专题八
导数
同构式与导数
学习目标
1.理解同构式的概念；2.理解函数的单调性及应用；
3.掌握指对函数同构式的转变；4.掌握同构式的应用。
知识要点梳理
同构式：具有相同结构的两个代数式称为同构式，两个同构式可以由同一个代数式通过变量代换而得。
指对变形式：（1）.
（核心公式）
(2).
(3).
(4).
(5).
2.指对同构式：（母函数）.
还有常见同构式:与型：，；
与型：，.
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
3.注意：一个概念:同构式
；
一个核心:；
一个方法:指对式分离，
构造同构式；一个提醒:注意同构后的整体变量范围。
引例
自从20年山东卷21题的第二问出现了同构解法之后，今年在各省市的模拟题中用同构法解决的题目层出不穷，颇有流行之势。我们先来看一下题目。
题目：（2020.山东卷21题）已知函数
当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
若，求a取值范围。
第一问就不再多说
，我们来看一下第二问：（构造同构式）
典型例题
例1．例1.若则(
)
A.
B.
C.
D.
例2.对任意不等式恒成立，则实数的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
例3.已知不等式对于恒成立，则实数a的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
例4.已知实数满足求的值.
例5.设实数若对任意的，不等式恒成立，求的最小值。
例6.函数若关于x不等式则实数a的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
例7.已知函数，若存在使得成立，则的最大值为(
)
A.
B.
C.
D.
例8.已知函数(其中为自然对数的底数)
(1)求函数的极值:
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围。
反馈练习
1.（2020·新课标卷Ⅱ文数·12）若，则（
）
A．
B．
C．
D．
2.（2020·山东·21）已知函数，若，求的取值范围.
3.（铜梁中学校2021年高三上学期期末复习题
（一）.16）
已知，若对于任意的,不等式恒成立，则的最小值
4.(2020年12月30，T8联考16)已知函数若恒成立，则实数的取值范围
5.已知函数若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围专题八
导数
同构式与导数
学习目标
1.理解同构式的概念；2.理解函数的单调性及应用；
3.掌握指对函数同构式的转变；4.掌握同构式的应用。
知识要点梳理
同构式：具有相同结构的两个代数式称为同构式，两个同构式可以由同一个代数式通过变量代换而得。
指对变形式：（1）.
（核心公式）
(2).
(3).
(4).
(5).
2.指对同构式：（母函数）.
还有常见同构式:
与型：，；
与型：，.
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
3.注意：一个概念:同构式
；
一个核心:；
一个方法:指对式分离，
构造同构式；一个提醒:注意同构后的整体变量范围。
引例
自从20年山东卷21题的第二问出现了同构解法之后，今年在各省市的模拟题中用同构法解决的题目层出不穷，颇有流行之势。我们先来看一下题目。
题目：（2020.山东卷21题）已知函数
当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
若，求a取值范围。
第一问就不再多说
，我们来看一下第二问：
（构造同构式）由，即，
令函数，得到，故在R上单调递增.
又
所以，即
从而可得：
这种方法看起来非常的简洁，只需构造一个简单函数即可。
典型例题
例1．例1.若则(
)
A.
B.
C.
D.
解：A,B:
C,D:,
∵
∴
例2.对任意不等式恒成立，则实数的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
解：,
;设,
,
∴
当时恒成立，∴只要考虑的情况
∴
,
设
,
∴;
∴
例3.已知不等式对于恒成立，则实数a的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
解：
设
∴
,∴在
∵
,
∴
，
设,
∴在,
已知实数满足求的值.
解：
，
∴，
设函数
,则：
∵，∴
∵
∴的定义域为：
∴，
例5.设实数若对任意的，不等式恒成立，求的最小值。
解：
,
设，∴
∵∴
当时，当时，
若恒成立
∴只需考虑的情况
∴可设的定义域为
∴
∴在上，在
∴
,∴
例6.函数若关于x不等式则实数a的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
解：,
设,
==
∵在R上+,∴
设
∴
∴,即,∴
例7.已知函数，若存在使得成立，则的最大值为(
)
A.
B.
C.
D.
解：
设
,
∵,
∵,
∴的定义域为
,
（在）
∴在
；∴
,设
，令
∴;∴
例8.已知函数(其中为自然对数的底数)
(1)求函数的极值:
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围。
解（1）：
1).当时，无极值
2).当时，
无极小值，有极大值，
3).当时，
无极大值，有极小值，
（2）：当时，
,
设
设
∴;
当
当∴
,
∵
，(指对同构)
设
,
∵
∴的定义域为
∴当;
∵，
∴=
，=
∴
∴
引例：
2020新高考（山东卷）21.
(12
分)
已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积:
(2)若,求的取值范围
解：的定义域为，
当时，，
，
曲线在点处的切线方程为
，即
令,
∴
因此所求三角形的面积为
（2）
（核心公式）
（指对分离）
（）
（）
设恒成立，∴
∴==
∴,设
令，
∴
∴
反馈练习
1.（2020·新课标卷Ⅱ文数·12）若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将已知按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，然后逆用函数的单调性.
【解析】由移项变形为
设
易知是定义在R上的增函数，故由，可得，所以
从而，故选A．
2.（2020·山东·21）已知函数，若，求的取值范围.
【解析】将按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形：
由移项得：
即，两边同时加（）得
即
设，则，所以单增
所以，即
设，则，所以在单减，在单增，
所以，所以.
3.（铜梁中学校2021年高三上学期期末复习题
（一）.16）
已知，若对于任意的,不等式恒成立，则的最小值
解析：由于，则有
即，
令函数，易得在递增。
从而有恒成立
。
所以，易得的最小值等于
4.(2020年12月30，T8联考16)已知函数若恒成立，则实数的取值范围
答案：
5.已知函数若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围
答案：
