6.1平面向量的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构适用）（Word含答案）

高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用（人教A版2019）
6.1平面向量的概念
【基础梳理】
要点一、定义
我们把既大小又有方向的量叫做向量
要点二、向量的几何表示
（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示，具有方向的线段叫做有向线段，包含3个要素：起点、方向、长度，A为起点，B为终点的有向线段记作false.
（2）向量的字母表示：向量可以用字母a,b,c…表示.
（3）向量false的大小：向量false的大小称为向量false的长度，（或称模），记作false，长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1的单位长度的向量，叫做单位向量.
要点三、相等向量与共线向量
（1）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
（2）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
向量a与b平行，记作a//b
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
（3）任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.
【课堂探究】
例1.已知正方形ABCD的边长为1， AB =a， BC =b，则a+b的模等于（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?3
例2如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量 OB ， OC ， OD ， OE ， OF ， AB ， BC ， CD ， EF ， DE ， FA 中与 OA 共线的向量有（?? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【课后练习】
1.下列说法正确的个数为（??? ）
①零向量没有方向；②向量的模一定是正数；③与非零向量 a 共线的单位向量不唯一
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
2.已知向量 a=(3,?1) ，则 |a|= （ ??）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?2
3.设 e1,e2 是两个单位向量,则下列结论中正确的是(??? )
A.?e1=e2???????????????????????????????B.?e1∥e2???????????????????????????????C.?e1=?e2???????????????????????????????D.?|e1|=|e2|
4.与向量 d=(12，5) 平行的单位向量为（?? ）
A.?(1213,5)??????????????B.?(?1213,?513)??????????????C.?(1213,513) 或 (?1213,?513)??????????????D.?(±1213,±513)
5.下列说法中错误的是（? ??）
A.?零向量是没有方向的???????????????????????????????????????????B.?零向量的长度为0
C.?零向量与任一向量平行???????????????????????????????????????D.?零向量的方向是任意的
6.已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量 AB 同方向的单位向量为（? ）
A.?(35,?45)???????????????????????????B.?(45,?35)???????????????????????????C.?(?35,45)???????????????????????????D.?(?45,35)
7.在下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（???）
A.?a→=(0,0),b→=(1,?2)???????????????????????????????????????? B.?a→=(?1,2),b→=(5,7)
C.?a→=(3,2),b→=(6,4)??????????????????????????????? ???????????D.?a→=(2,8),b→=(1,4)
8.向量a→=13,tanα,b→=cosα,1 ， 且a→∥b→ ， 则锐角α的余弦值为（?）
A.?13???????????????????????????????????????B.?23???????????????????????????????????????C.?23???????????????????????????????????????D.?223
9.设 a,b 是向量，则“ |a|=|b| ”是“ |a+b|=|a?b| ”的（?? ）
A.?充分而不必要条件?????????B.?必要而不充分条件?????????C.?充分必要条件?????????D.?既不充分也不必要条件
10.已知平面向量 a=(sinθ,2019) ， b=(cosθ,2020) ，若 a//b ，则 tanθ= （???? ）
A.?20192020????????????????????????????B.?20202019????????????????????????????C.??20192020????????????????????????????D.??20202019
高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用（人教A版2019）
6.1平面向量的概念
【基础梳理】
要点一、定义
我们把既大小又有方向的量叫做向量
要点二、向量的几何表示
（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示，具有方向的线段叫做有向线段，包含3个要素：起点、方向、长度，A为起点，B为终点的有向线段记作false.
（2）向量的字母表示：向量可以用字母a,b,c…表示.
（3）向量false的大小：向量false的大小称为向量false的长度，（或称模），记作false，长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1的单位长度的向量，叫做单位向量.
要点三、相等向量与共线向量
（1）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
（2）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
向量a与b平行，记作a//b
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
（3）任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.
【课堂探究】
例1.已知正方形ABCD的边长为1， AB =a， BC =b，则a+b的模等于（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?3
【答案】C
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为1， AB = a ， BC = b ，
∴ a+b = AC ，
∴| a+b |=| AC |= AB2+BC2 = 12+12 = 2 ．
故选：C．
【分析】推导出 a+b = AC ，从而| a+b |=| AC |，由此能求出结果．
例2如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量 OB ， OC ， OD ， OE ， OF ， AB ， BC ， CD ， EF ， DE ， FA 中与 OA 共线的向量有（?? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】C
【解析】解：在向量 OB ， OC ， OD ， OE ， OF ， AB ， BC ， CD ， EF ， DE ， FA 中与 OA 共线的向量有： 向量 OD ， BC ， EF ．
故选：C．
【分析】利用共线向量的定义即可得出．
【课后练习】
1.下列说法正确的个数为（??? ）
①零向量没有方向；②向量的模一定是正数；③与非零向量 a 共线的单位向量不唯一
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
【答案】 B
【解析】零向量的方向是任意的，故①错；向量的模是非负数，故②错；
与非零向量 a 共线的单位向量不唯一，分别是 ±a|a| ，故③正确.
故答案为：B.
2.已知向量 a=(3,?1) ，则 |a|= （ ??）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?2
【答案】 D
【解析】因为 a=(3,?1) ，所以 |a|=(3)2+12=2 .
故答案为：D.
【分析】由向量的模长公式求模长即可.
3.设 e1,e2 是两个单位向量,则下列结论中正确的是(??? )
A.?e1=e2???????????????????????????????B.?e1∥e2???????????????????????????????C.?e1=?e2???????????????????????????????D.?|e1|=|e2|
【答案】 D
【解析】单位向量即是模为1的向量；若 e1,e2 是两个单位向量，则 |e1|=|e2|=1 .
故答案为：D
【分析】由已知利用单位向量的概念，分别判断各选项，即可得结果.
4.与向量 d=(12，5) 平行的单位向量为（?? ）
A.?(1213,5)??????????????B.?(?1213,?513)??????????????C.?(1213,513) 或 (?1213,?513)??????????????D.?(±1213,±513)
【答案】 C
【解析】因为向量 d=(12，5) ，所以 |d|=122+52=13 ，所以所求单位向量的坐标为 (1213,513) 或者 (?1213,?513) ，
故答案为：C.
【分析】利用共线定理结合向量的模的求解公式，用单位向量的定义求出与向量 d=(12，5) 平行的单位向量。
5.下列说法中错误的是（? ??）
A.?零向量是没有方向的???????????????????????????????????????????B.?零向量的长度为0
C.?零向量与任一向量平行???????????????????????????????????????D.?零向量的方向是任意的
【答案】 A
【解析】零向量的方向是任意的、其长度为0，与任意向量共线，BCD说法正确，A说法错误，符合题意.
故答案为：A
【分析】根据平面向量的相关概念逐一判断即可.
6.已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量 AB 同方向的单位向量为（? ）
A.?(35,?45)???????????????????????????B.?(45,?35)???????????????????????????C.?(?35,45)???????????????????????????D.?(?45,35)
【答案】 A
【解析】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴ AB =（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），| AB |= 9+16 =5，
则与向量 AB 同方向的单位向量为 AB|AB| = (35,?45) ，
故选A．
【分析】由条件求得 AB =（3，﹣4），| AB |=5，再根据与向量 AB 同方向的单位向量为 AB|AB| ?求得结果．
7.在下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（???）
A.?a→=(0,0),b→=(1,?2)???????????????????????????????????????? B.?a→=(?1,2),b→=(5,7)
C.?a→=(3,2),b→=(6,4)??????????????????????????????? ???????????D.?a→=(2,8),b→=(1,4)
【答案】 B
【解析】基底是平面内不共线向量，所以选B。
【分析】简单题，平面内任意不共线向量，均可作为基底。
8.向量a→=13,tanα,b→=cosα,1 ， 且a→∥b→ ， 则锐角α的余弦值为（?）
A.?13???????????????????????????????????????B.?23???????????????????????????????????????C.?23???????????????????????????????????????D.?223
【答案】 D
【解析】因为，向量， 且∥， 所以，， 故选D。
【分析】小综合题，向量平行的条件是，对应坐标成比例（坐标不为0).
9.设 a,b 是向量，则“ |a|=|b| ”是“ |a+b|=|a?b| ”的（?? ）
A.?充分而不必要条件?????????B.?必要而不充分条件?????????C.?充分必要条件?????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】 D
【解析】由 |a|=|b| 无法得到 |a+b|=|a?b| ，充分性不成立；由 |a+b|=|a?b| ，得 a?b=0 ，两向量的模不一定相等，必要性不成立.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出命题 “ |a|=|b| ”是命题“ |a+b|=|a?b| ”的既不充分也不必要条件。
10.已知平面向量 a=(sinθ,2019) ， b=(cosθ,2020) ，若 a//b ，则 tanθ= （???? ）
A.?20192020????????????????????????????B.?20202019????????????????????????????C.??20192020????????????????????????????D.??20202019
【答案】 A
【解析】解:∵ a//b ,∴ 2020sinθ?2019cosθ=0 ,
∴ sinθcosθ=20192020 ,∴ tanθ=20192020 .
故答案为：A.
【分析】根据 a//b 可得 2020sinθ?2019cosθ=0 ,然后根据商数关系求出 tanθ 的值.