章末综合测试 复数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册练习Word含解析

章末综合　复数
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于(　　)
A．z－1　　　　　　
B．z＋1
C．－10＋18i
D．10－18i
2.＝(　　)
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
3．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
4．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是(　　)
A．(2,4)
B．(2，－4)
C．(4，－2)
D．(4,2)
5．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)
A．－1
B．0
C．1　　　
D．2
6．若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝(　　)
A．
B．
C．－
D．2
7．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在(　　)
A．实轴上
B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上
D．以上都不对
8．已知0A．(1,5)
B．(1,3)
C．(1，)
D．(1，)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为(　　)
A．(3,1)
B．(－2,0)
C．(0,4)
D．(－1，－5)
10．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且a＋b＝1，下列命题正确的是(　　)
A．z不可能为纯虚数
B．若z的共轭复数为，且z＝，则z是实数
C．若z＝|z|，则z是实数
D．|z|可以等于
11．已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是(　　)
A．P0点的坐标为(1,2)
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
12．对任意z1，z2，z∈C，下列结论成立的是(　　)
A．当m，n∈N
时，有zmzn＝zm＋n
B．当z1，z2∈C时，若z＋z＝0，则z1＝0且z2＝0
C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且||2＝|z|2＝z·
D．z1＝z2的充要条件是|z1|＝|z2|
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．
14．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________.
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
16．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则|z|＝________，＝________(本题第一空2分，第二空3分)．
四、简答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，
(1)z是实数？
(2)z是纯虚数？
18．(本小题满分12分)已知复数z1＝1－i，z1·z2＋1＝2＋2i，求复数z2.
19．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
20．(本小题满分12分)复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
21．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z.
22．(本小题满分12分)已知复数z满足(1＋2i)＝4＋3i.
(1)求复数z；
(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
参考答案
1.C　[1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i.]
2.D　[＝＝＝2－i.
故选D．]
3.A　[由已知得＝i(1－i)＝i＋1，
则z＝1－i，故选A．]
4.C　[z＝＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C．]
5.B　[∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴解得a＝0.故选B．]
6.C　[因为＝＝－i，又复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，所以＝，即b＝－.]
7.C　[设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi.∵z2为纯虚数，∴∴y＝±x(x≠0)．]
8.C　[由已知，得|z|＝.
由0∴1∴|z|＝∈(1，)．故选C．]
9.ACD　[易知选项A、B、C、D中的点对应的复数分别为3＋i、－2、4i、－1－5i，因此A、C、D中的点对应的复数为虚数．]
10.BC　[当a＝0时，b＝1，此时z＝i为纯虚数，A错误；若z的共轭复数为，且z＝，则a＋bi＝a－bi，因此b＝0，B正确；由|z|是实数，且z＝|z|知，z是实数，C正确；由|z|＝得a2＋b2＝，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，无解，即|z|不可以等于，D错误．故选BC．]
11.ACD　[复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，即＝，整理得，y＝x，即Z点在直线y＝x上，C正确；易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合平面几何知识知D正确．故选ACD．]
12.AC　[由复数乘法的运算律知A正确；
取z1＝1，z2＝i，满足z＋z＝0，
但z1＝0且z2＝0不成立，B错误；
由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确；
由z1＝z2能推出|z1|＝|z2|，
但|z1|＝|z2|推不出z1＝z2，
因此z1＝z2的必要不充分条件是|z1|＝|z2|，D错误．]
13.21　[复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.]
14.　[＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，
所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.]
15.8　[a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.从而a＋b＝8.]
16.2　±i　[设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由z＋＝4，z·＝8得，
??
∴|z|＝2.所以＝＝＝±i.]
17.[解]　(1)要使复数z为实数，
需满足
解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，
需满足
解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．
18.[解]　因为z1＝1－i，所以1＝1＋i，
所以z1·z2＝2＋2i－1＝2＋2i－(1＋i)＝1＋i.
设z2＝a＋bi(a，b∈R)，由z1·z2＝1＋i，
得(1－i)(a＋bi)＝1＋i，
所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i，
所以解得a＝0，b＝1，所以z2＝i.
19.[解]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，
解得或
所以＝－i，或＝－＋i.
20.[解]　由z2＋＜0可知z2＋是实数且为负数．
z＝＝＝＝1－i.
因为a为纯虚数，
所以设a＝mi(m∈R，且m≠0)，
则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋＝－＋i＜0，故
所以m＝4，即a＝4i.
21.[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，C(x，y)，
因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，
所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或
因为|OA|≠|BC|，所以x2＝－3，y2＝4(舍去)，
故z＝－5.
22.[解]　(1)∵(1＋2i)＝4＋3i，
∴＝＝＝＝2－i，
∴z＝2＋i.
(2)由(1)知z＝2＋i，
则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，
∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
∴
解得－1＜a＜1，
即实数a的取值范围为(－1,1)．