2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
6.1平面向量的概念
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列说法正确的是（???
）
A.?零向量没有方向????????B.?向量就是有向线段????????C.?只有零向量的模长等于0????????D.?单位向量都相等
2.已知
，
，则
（
??）
A.?2???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????D.?
3.设
分别是与
同向的单位向量，则下列结论中正确的是（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
4.已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（
??）
A.?
????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.?5
???????????????????????????????????????D.?50
5.若夹角为
的向量
与
满足
，且向量
为非零向量，则
（
??）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
6.已知向量
，其中
，
均为非零向量，则
的取值范围是（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
7.若不共线向量
，
满足
，则（???
）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
8.已知，
，则与
共线的单位向量是（
???）
A.???????????????????????????????????????????B.?
或
C.????????????????????????????????????????????????????????D.?
或
9.已知向量
满足
，若M为AB的中点，并且
，则λ+μ的最大值是（??
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
10.设单位向量
，
的夹角为锐角，若对于任意的
，都有
，则
的最小值为（?
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.??
11.将函数
和直线
的所有交点从左到右依次记为
，
，…，
，若
点坐标为
，则
（??
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?10
12.如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足
=m
，
=n
，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则|
|的最小值为（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.在空间直角坐标系
中，已知
，
，点
分别在
轴，
轴上，且
，那么
的最小值是________.
14.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且
，则点C的坐标是________．
15.在矩形
中，
，
，则
________.
16.下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；
②若|
|=|
|，则|
=
；
③若非零向量
共线，则
；
④向量
，则向量
共线；
⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；
其中正确的序号为________．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.已知向量
，
，且
.求：
（1）
；
（2）
.
已知向量
是夹角为
的单位向量，
。
（1）求
；
（2）当
为何值时，
与
平行？
19.如图，半圆的直径
，
是半圆上的一点，
分别是
上的点，且
（1）求证：向量
；
（2）求
.
20.如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，
=
，
=
，
=
．
（1）用
、
表示向量
、
、
、
、
；
（2）求证：B、E、F三点共线．
21.一条宽为km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB=km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
22.已知向量
=（sin
，sin
），
=（cos
，cos
），且向量
与向量
共线．
（1）求证：sin（
﹣
）=0；
（2）若记函数f（x）=sin（
﹣
），求函数f（x）的对称轴方程；
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）的值；
（4）如果已知角0＜A＜B＜π，且A+B+C=π，满足f（
）=f（
）=
，求
的值．2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
6.1平面向量的概念
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列说法正确的是（???
）
A.?零向量没有方向????????B.?向量就是有向线段????????C.?只有零向量的模长等于0????????D.?单位向量都相等
【答案】
C
【解析】零向量的方向是任意的，A选项错误；
有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，B选项错误；
只有零向量的模长等于0，C选项正确；
单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，D选项错误.
故答案为：
.
2.已知
，
，则
（
??）
A.?2???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】因为
，
，所以
，
则
.
故答案为：C.
3.设
分别是与
同向的单位向量，则下列结论中正确的是（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】由题,
分别是与
同向的单位向量,即
,
故
,即C符合题意；
因为
的方向未知,故答案为：项A,B,D不正确,
故答案为：C
4.已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（
??）
A.?
????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.?5
???????????????????????????????????????D.?50
【答案】
A
【解析】∵?
-?
=(-1,1),
∴
,
故答案为：A
5.若夹角为
的向量
与
满足
，且向量
为非零向量，则
（
??）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】解：∵
；
∴
；
∴
；
∴
；
∵
为非零向量；
∴
．
故答案为：B．
6.已知向量
，其中
，
均为非零向量，则
的取值范围是（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】因为
，
，
则
，
开方可得
的取值范围为
.
故答案为：D．
7.若不共线向量
，
满足
，则（???
）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
【答案】
A
【解析】
，
，即
即
由于
，
的大小未知，则
的大小不确定
故答案为：A
8.已知，
，则与
共线的单位向量是（
???）
A.???????????????????????????????????????????B.?
或
C.????????????????????????????????????????????????????????D.?
或
【答案】
B
【解析】
，故与
共线的单位向量为
，即
或
，
故答案为：B.
9.已知向量
满足
，若M为AB的中点，并且
，则λ+μ的最大值是（??
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】B
【解析】解：如图所示，
∵向量
满足
=1，
，
不妨取A（1，0），B（0，1）．
∵M为AB的中点，
∴M
．
∵
=λ（1，0）+μ（0，1）=（λ，μ）．
∵
，
∴
=1，
设
，μ=
+sinθ，θ∈[0，2π）．
则λ+μ=1+sinθ+cosθ=1+
，当
=1时取等号．
∴λ+μ的最大值是1+
．
故选：B．
10.设单位向量
，
的夹角为锐角，若对于任意的
，都有
，则
的最小值为（?
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.??
【答案】C
【解析】设a,b的夹角为
，则
，由
得，
，又设
，则
，代入
，得
，所以
，即
，整理得
，所以
，解得
，于是
，经检验，此时
符合要求，故
的最小值为
.
故选C.
11.将函数
和直线
的所有交点从左到右依次记为
，
，…，
，若
点坐标为
，则
（??
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?10
【答案】
D
【解析】函数
与
的所有交点从左往右依次记为
、
、
、
和
，且
和
，
和
，都关于点
对称，如图所示：
则
，所以
.
故答案为：D.
12.如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足
=m
，
=n
，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则|
|的最小值为（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【解析】解：因为
=m
，
=n
，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点
所以
=
（
）﹣
（
）=
（1﹣m）
（1﹣n）
，又m+n=1，
所以
，
所以|
|2=
+
，△ABC是边长为1的等边三角形，
所以上式整理得|
|2=
=
，
所以当m=
时，|
|2最小值为
，
所以|
|的最小值为
；
故选C．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.在空间直角坐标系
中，已知
，
，点
分别在
轴，
轴上，且
，那么
的最小值是________.
【答案】
【解析】设
，0，
，
，
，
，
，0，
，
，1，-
，
，
，
，
，
即
．
，
．（当
时取最小值）
故答案为：
14.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且
，则点C的坐标是________．
【答案】
（﹣1，﹣3）
【解析】由题意
（0，﹣1），是一个单位向量，
由于
（﹣3，﹣4），故
方向上的单位向量
（
，
），
∵点C在∠AOB的平分线上，
∴存在正实数λ使得
＝
）＝
，
∵
，
，解得
代入得得
故答案为：
.
15.在矩形
中，
，
，则
________.
【答案】
【解析】在矩形
中.
，
|
?
.
故答案为：
.
16.下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；
②若|
|=|
|，则|
=
；
③若非零向量
共线，则
；
④向量
，则向量
共线；
⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；
其中正确的序号为________．
【答案】①④
【解析】解：对于①，根据相等向量的定义知，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，正确；
对于②，当|
|=|
|时，
与
不一定相等，命题②错误；
对于③，若非零向量
共线，则
不一定成立，命题③错误；
对于④，向量
时，向量
共线，命题正确；
对于⑤，零向量的方向是任意的，所以零向量与任何向量平行，命题⑤错误；
综上，正确的命题序号是①④．
故答案为：①④．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.已知向量
，
，且
.求：
（1）
；
（2）
.
【答案】
（1）解：因为
，所以
，又
所以
，
（2）解：由（1）
，若
，则
，与
矛盾
所以
【解析】（1）根据垂直关系和平方关系求出
，
，根据公式即可求得模长；（2）结合（1）的垂直关系得
，展开
构造齐次式求解.
18.已知向量
是夹角为
的单位向量，
。
（1）求
；
（2）当
为何值时，
与
平行？
【答案】
（1）解：由题意得
，
∴
,
∴
（2）解：若
∥
，
?则存在实数
使得
，
即
．
∵
不共线，
，解得
．
∴当
时，
与
平行
【解析】（1）利用向量的数量积的性质,求向量长度．
（2）利用向量平行的共线定理求解决．
19.如图，半圆的直径
，
是半圆上的一点，
分别是
上的点，且
（1）求证：向量
；
（2）求
.
【答案】
（1）证明：由题意知，在△
中，
∴
又点
为半圆上一点，
直径，∴
∴
，故
（2）解：由
知△
△
，
∴
，即
.
∴
即
【解析】(1)首先结合圆的圆周角的性质得出
∠
A
C
B
=
90
°
，即可得出
A
C
∥
D
E进而得证。(2)
由平行关系得到三角形相似然后结合对应边成比例即可求出结果。
20.如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，
=
，
=
，
=
．
（1）用
、
表示向量
、
、
、
、
；
（2）求证：B、E、F三点共线．
【答案】
（1）解：如图所示：解延长AD到G，使
=
，
连接BG、CG，得到四边形ABGC，
∵D是BC和AG的中点，
∴四边形ABGC是平行四边形，则
=
+
=
，
∴
=
=
（
），
=
=
（
）．
∵F是AC的中点，∴
=
=
，
∴
=
﹣
=
（
）﹣
=
（
）．
=
﹣
=
﹣
=
（
）
（2）证明：由（1）可知，
=
（
），
=
（
）．
∴
=
，即
、
是共线向量，所以B、E、F三点共线
【解析】（1）由题意作出辅助线构成平行四边形ABGC，由四边形法则和D是AG的中点求出
，由题意求出
，由F是AC的中点求出
，再由向量减法的三角形法则求出
和
；（2）由（1）求出
=
，故两个向量共线，即B、E、F三点共线．
21.一条宽为km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB=km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
【答案】
解：如图所示，
设为水流速度，为航行速度，
以AC和AD为邻边作平行四边形ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．
根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和平行四边形ACED中，
||=||=2，||=4，∠AED=90°．
∴||==2
，
∴sin∠EAD=
，
∴∠EAD=30°（4分），用时0.5h．
答：船实际航行速度大小为2km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时．
【解析】由题意作出图象，在图形中由直角三角形的知识和勾股定理可得答案。
22.已知向量
=（sin
，sin
），
=（cos
，cos
），且向量
与向量
共线．
（1）求证：sin（
﹣
）=0；
（2）若记函数f（x）=sin（
﹣
），求函数f（x）的对称轴方程；
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）的值；
（4）如果已知角0＜A＜B＜π，且A+B+C=π，满足f（
）=f（
）=
，求
的值．
【答案】
（1）证明：∵向量
与向量
共线，
∴sin
cos
﹣sin
cos
=0，即sin（
﹣
）=0
（2）解：由
（k∈Z）得，
，
∴函数f（x）的对称轴方程是
（3）由f（x）=sin（
﹣
）得，函数f（x）的周期T=
=4，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=
=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=503×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+
=
（4）由f（
）=f（
）=
得，
，
∵0＜A＜B＜π，∴
，
，
则
，
，
解得，A=
，B=
，
由A+B+C=π得，C=
，
∴
=2sin（
）=
【解析】（1）根据向量共线的条件和两角差的正弦公式化简即可；（2）根据正弦函数的对称轴得：
（k∈Z），再求出x的式子得函数f（x）的对称轴方程；（3）先由周期公式求出函数的周期，再求出一个周期内的函数值的和，然后判断出式子中共有多少个周期，再求出式子的值；（4）把条件代入解析式化简后，根据角的范围求出A、B的值，再求出C的值，代入式子根据两角和的正弦公式化简求值．
