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
2．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
1．判断正误
(1)数列1，1，1，…是无穷数列．
( )
(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．
( )
(3)有些数列没有通项公式．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
[提示] (1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．
(2)错误．虽然都是由1，2，3，4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．
(3)正确．某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．
2．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于( )
A．11
B．12
C．13
D．14
C [观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x＝5＋8＝13.]
3．已知数列2，，4，…，，…，则8是该数列的第
项．
11 [令＝8，得n＝11.]
4．已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍．
(1)求这个数列的第4项与第25项；
(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
[解] (1)由题设条件，知an＝＋2n.
∴a4＝＋2×4＝10，a25＝＋2×25＝55.
(2)假设253是这个数列中的项，则253＝＋2n，解得n＝121.
∴253是这个数列的第121项．
假设153是这个数列中的项，则153＝＋2n，解得n＝72，
这与n是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．
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