2020-2021学年人教版八年级数学下册第十八章 18.2 .3：正方形的性质与判定 复习训练（word版无答案）

18.4
正方性质与判定复习训练
同步知识梳理：
要点一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
要点二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.
要点三、正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
要点四、特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
同步题型分析
【例1】正方形的性质
已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
（1）求证：AP=BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
【思路点拨】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．
【答案与解析】
解：（1）∵正方形ABCD
∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°
∵DP⊥AQ
∴∠ADP+∠DAP=90°
∴∠BAQ=∠ADP
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P
∴∠AQB=∠DPA=90°
∴△AQB≌△DPA（AAS）
∴AP=BQ
（2）①AQ﹣AP=PQ
②AQ﹣BQ=PQ
③DP﹣AP=PQ
④DP﹣BQ=PQ
【总结升华】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等．
【变式题组】
01.菱形、矩形、正方形都具有的性质是(?
?
?
?
)
A.对角线相等且互相平分
B.对角线相等且互相垂直
C.对角线互相平分
D.四条边相等
02.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A.
四条边相等
B.
对角线互相垂直平分
C.
对角线平分一组对角
D.
对角线相等
03.如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为(
)cm2．
A.6
B.8
C.16
D.不能确定
04.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为(　　)
A．(－，1)
B．(－1，)
C．(，1)
D．(－，－1)
05.如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（　　）
A．1或9
B．3或5
C．4或6
D．3或6
06.点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A、B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°,得线段PE,连接BE,则∠CBE等于（
）
A．75°
B．60°
C．30°
D．45°
07.如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）
A．
B．
C．
D．
08.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于E、F两点，则阴影部分的面积是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
09.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为，，则的值为(
)
A.16
B.17
C.18
D.19
10.如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（
）
A．1
B．
C．
D．2
11.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　）
A．cm2
B．cm2
C．
cm2
D．（）ncm2
12.如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是AD边上的动点，
PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为(
)
A.4
B.
C.
D.2
13.一个正方形的对角线长为2，则其面积为________.
14.在正方形ABCD中，AB=12cm，对角线AC，BD相交于E，则△ABE的周长是________.
15.如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为　　．
16.如图，正方形的边长为8，是边上一点，且，是对角线上一动点，则的最小值为______．
17.如图，已知方格纸中是个相同的正方形，则____度.
18.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G,若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为_____．
19.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．
20.如图，正方形ABCD的边长为2，以对角线BD为边作菱形BEFD，点C、E、F在同一直线上．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求CE的长．
21如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．
【例2】正方形的判定
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．
【答案与解析】
解：是正方形，理由如下：
作DG⊥AB于点G．
∵
AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴
DF＝DG．
同理可得：DG＝DE．∴
DF＝DE．
∵
DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，
∴
四边形CEDF是矩形．
∵
DF＝DE．
∴
四边形CEDF是正方形．
【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．
【变式题组】
01.四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是(?
?
?
?
)
A.
OA=OB=OC=OD,AC⊥BD
B.
AB∥CD，AC=BD
C.
AD∥BC，∠A=∠C
D.
OA=OC，OB=OD，AB=BC
02.下列说法中，正确的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
03.已知矩形，下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是（　　）
A．
B．
C．平分
D．
04.下列条件中，能判定一个四边形是正方形的是（
）
A．有一个角是直角的菱形
B．对角线互相垂直且平分的四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形
05.已知在四边形ABCD中，，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：________________．
06.如图，的对角线与相交于点O，且，下列条件：①；②；③；④中，任选一个，能使得为正方形的有__________（填序号）．
07.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，线段的端点在格点上．在图①、图②给定的网格中以为边各画一个四边形，四边形的顶点都在格点上，并求出所画四边形的面积．
（1）在图①中画一个正方形，这个正方形的面积为
．
（2）在图②中画一个菱形（与图①所画图形不全等），这个菱形的面积为
．
08.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．
（1）求证：AF=BF；
（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形．
09.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DC与EF交于点O
（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）若AD=AE，求证：AB=AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB=1，求OD的长．
10.如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．
（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面积．
11.如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
课堂达标测试
一.选择题
1.
在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（　　）
A．1个
B．2个
C．4个
D．无穷多个
2.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线BD的长为．当∠B=60°时（如图乙），则对角线BD的长为（　　）
A.
B.
C.
2
D.
3.
如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则
(
)
A．S＝2
B．S＝2.4
C．S＝4
D．S与BE长度有关
4.
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝，则菱形ABCD的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
5.
如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
6.
如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（　　）
A．3
B．2
C．4
D．8
二.填空题
7．延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4，则△ACE的面积等于______．
8．已知菱形的两条对角线的长分别是4cm和8cm，则它的边长为______________cm．
9．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______．
10.如图所示，直线经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥于点E、BF⊥于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____.
11.如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为　
　cm．
12.如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=　　．
三.解答题
13．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标？
　　　　　　　　　　　　　　　　
14.如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连结EB、EA，延长BE交边AD于点F．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）求∠AFB的度数．
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．
(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；
(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．