2012年中考数学压轴精品--动态几何5

抛物线中动形存在性
要点分析：
抛物线的解析式有下列三种形式：
一般式：(a≠0)；
2、顶点式：y =a(x—h) 2 ＋k；
3、交点式：y=a(x—x 1)(x—x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。
解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。
题型解析：
1.抛物线中三角形
例1. 如图．抛物线经过A（－1，0），C（2，）两点，与x轴交于另一点B．
(1) 求此地物线的解析式；
(2) 若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 (不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且
∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E，G，与(2)中的函数图象交于点F，H．问四边形EFHG能否为平行四边形 若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由．
备用图
解：(1) ∵拋物线y1=ax22axb经过A(1，0)，C(0，)两点，∴，∴a= ，
b=，∴拋物线的解析式为y1= x2x。
(2) 作MNAB，垂足为N。由y1= x2x易得M(1，2)，
N(1，0)，A(1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，
MBN=45。根据勾股定理有BM 2BN 2=PM 2PN 2。
∴(2)222=PM2= (1x)2…，又MPQ=45=MBP，
∴△MPQ~△MBP，∴PM2=MQMB=y22…。
由、得y2=x2x。∵0x<3，∴y2与x的函数关系式为y2=x2x(0x<3)。
(3) 四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是
mn=2(0m2，且m1)。∵点E、G是抛物线y1= x2x
分别与直线x=m，x=n的交点，∴点E、G坐标为
E(m，m2m)，G(n，n2n)。同理，点F、H坐标
为F(m，m2m)，H(n，n2n)。
∴EF=m2m(m2m)=m22m1，GH=n2n(n2n)=n22n1。
∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH。∴m22m1=n22n1，∴(mn2)(mn)=0。
由题意知mn，∴mn=2 (0m2，且m1)。
因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是mn=2 (0m2，且m1)。
练习1:如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A
的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90 的点P的坐标．
抛物线中四边形:
例2.已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D．
（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．
求证：四边形ODBE是等腰梯形；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）求出：，，抛物线的对称轴为：x=2
(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE
∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），
∴∠BOE= ∠OBD= ∴OE∥BD
∴四边形ODBE是梯形 ………………5分
在和中，
OD= ，BE=
∴OD= BE
∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分
(3) 存在， ………………8分
由题意得： ………………9分
设点Q坐标为（x，y），
由题意得：=
∴
当y=1时，即，∴ ， ，
∴Q点坐标为（2+，1）或(2-，1) ………………11分
当y=-1时，即， ∴x=2，
∴Q点坐标为（2，-1）
综上所述，抛物线上存在三点Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）
使得=． ………………12分
练习2: 如图，在直角坐标系中，点为函数 HYPERLINK "http://www." 在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．
（1）求证：点为线段的中点；
（2）求证：①四边形为平行四边形；
②平行四边形为菱形；
（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．
抛物线中圆:
例3、如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）。 ⑴求圆心的坐标； ⑵抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶点在正比例函数
y＝－x的图象上，求抛物线的解析式； ⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否在⑵中的抛物线上； ⑷若⑵中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围。
解：（1）∵⊙C经过原点O， ∴AB为⊙C的直径。 ∴C为AB的中点。
过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH＝OB＝，OH＝OA＝1。
∴圆心C的坐标为（1，）。
∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x＝1。
∵抛物线的顶点在直线y＝－x上，
∴顶点坐标为（1，－）把这三点的坐标代入抛物线抛物线y＝ax2＋bx＋c，得
解得
∴抛物线的解析式为。
∵OA＝2，OB＝2，∴.即⊙C的半径r＝2。
∴D（3，），E（－1，）代入检验，知点D、E均在抛物线上.
∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角。∴－1＜x0＜0，或2＜x0＜3。
练习3:已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°.
⑴求m的值及抛物线顶点坐标；
⑵过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、
y轴于点F、G，求直线FG的解析式；
⑶在条件⑵下，设P为上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.
三、课堂小结：
抛物线与几何综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握抛物线与相关图形的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。
四、作业训练:
1. 已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．在平面直角坐标系中给定以下五个．
（1）请从五点中任选三点，求一条以平行于轴的直线为对称轴的抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图；
（3）已知点在抛物线的对称轴上，直线过点且垂直于对称轴．验证：以为圆心，为半径的圆与直线相切．请你进一步验证，以抛物线上的点为圆心为半径的圆也与直线相切．由此你能猜想到怎样的结论．
3.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由
4.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.
P
M
Q
A
B
O
y
x
N
O
E
F
G
H
x
y
E
E
F
Q1
Q3
Q2
x
l
Q
C
P
A
O
B
H
R
y
A
B
C
D
E
F
O
H
x
y
y
O
x
G
F
H
A
B
C
O
D
E
x
y
x=2