专题八
导数
第三节
导数的应用
学习目标
1.掌握用导数研究函数单调性的方法．2.
把握求不超过三次的多项式函数的单调区间．3.了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件．4.会用导数求函数的极大值与极小值．5.会利用极值条件求参数值．6.理解函数的极值与最值间关系．7.会利用导数求闭区间上函数的最大值和最小值。
知识要点梳理
1、用导数判断函数单调性的法则
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
注意：f′(x)>0?f(x)为增函数，f′(x)<0?f(x)为减函数，但反之不成立；但有f(x)为增函数?f′(x)≥0，f(x)为减函数?f′(x)≤0.一个典型例子就是y＝x3，y＝x3在R上为增函数，但y′＝3x2≥0.
2、用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
3、函数的极值
如果对于a、b两点，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
我们把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值，极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值，极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．
注意：函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义
区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图所示，
点x1、x3是极大值点．x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点x4
处的极小值．
4、求函数极值的方法
求函数y＝f(x)极值的步骤：（1）求导数f′(x)；（2）求方程f′(x)＝0的所有实数根；（3）考查在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．
注意：①可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即点x0是可导函数f(x)的极值点是f′(x0)＝0的充分但不必要条件，如函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．②可导函数f(x)在点x0取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同．③在用导数求函数极值题目中一定要注意列表格、画函数简图．
5、函数的最大值、最小值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
注意：①函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部上对函数值的比较；函数的最值是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
②函数f(x)在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个，而极大值或极小值可能多于一个，也可能没有．如常数函数既无极大值，也无极小值．
6、求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤：
（1）求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点；（2）计算函数f(x)在区间内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注意：①求函数的最值与求函数的极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．
②可利用函数单调性求f(x)在闭区间上的最值．若f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)；若f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
典型例题
考点一
求函数的单调区间
例1．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝；
例2．已知函数f(x)＝x3－ax－1：
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
考点二
求函数的极值
例3．求函数f(x)＝＋3lnx的极值．
例4．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
例5．已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．
考点三
求函数的最值
例6．求函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在[0，2]上的最大值和最小值
例7．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)；
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；
(3)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围．
例8．已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．
反馈练习
1．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是( )
A．[－1，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，－1)
2．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－，)，则a的范围是________．
3．函数y＝f(x)＝ax3＋x在(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．
4．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为[－1，2]，则b＝_______． c＝_______．
5．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
6．已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．
(Ⅰ)确定a的值；
(Ⅱ)若g(x)＝
f(x)ex，讨论g(x)的单调性．专题八
导数
第三节
导数的应用
学习目标
1.掌握用导数研究函数单调性的方法．2.
把握求不超过三次的多项式函数的单调区间．3.了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件．4.会用导数求函数的极大值与极小值．5.会利用极值条件求参数值．6.理解函数的极值与最值间关系．7.会利用导数求闭区间上函数的最大值和最小值。
知识要点梳理
1、用导数判断函数单调性的法则
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
注意：f′(x)>0?f(x)为增函数，f′(x)<0?f(x)为减函数，但反之不成立；但有f(x)为增函数?f′(x)≥0，f(x)为减函数?f′(x)≤0.一个典型例子就是y＝x3，y＝x3在R上为增函数，但y′＝3x2≥0.
2、用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
3、函数的极值
如果对于a、b两点，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
我们把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值，极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值，极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．
注意：函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义
区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图所示，
点x1、x3是极大值点．x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点x4
处的极小值．
4、求函数极值的方法
求函数y＝f(x)极值的步骤：（1）求导数f′(x)；（2）求方程f′(x)＝0的所有实数根；（3）考查在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．
注意：①可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即点x0是可导函数f(x)的极值点是f′(x0)＝0的充分但不必要条件，如函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．②可导函数f(x)在点x0取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同．③在用导数求函数极值题目中一定要注意列表格、画函数简图．
5、函数的最大值、最小值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
注意：①函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部上对函数值的比较；函数的最值是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
②函数f(x)在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个，而极大值或极小值可能多于一个，也可能没有．如常数函数既无极大值，也无极小值．
6、求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤：
（1）求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点；（2）计算函数f(x)在区间内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注意：①求函数的最值与求函数的极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．
②可利用函数单调性求f(x)在闭区间上的最值．若f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)；若f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
典型例题
考点一
求函数的单调区间
例1．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝；
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，
解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，函数f(x)的单调递减区间为(0，)．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3)．
例2．已知函数f(x)＝x3－ax－1：
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
【解】 (1)由已知f′(x)＝3x2－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数．
∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．
即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，
又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立．
∵得a≥3x2在x∈(－1，1)时恒成立．
在x∈(－1，1)时，3x2<3，∴只需a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1，1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1，1)上为减函数，∴a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1，1)上单调递减．
考点二
求函数的极值
例3．求函数f(x)＝＋3lnx的极值．
解：函数f(x)＝＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
3
因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.
例4．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
解：因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b.
所以即解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－∞，－3]和[－1，＋∞)时，f(x)为增函数．所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
例5．已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．
【解】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．
考点三
求函数的最值
例6．求函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在[0，2]上的最大值和最小值
解：f′(x)＝－x，令－x＝0.化简为x2＋x－2＝0.解得x1＝－2(舍去)．x2＝1.
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当10，f(1)>f(2)．所以f(0)＝0为函数f(x)在[0，2]上的最小值．f(1)＝ln2－为函数f(x)在[0，2]上的最大值
例7．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)；
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；
(3)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围．
【解】 (1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a.∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0得a＝.此时有f(x)＝(x2－4)(x－)，f′(x)＝3x2－x－4.由f′(x)＝0得x＝或x＝－1.又f()＝－，f(－1)＝.f(－2)＝0，f(2)＝0.所以f(x)在[－2，2]上的最大值为，最小值为－.
(3)f′(x)＝3x2－2ax－4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，
由条件得f′(－2)≥0，f′(2)≥0即∴－2≤a≤2.所以a的取值范围为[－2，2]
例8．已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝lnx＋－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.
(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于lnx－>0.令g(x)＝ln
x－，
则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，
x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)单调递增，因此g(x)>0；
②当a>2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.
由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)<0.
综上，a的取值范围是(－∞，2]．
反馈练习
1．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(C )
A．[－1，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，－1)
2．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－，)，则a的范围是_
a>0_______．
3．函数y＝f(x)＝ax3＋x在(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是_
a≥0
_______．
4．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为[－1，2]，则b＝－ c＝－6
5．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
解：(1)f′(x)＝3x2－3a，因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，
所以即解得
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．
当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．当a>0时，由f(x)＝0得x1＝－，x2＝
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
f(－)
f()
6．已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．
(Ⅰ)确定a的值；
(Ⅱ)若g(x)＝
f(x)ex，讨论g(x)的单调性．
【解】 (Ⅰ)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝0，即3a·＋2×＝a－＝0，解得a＝.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，g(x)＝ex，故g′(x)＝ex＋ex
＝ex＝x(x＋1)(x＋4)ex.
令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；
