专题八
导数
第二节
导数的计算
学习目标
1.了解几个常见函数的导数的推导；2.记忆基本初等函数的导数公式；3.记忆导数的运算法则。
知识要点梳理
一、几个常用函数的导数：
1．函数的导数
根据导数定义，因为
所以
表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数的导数
因为
所以
表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数的导数
因为
所以
表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．
4．函数的导数
因为
所以
（2）推广：若，则
二、基本初等函数的导数公式：
函数
导数
2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点
导数运算法则
1．2．3．
推论：
提示：积法则,商法则,
都是前导后不导,
前不导后导,
但积法则中间是加号,
商法则中间是减号.
典型例题
考点一
利用公式及运算法则求导数
例1．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；（3）；（4）y=2x3―3x2+5x＋4
总结升华：
①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；
②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.
例2．求下列各函数的导函数
（1）；
（2）；
（３）y=；
（４）y=
考点二
求复合函数的导数
例3．求下列函数导数.
（1）；
（2）；（3）；
（4）.
总结升华：
①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单；
②求复合函数的导数的方法步骤：
（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量；
（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数；
（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.
考点三
求曲线的切线方程
例4．求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
总结升华:
求函数图像上点处的切线方程的求解步骤：
求出函数的导函数
求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率），
用点斜式写出切线方程，再化简整理。
【变式】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是________.
例5．已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.
（1）求直线的方程；（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.
【变式1】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程
【变式2】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为________.
反馈练习
1．若函数y＝－x2＋1(0A.
B.
C.
D.
2．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
3．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26
B．29
C．212
D．215
4．若曲线y＝x－在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝( )
A．64
B．32
C．16
D．8
5．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
6．已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．
7．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________．
8．曲线y＝x2过点4，的切线方程是________．
9．已知f(x)＝，则f′(0)＝________．
10．(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝sin＋cos；
(2)y＝e1－2x＋ln(3－x)；
(3)y＝ln.
11．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
12．用导数方法求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠0，1，n∈N
)．专题八
导数
第二节
导数的计算
学习目标
1.了解几个常见函数的导数的推导；2.记忆基本初等函数的导数公式；3.记忆导数的运算法则。
知识要点梳理
一、几个常用函数的导数：
1．函数的导数
根据导数定义，因为
所以
表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数的导数
因为
所以
表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数的导数
因为
所以
表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．
4．函数的导数
因为
所以
（2）推广：若，则
二、基本初等函数的导数公式：
函数
导数
2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点
导数运算法则
1．2．3．
推论：
提示：积法则,商法则,
都是前导后不导,
前不导后导,
但积法则中间是加号,
商法则中间是减号.
典型例题
考点一
利用公式及运算法则求导数
例1．求下列函数的导数：
（1）；
（2）
（3）；
（4）y=2x3―3x2+5x＋4
解析：
（1）.
（2）.
（3）∵，∴.
（4）
总结升华：
①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；
②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.
例2．求下列各函数的导函数
（1）；
（2）y=x2sinx;
（３）y=；
（４）y=
解析：
（1）法一：去掉括号后求导.
法二：利用两个函数乘积的求导法则
=2x(2x－3)+(x2+1)×2
=6x2－6x+2
（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx
（３）=
（4）
=
=
考点二
求复合函数的导数
例3．求下列函数导数.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解析：（1），.
.
（2），
∴
（3），.
∴
（4），，
∴.
总结升华：
①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单；
②求复合函数的导数的方法步骤：
（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量；
（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数；
（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.
考点三
求曲线的切线方程
例8．求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
解析：，
x=1时，y=3，
∴切点为（1，3），切线斜率为5
切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.
总结升华:
求函数图像上点处的切线方程的求解步骤：
求出函数的导函数
求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率），
用点斜式写出切线方程，再化简整理。
【变式】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是________.
【答案】的导数为.
设切点，则.
∵的斜率，又切线平行于，
∴，∴，∴切点，
∴切线方程为，即.
例9．已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.
（1）求直线的方程；
（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.
解析：
（1），
直线的方程为.
设直线过曲线上的点，
则的方程为，即.
因为，则有，.
所以直线的方程为.
（2）解方程组
得
所以直线和的交点坐标为.
、与轴交点的坐标分别为（1，0）、，
所以所求三角形的面积为.
举一反三：
【变式1】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程
【答案】
设切点坐标为
∴切线在点的斜率为
切线与直线平行，
斜率为4
∴，∴
或
∴切点为（1，-8）或（-1，-12）
切线方程为或
即或
【变式2】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为________.
【答案】由题意，切线的斜率为，
∴切线方程为，
与轴交点为，直线的交点为（2，4），
∴.
反馈练习
1．若函数y＝－x2＋1(0A.
B.
C.
D.
D [解析]
y′＝x2－2x，当02．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
D [解析]
f′(x)＝sinx＋xcosx，f′＝1，即函数f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线的斜率是1，直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－，所以×1＝－1，解得a＝2.
3．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26
B．29
C．212
D．215
C [解析]
f′(x)＝[x·(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′
＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，
所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
4．若曲线y＝x－在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝( )
A．64
B．32
C．16
D．8
A [解析]
y′＝－x－，所以k＝－a－，切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．令x＝0，得y＝a－；令y＝0，得x＝3a.所以三角形的面积是S＝·3a·a－＝a＝18，解得a＝64.
5．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
D [解析]
由于y′＝′＝－，而α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则k＝tanα＝－<0.又(ex＋1)2≥(2)2＝4ex，当且仅当ex＝1，即x＝0时，取等号，那么k＝tanα＝－≥－1，即－1≤k<0，那么对应的α∈.
6．已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．
0或－ [解析]
由题意2x0＝－3x，解得x0＝0或－.
7．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________．
ln2－1 [解析]
y′＝，令＝得x＝2，故切点(2，ln2)，代入直线方程，得ln2＝×2＋b，所以b＝ln2－1.
8．曲线y＝x2过点4，的切线方程是________．
14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0 [解析]
设此切线方程与抛物线相切于点P（x0，x）.由导数的概念可得eq
\f(\f(7,4)－\f(1,4)x,4－x0)＝x0，整理得x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，点P（7，）或P（1，）.代入两点式得直线方程为14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.
9．已知f(x)＝，则f′(0)＝________．
1 [解析]
∵f′(x)＝′＝′＝′＝2(e2x＋1)－2·e2x·2
＝，∴f′(0)＝＝1.
10．(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝sin＋cos；
(2)y＝e1－2x＋ln(3－x)；
(3)y＝ln.
解：(1)y′＝cos·′－sin·′＝－cos－sin＝－2sin.
(2)y′＝e1－2x·(1－2x)′＋·(3－x)′＝－2e1－2x＋.
(3)∵y＝ln(1－x)－ln(1＋x)，
∴y′＝·(1－x)′＋(1＋x)′＝＋＝.
11．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
11．解：(1)f′(x)＝a－，
于是解得或
因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.
(2)证明：已知函数y1＝x，y2＝都是奇函数．
所以函数g(x)＝x＋也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f(x)＝x－1＋＋1，可知函数g(x)的图象按向量a＝(1，1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形．
(3)证明：在曲线上任取一点.
由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为
y－eq
\f(x－x0＋1,x0－1)＝(x－x0)．
令x＝1得y＝，切线与直线x＝1交点为.
令y＝x得y＝2x0－1，切线与直线y＝x交点为(2x0－1，2x0－1)．
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1，1)．
从而所围三角形的面积为|2x0－1－1|＝|2x0－2|＝2.
所以，所围三角形的面积为定值2.
12．用导数方法求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠0，1，n∈N
)．
12．解：逆用导数公式，把1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1转化为等比数列{xn}的前n项和的导数，求解和式的导数即可．
1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1
＝x′＋(x2)′＋(x3)′＋…＋(xn)′＝(x＋x2＋x3＋…＋xn)′
＝′＝′
＝
＝.
