(共8张PPT)
函数的应用举例
分段函数的应用
例1 某人骑车从A城出发去B地旅行，如图表示他离开A城的路程与时间的函数图像，根据图像能得到他旅行的哪些信息？
100
60
0
4 5 8
例2 下列图像分别表示甲、乙、丙、丁四家工厂6年来生产产品情况，纵坐标表示总产量，横坐标表示时间（年），请根据图像说出四家工厂的生产情况
各位顾客：
本商场所有商品8折出售，同时消费满一定金额可获得以下相应金额购物券
好消息
消费金额 [200，400） [400，500) [500，700) [700，900) 900以上
奖励 30 60 100 130 面议
设购买商品的到的优惠率=
购买标价为1000元的商品，优惠率为多少？
（3）对于标价[500，800]元之内的商品，顾客购买标价为多少的商品，可得到不小于1/3的优惠率
（2）对于标价[500，800]元之内的商品，写出优惠率y与标价x关系式
小结
实际问题
数学模型的解
数学模型
实际问题的解
课后作业(共15张PPT)
数学第一册(上)
目的要求
通过例题的学习,学会如何
建立数学模型(函数关系式),帮
助我们解决实际问题.
例1.建筑一个容积为8000m3,深为6m的长方体蓄水池,
池壁的造价为a 元 /m2,池底的造价为2a 元 /m2 ,把总造价
y(元)表示为底的一边长 x (m)的函数.
1.此题己知条件中出现了
什么样的新概念丶新字母
它们含义是什么
2.在出现的新概念丶新字母中彼此之间有什么联系和制约
分析:思考下列问题:
(长方体AC1丶蓄水池丶
池壁(四周)丶池底ABCD丶
造价丶底边长x丶总造价y.)
(长方体AC1的体积 =池底面积(SABCD) 高(AA1);
池底面积=AB. BC=x .z ;
池壁面积=2SABB1A1 + 2SBCC1B1
总造价(y)=池底造价+池壁造价 )
造价:1平方米所需的费用;
A
B
C
B1
C1
A1
D1
D
3.要解决什么问题
( 写出函数关系式)
4.要求总造价,关键要解决什么量
(关键是建筑总量,即池底面和池壁面积)
5.这个畜水池有盖(封顶)吗
( 无 )
解:设AB = x ( m) ,BC = z ( m )
AA1 = 6 (m)(即池深为6m)
根据题意有:
6xz = 8000
所以
4000
3x
Z=
池壁的造价为:
池底的造价为:
a (2x+2z) 6=
.
.
4000
3x
12a(x + ),
8000
3
a ]
所以总造价为:
.
8000
6
2a
=
8000
3
a
4000
3x
Y = [ 12a(x + ) +
x
z
A
B
C
B1
C1
A1
D1
D
该例的启示:
实 际
问 题
读 懂
问 题
将问题
简单化
数学
建模
解决
问题
基础
过程
关键
目的
例2.一个圆柱形容器的底部直径是d cm,高是h cm,
现在以U cm3 /s的速度向容器内注入某种溶液,求容器内
溶液的高度 x (cm )与注入溶液的时间 t(s)之间的函数关
系式,并求函数的定义域和值域,并画出函数的图象.
1.此题己知条件中出现什么样的新概念丶
新字母 它们含义是什么
分析:思考下列问题:
2.在出现的新概念丶新字母中彼此之间有什么联系和制约
3.要解决什么问题
(圆柱.直径AB.高h.速度U.)
A
B
h
(圆柱的底面积= R2=
2
d
( )2
,圆柱的体积 =S h)
(写出函数关系式 .求定义域.值域.作图 )
4.要写出函数关系式,关键求什么
(关键是:速度.时间.高度.体积之间的关系)
例2.一个圆柱形容器的底部直径是d cm,高是h cm,
现在以U cm3 /s的速度向容器内注入某种溶液,求容器内
溶液的高度 x (cm )与注入溶液的时间 t(s)之间的函数关
系式,并求函数的定义域和值域,并画出函数的图象.
注
解:圆柱的底面积为:
2
当高为x时它的体积=底面积 高
×
即
2
x
2
x
所以Ut=
因此,高度x (cm)与时间t (s)之间的
函数关系式为:
4U
Πd2
t
X=
Πd 2h
4U
[ 0 , ]
定义域为:
值域为:
[0 , h]
图象如右图所示
x
o
t
h
例3.
C
D
A
B
O
如图,有一块半径为R
的半圆形钢板,计划剪成等
腰梯形ABCD的形状,它的
下底AB是圆O的直径,上底
CD的端点在圆周上.写出这
个梯形周长Y和腰长X间的
函数关系式,并求出它的定义域.
分析:思考下列问题
1.此题己知条件中出现了什么样的新概念丶新字母 它们的
含义是什么
(钢板丶梯形丶半径R丶直径AB丶腰长x丶周长y
2.在出现的新概念丶新字母中彼此之间有什么联系和制约
(下底AB是圆O的直径丶上底CD的端点在圆周上丶周长y与
下底AB(2R)丶两腰长x以及上底CD有关 )
3.要解决什么问题
( 写出函数解析式丶求出定义域 )
4.要写出周长y,关键解决什么量
( 关键解决上底与腰长x丶半径R的关系 )
C
D
A
B
O
解:如图,AB=2R,C丶D在圆O上,
E
设腰长AD=BC=x,作DE AB
垂足为E.
连结BD,那么
由此,Rt ADE与Rt ABD相似
所以 AD2 = AE AB
.
即AE =
x2
2R
所以CD=AB - 2AE
x2
R
= 2R -
, 所以周长Y满足关系式:
x2
R
-
+2x+4R
即周长y和腰长x间的关系为y=
Y = 2R+2x+(2R -
x2
R
)=
x2
R
-
+2x+4R
因为ABCD是圆内接梯形,
所以AD>0 ,AE>0 ,CD>0 ,
X>0
x2
2R
>0
x2
R
2R --
>0
解这个不等式组,得函数y的定义域为
{x丨0小结:该例的启示:
实 际
问 题
读 懂
问 题
将问题
简单化
数学
建模
解决
问题
基础
过程
关键
目的
练习:
某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元
售出时
每天可销售50件,现在他采用提高价格
销售,减少进货量的办法增加利润,己知商品每
件售价每提高1元,其日销售量就减少5件,为使
每天赚得的利润最大,它的定价应为多少元
小 结
解决实际问题的步聚:
实际问题
读懂问题
抽象慨括
数学建模
推理
演算
数学模型的解
还原说明
实际问题的解
读出新概念丶新字母丶
读出相关制约.
在抽象.简化.明确变量和
参数的基础上建立一个明
确的数学关系
基础
关键
再见(共6张PPT)
例1 如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等
腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD
的端点在圆周上。写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，
并求出它的定义域。
解：如图，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上，
设腰长AD=BC=x，作DE⊥AB，垂足为E。
连接BD，那么∠ADB是直角。
E
A
D
C
O
B
由此,Rt △ADE∽Rt△ABD
∴ AD2=AE AB，即 AE=x2/2R
∴ CD=AB－2AE=2R－x2/R
所以 周长y 满足关系式 y=2R+2x+（2R－x2/R）=－x2/R+2x+4R
即 周长y 和腰长x间的函数关系式为 y=－x2/R+2x+4R
因为ABCD是圆内接梯形，所以AD＞0，AE＞0，CD＞0，即
x＞0，
x2/2R＞0
2R－x2/R＞0
解这个不等式组，得函数y的定义域为﹛x︱0＜x＜√2R﹜
例2 一矩形木块长4分米，宽3分米，加工后，长和宽各
减少x分米，试写出加工后木块的面积y（平方分米）与x
（分米）之间的函数关系式，并指出函数定义域和值域。
3
x
4
x
解：设加工后的木块面积为y平方分
米，则由题意可得：
y=(4－x)(3－x)
即y=x2－7x+12
各边长为正数，即4－x＞0，3－x＞0 ∴0＜x＜3
又y=(x－7/2)2－1/4, 由函数单调性可得：0＜y＜12
所以，所求函数关系式y=x2－7x+2其定义域是（0，3），
值域是（0，12）。
解决几何问题的一般方法：
通过图形能够很好地展现各量之间的关系，从而用相关条
件表示未知数的所求关系式。即从图形中抽象出数量关系，
构建数学模型，然后用函数的知识求解。
数学建模
从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，在研究
函数关系式的 定义域，并结合问题的实际意义做出回答。
即建立数学模型，并推理演算求出数学模型的解，再结合
实际做出回答。
研究性作业
探讨有关银行存款利率的相关问题