专题八
导数
第一节
变化率与导数
学习目标
1.了解极限的基础概念；2.理解平均变化率；3.掌握导数的有关概念；4.掌握导数的几何意义。
知识要点梳理
1、趋向定值函数极限概念
当自变量无限趋近于时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋近于时函数的极限是。
记作：
特别地：；
2.函数平均变化率的概念
函数从到的平均变化率为
3.平均变化率的几何意义
如图，，平均变化率的几何意义就是曲线上两点对应割线AB的斜率。
4.平均变化率的物理意义
平均变化率的物理意义就是做变速运动的物体在某一时间段内的平均速度。
5.瞬时变化率
（1）瞬时变化率的概念：函数在处的瞬时变化率为
注：瞬时变化率的物理意义是某时刻的瞬时速度。
（2）平均变化率与瞬时变化率的关系
当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在点的瞬时变化率，即平均变化率的极限值就是瞬时变化率。
瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢。
6.函数在一点处的导数
函数在处的瞬时变化率称为在处的导数，记作或，
即=。
例如，位移s关于时间t的导数就是运动物体在某时刻的瞬时速度。
导数定义可以写成多种形式：
（1）
（2）
（3）
（4）
7.导函数
对于函数，当时，是一个确定的数。当变化时，便是的一个函数，称它为的导函数（简称导数）。
的导数也记作，即=。
8.导数的几何意义
函数在处的导数的几何意义就是曲线在处的切线的斜率，即。
曲线在（或点）处的切线方程为：
9.导数与切线的关系
函数在处的导数是曲线在处的切线的斜率，即。曲线的升降、切线与导数的关系如下表：
曲线在附近
切线斜率
切线的倾斜角
上升
为锐角
下降
为钝角
=0
平坦
=0
为零（切线与x轴平行
10.导数的物理意义
导数的物理意义就是运动的物体在某时刻的瞬时速度。
典型例题
考点一
求函数极限
例1．（1）
；
（2）
（3）
考点二
求平均变化率
例2.（1）已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝__________．
（2）求函数在区间内的平均变化率。
考点三
导数的意义
例3.用导数表示下列极限
设在处可导，求
已知，求
例4.（1）若f
′(x0)＝2，则的值为________
；
（2）设函数f(x)在x0点可导，则下列极限等于f
′(x0)的是( )
A.
B.
C.
D.
例5.用导数公式求函数f(x)＝3x－在x＝1处的导数．
考点四
导数的几何意义
例6.已知曲线的图象如下，回答下列问题：
（1）若，则
（2）若过点A的切线为：，则
（3）若过点A的切线为，则在的导数为
例7.求函数分别在处的切线方程。
例8.(1)已知曲线f(x)＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
反馈练习
1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A．0.41
B．3
C．4
D．4.1
2．函数在点处的切线方程为( )
A．y＝4x
B．y＝4x－4
C．y＝4x＋4
D．y＝2x＋4
3．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8
m/s2，若＝9.8
m/s，那么下列说法中正确的是( )
A．9.8
m/s是物体从0
s到1
s这段时间内的速率
B．9.8
m/s是1
s到(1＋Δt)
s这段时间内的速率
C．9.8
m/s是物体在t＝1
s这一时刻的速率
D．9.8
m/s是物体从1
s到(1＋Δt)
s这段时间内的平均速率
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝__________．
5．已知f(x)＝(2＋x)(2－x)，则f′(4)＝__________．
6．求过点P（-1,2）且与曲线在点M（1,1）处的切线平行的直线。
7．设函数f(x)在x0处可导，则＝( )
A．f′(x0)
B．f′(－x0)
C．－f′(x0)
D．－f′(－x0)
8.
函数f(x)在处有导数，则
9．若
（1）利用导数公式求；（2）求；（3）求；（4）求在的导数。
A（2,2）专题八
导数
第一节
变化率与导数
学习目标
1.了解极限的基础概念；2.理解平均变化率；3.掌握导数的有关概念；4.掌握导数的几何意义。
知识要点梳理
1、趋向定值函数极限概念
当自变量无限趋近于时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋近于时函数的极限是。
记作：
特别地：；
2.函数平均变化率的概念
函数从到的平均变化率为
3.平均变化率的几何意义
如图，，平均变化率的几何意义就是曲线上两点对应割线AB的斜率。
4.平均变化率的物理意义
平均变化率的物理意义就是做变速运动的物体在某一时间段内的平均速度。
5.瞬时变化率
（1）瞬时变化率的概念：函数在处的瞬时变化率为
注：瞬时变化率的物理意义是某时刻的瞬时速度。
（2）平均变化率与瞬时变化率的关系
当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在点的瞬时变化率，即平均变化率的极限值就是瞬时变化率。
瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢。
6.函数在一点处的导数
函数在处的瞬时变化率称为在处的导数，记作或，
即=。
例如，位移s关于时间t的导数就是运动物体在某时刻的瞬时速度。
导数定义可以写成多种形式：
（1）
（2）
（3）
（4）
7.导函数
对于函数，当时，是一个确定的数。当变化时，便是的一个函数，称它为的导函数（简称导数）。
的导数也记作，即=。
8.导数的几何意义
函数在处的导数的几何意义就是曲线在处的切线的斜率，即。
曲线在（或点）处的切线方程为：
9.导数与切线的关系
函数在处的导数是曲线在处的切线的斜率，即。曲线的升降、切线与导数的关系如下表：
曲线在附近
切线斜率
切线的倾斜角
上升
为锐角
下降
为钝角
=0
平坦
=0
为零（切线与x轴平行
10.导数的物理意义
导数的物理意义就是运动的物体在某时刻的瞬时速度。
典型例题
考点一
求函数极限
例1．（1）
2
；
（2）
7
（3）
2
考点二
求平均变化率
例2.（1）已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝__________．
（2）求函数在区间内的平均变化率。
考点三
导数的意义
例3.用导数表示下列极限
设在处可导，求
已知，求
解析：（1）
（2）
例4.（1）若f
′(x0)＝2，则的值为________
；-1
（2）设函数f(x)在x0点可导，则下列极限等于f
′(x0)的是( )C
A.
B.
C.
D.
例5.用导数公式求函数f(x)＝3x－在x＝1处的导数．
解析：
考点四
导数的几何意义
例6.已知曲线的图象如下，回答下列问题：
（1）若，则
3
（2）若过点A的切线为：，则
3
（3）若过点A的切线为，则在的导数为
3
例7.求函数分别在处的切线方程。
解析：
所以切线为，即
例8.(1)已知曲线f(x)＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为( D )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( A )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
反馈练习
1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( D )
A．0.41
B．3
C．4
D．4.1
2．函数在点处的切线方程为( B )
A．y＝4x
B．y＝4x－4
C．y＝4x＋4
D．y＝2x＋4
3．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8
m/s2，若＝9.8
m/s，那么下列说法中正确的是( C )
A．9.8
m/s是物体从0
s到1
s这段时间内的速率
B．9.8
m/s是1
s到(1＋Δt)
s这段时间内的速率
C．9.8
m/s是物体在t＝1
s这一时刻的速率
D．9.8
m/s是物体从1
s到(1＋Δt)
s这段时间内的平均速率
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝______1____．
5．已知f(x)＝(2＋x)(2－x)，则f′(4)＝__________．-8
6．求过点P（-1,2）且与曲线在点M（1,1）处的切线平行的直线。
7．设函数f(x)在x0处可导，则＝( )C
A．f′(x0)
B．f′(－x0)
C．－f′(x0)
D．－f′(－x0)
8.
函数f(x)在处有导数，则
9．若
（1）利用导数公式求；（2）求；（3）求；（4）求在的导数。
解析：=2
A（2,2）
