第2讲 二次函数的认识 知识回顾+专题讲解+巩固练习-2021年中考数学二轮复习讲义（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 第2讲 二次函数的认识 知识回顾+专题讲解+巩固练习-2021年中考数学二轮复习讲义（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 359.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-21 05:42:44 | ||
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文档简介
第二讲二次函数
㈠承上启下 知识回顾
问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？
问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”
㈡紧扣考点 专题讲解
请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：
面积y (cm2)与圆的半径 x ( cm )
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;
y =πx2
（2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000
上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax?+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式.
我们把形如y=ax?+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion)
称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，
1、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) (2) (3)
（5）
答：1.3.4.
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1） （2） （3）
二次函数1 二次函数3 二次函数 -2
一次项系数0 一次项系数7 一次项系数 2
常数项1 常数项 -12 常数项0
3、若函数为二次函数，则m的值为 2 。
例1、已知二次函数 当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。
例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) , 四边形EFGH的面积为y(cm2),求：
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；（2）求四边形EFGH的面积为3cm2时的x值；
（3）四边形EFGH的面积可以为1.5cm2吗？请说明理由．
例3、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），已知平行于墙的一边为x,矩形的面积为y,求：
(1)写出y关于x的函数关系式.
(2)当x=5时,矩形的面积为多少?
例4、函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数)，当a,b,c满足什么条件时：
⑴它是二次函数？
⑵它是一次函数？
⑶它是正比例函数？
例5、用描点法画出二次函数 和图像
列表
x … -2
-1
0
1
2 …
… 4
0
1
…
… -4
0
-1
…
思考一下问题：
①无论x取何值，对于来说，y的值有什么特征？对于来说，又有什么特征？
②当x取互为相反数时，对应的y的值有什么特征？
描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.
连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到和的图像。
2、二次函数（）的图像
由上面的四个函数图像概括出：
二次函数的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。
当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上方(除顶点外)；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴的 下方(除顶点外)。
观察二次函数和的图像
(1) 填空：
抛物线
顶点坐标
对称轴
位 置
开口方向
(2)在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数和的图像怎样画更简便？
(抛物线与抛物线关于x轴对称，只要画出与中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画)
㈢高分秘籍 巩固练习
1、练习：在同一直角坐标系中画出二次函数 和的图像。
2、如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）.?
?
（1）求a的值和图象的顶点坐标。???
（2）点Q（m，n)在该二次函数图象上.?
①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.
3、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
㈣精益求精 拓展提高
1、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
（1）S=15?-4x?
（2）S=15?-4x?=225-4×9=189平方厘米
2.如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少米？解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（32-2x+2）米，
【当堂过手训练】（快练10分钟，稳准建奇功！）
训练时间 学生姓名 过手分数 批改老师
1、下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中是二次函数的是 ⑤ ，其中 ， ，
2、当 时，函数（为常数）是关于的二次函数
3、当m=3时，函数是关于的二次函数
4、当m=1时，函数+3x是关于的二次函数
若点 A ( 2, ) 在函数 的图像上，则 A 点的坐标是____________.
6、在圆的面积公式 S＝πr2 中，s 与 r 的关系是（ ）
A、一次函数关系 B、正比例函数关系
C、反比例函数关系 D、二次函数关系
7、如图，矩形的长是 4cm，宽是 3cm，如果将长和宽都增加 x cm，那么面积增加 ycm2，
① 求 y 与 x 之间的函数关系式.
② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm2.
8、已知二次函数当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.
第二讲二次函数
㈠承上启下 知识回顾
问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？
问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”
㈡紧扣考点 专题讲解
请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：
面积y (cm2)与圆的半径 x ( cm )
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;
y =πx2
（2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000
上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax?+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式.
我们把形如y=ax?+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion)
称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，
1、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) (2) (3)
（5）
答：1.3.4.
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1） （2） （3）
二次函数1 二次函数3 二次函数 -2
一次项系数0 一次项系数7 一次项系数 2
常数项1 常数项 -12 常数项0
3、若函数为二次函数，则m的值为 2 。
例1、已知二次函数 当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。
根据题意得
1+p+q＝4
4+2p+q＝?5
，
解得
p＝?12
q＝15
，
所以二次函数解析式为y=x2-12x+15．
例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) , 四边形EFGH的面积为y(cm2),求：
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；（2）求四边形EFGH的面积为3cm2时的x值；
（3）四边形EFGH的面积可以为1.5cm2吗？请说明理由．
解：（1）∵在正方形纸上剪去4个全等的直角三角形，
∴∠AHE=∠DGH，∠DGH+∠DHG=90°，HG=HE，
∵∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG，
∴∠EHG=90°，四边形EFGH为正方形，
在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB-AE=2-x，∠A=90°，
∴HE2=AE2+AH2=x2+（2-x）2=2x2-4x+4，
正方形EFGH的面积y=HE2=2x2-4x+4，
∵AE，AH均为正值，
∴0＜x＜2，
故y关于x的函数表达式为：y=2x2-4x+4，自变量x的取值范围0＜x＜2．
（2）将y=3代入y=2x2-4x+4中，整理得：2x2-4x+1=0，
解得：x1=1+√2222，x2=1-√2222，
故四边形EFGH的面积为3cm2时的x的值为1+√2222或1-√2222．
（3）四边形EFGH的面积为：y=2x2-4x+4=2（x-1）2+2，（0＜x＜2），
∵（x-1）2≥0，
∴y≥2，四边形EFGH的面积不能为1.5cm2．
例3、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），已知平行于墙的一边为x,矩形的面积为y,求：
(1)写出y关于x的函数关系式.
(2)当x=5时,矩形的面积为多少?
与墙相连的边为X,则相墙平行的边为(20-2X).
则:s=x(20-2x)= -2x^2+20x.
s= -2x^2+20x= -2(x-5)^2+50.
即当X=5(米)时,s有最大值,s的最大值为50平方米.
例4、函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数)，当a,b,c满足什么条件时：
⑴它是二次函数？
⑵它是一次函数？
⑶它是正比例函数？
（1）当a≠0时；
（2）当a=0且b≠0时；
（3）当a=0，c=0，b≠0时
例5、用描点法画出二次函数 和图像
列表
x … -2
-1
0
1
2 …
… 4
0
1
…
… -4
0
-1
…
思考一下问题：
①无论x取何值，对于来说，y的值有什么特征？对于来说，又有什么特征？
②当x取互为相反数时，对应的y的值有什么特征？
描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.
连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到和的图像。
2、二次函数（）的图像
由上面的四个函数图像概括出：
二次函数的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。
当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上方(除顶点外)；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴的 下方(除顶点外)。
观察二次函数和的图像
(1) 填空：
抛物线
顶点坐标
对称轴
位 置
开口方向
(2)在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数和的图像怎样画更简便？
(抛物线与抛物线关于x轴对称，只要画出与中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画)
㈢高分秘籍 巩固练习
1、练习：在同一直角坐标系中画出二次函数 和的图像。
图略
2、如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）.?
?
（1）求a的值和图象的顶点坐标。???
（2）点Q（m，n)在该二次函数图象上.?
①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.
1）解：把P（-2，3）代入y=x2+ax+3，得3=（-2）2-2a+3，?
解得a=2.
∵y=x2+2x+3=(x+1）2+2，
∴顶点坐标为（-1，2）
（2）解：①把x=2代入y=x2+2x+3，求得y=11，?
∴当m=2时，n=11.
②2≤<11
3、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
（1）∵抛物线y=ax2经过点A（-2，-8），
∴a?（-2）2=-8，
∴a=-2．
∴此抛物线的函数解析式为y=-2x2．
（2）把x=-1代入y=-2x2．得y=-2×1=-2，
所以点B（-1，-4）不在此抛物线上；
（3）把y=-6代入y=-2x2得-6=-2x2，解得，x=±3，
所以纵坐标为-6的点的坐标为（3，-6）或（-3，-6）．4、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为13m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB为x m，面积为S m?
（1）求S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若要围成面积为45 m?的花圃，则AB的长是多少米？
（3）x为何值时，满足条件的花圃面积最大？最大面积是多少？
1） ?
（2）当S=45时，有 ，解得 ，∵ ，∴x=5.
（3） ,∵抛物线开口向下，对称轴为x=4，当x>4时，y随x增大而减小，∴在 范围内，当x= 时，S最大， 。此时AB= ，BC=10.
（1）根据AB为xm，BC就为 ，利用长方体的面积公式，可求出关系式．
（2）将S=45m代入（1）中关系式，可求出x即AB的长．
（3）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃．此故可求．㈣精益求精 拓展提高
1、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
（1）S=15?-4x?
（2）S=15?-4x?=225-4×9=189平方厘米
2.如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少米？解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（32-2x+2）米，
由题意得x?（32-2x+2）=140，
整理，得x2-17x+70=0，
解得x1=10，x2=7，
当垂直于墙的边长为7米，则平行于墙的长度为32-14+2=20（米）＞16米，舍去；
当垂直于墙的边长为10米，则平行于墙的长度为32-20+2=14（米）；
答：仓库的长和宽分别为10米，14米．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于利用图形得出平行于墙的一边长为（32-2x+2）米．
【当堂过手训练】（快练10分钟，稳准建奇功！）
训练时间 学生姓名 过手分数 批改老师
1、下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中是二次函数的是 ⑤ ，其中 -1 ， 1 ， 0
2、当 ≠-2 时，函数（为常数）是关于的二次函数
3、当m=3时，函数是关于的二次函数
4、当m=1时，函数+3x是关于的二次函数
若点 A ( 2, ) 在函数 的图像上，则 A 点的坐标是___（2,3）_________.
6、在圆的面积公式 S＝πr2 中，s 与 r 的关系是（ C ）
A、一次函数关系 B、正比例函数关系
C、反比例函数关系 D、二次函数关系
7、如图，矩形的长是 4cm，宽是 3cm，如果将长和宽都增加 x cm，那么面积增加 ycm2，
① 求 y 与 x 之间的函数关系式.
② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm2.
解：（1）y=(4+x) (3+x)-12=7x+x2；
（2）8=7x+x2
解得：x1=1，x2=-8（舍去） ，
所以边长增加1cm。
8、已知二次函数当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.
二次函数y=ax平方+c(a≠0),当x=1时,y=-1,
-1=a+c
当x=2时,y=2
2=4a+c
3a=3
a=1
c=-2
此函数的解析式y=x^2-2
㈠承上启下 知识回顾
问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？
问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”
㈡紧扣考点 专题讲解
请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：
面积y (cm2)与圆的半径 x ( cm )
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;
y =πx2
（2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000
上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax?+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式.
我们把形如y=ax?+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion)
称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，
1、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) (2) (3)
（5）
答：1.3.4.
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1） （2） （3）
二次函数1 二次函数3 二次函数 -2
一次项系数0 一次项系数7 一次项系数 2
常数项1 常数项 -12 常数项0
3、若函数为二次函数，则m的值为 2 。
例1、已知二次函数 当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。
例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) , 四边形EFGH的面积为y(cm2),求：
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；（2）求四边形EFGH的面积为3cm2时的x值；
（3）四边形EFGH的面积可以为1.5cm2吗？请说明理由．
例3、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），已知平行于墙的一边为x,矩形的面积为y,求：
(1)写出y关于x的函数关系式.
(2)当x=5时,矩形的面积为多少?
例4、函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数)，当a,b,c满足什么条件时：
⑴它是二次函数？
⑵它是一次函数？
⑶它是正比例函数？
例5、用描点法画出二次函数 和图像
列表
x … -2
-1
0
1
2 …
… 4
0
1
…
… -4
0
-1
…
思考一下问题：
①无论x取何值，对于来说，y的值有什么特征？对于来说，又有什么特征？
②当x取互为相反数时，对应的y的值有什么特征？
描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.
连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到和的图像。
2、二次函数（）的图像
由上面的四个函数图像概括出：
二次函数的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。
当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上方(除顶点外)；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴的 下方(除顶点外)。
观察二次函数和的图像
(1) 填空：
抛物线
顶点坐标
对称轴
位 置
开口方向
(2)在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数和的图像怎样画更简便？
(抛物线与抛物线关于x轴对称，只要画出与中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画)
㈢高分秘籍 巩固练习
1、练习：在同一直角坐标系中画出二次函数 和的图像。
2、如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）.?
?
（1）求a的值和图象的顶点坐标。???
（2）点Q（m，n)在该二次函数图象上.?
①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.
3、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
㈣精益求精 拓展提高
1、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
（1）S=15?-4x?
（2）S=15?-4x?=225-4×9=189平方厘米
2.如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少米？解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（32-2x+2）米，
【当堂过手训练】（快练10分钟，稳准建奇功！）
训练时间 学生姓名 过手分数 批改老师
1、下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中是二次函数的是 ⑤ ，其中 ， ，
2、当 时，函数（为常数）是关于的二次函数
3、当m=3时，函数是关于的二次函数
4、当m=1时，函数+3x是关于的二次函数
若点 A ( 2, ) 在函数 的图像上，则 A 点的坐标是____________.
6、在圆的面积公式 S＝πr2 中，s 与 r 的关系是（ ）
A、一次函数关系 B、正比例函数关系
C、反比例函数关系 D、二次函数关系
7、如图，矩形的长是 4cm，宽是 3cm，如果将长和宽都增加 x cm，那么面积增加 ycm2，
① 求 y 与 x 之间的函数关系式.
② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm2.
8、已知二次函数当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.
第二讲二次函数
㈠承上启下 知识回顾
问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？
问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”
㈡紧扣考点 专题讲解
请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：
面积y (cm2)与圆的半径 x ( cm )
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;
y =πx2
（2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000
上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax?+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式.
我们把形如y=ax?+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion)
称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，
1、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) (2) (3)
（5）
答：1.3.4.
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1） （2） （3）
二次函数1 二次函数3 二次函数 -2
一次项系数0 一次项系数7 一次项系数 2
常数项1 常数项 -12 常数项0
3、若函数为二次函数，则m的值为 2 。
例1、已知二次函数 当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。
根据题意得
1+p+q＝4
4+2p+q＝?5
，
解得
p＝?12
q＝15
，
所以二次函数解析式为y=x2-12x+15．
例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) , 四边形EFGH的面积为y(cm2),求：
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；（2）求四边形EFGH的面积为3cm2时的x值；
（3）四边形EFGH的面积可以为1.5cm2吗？请说明理由．
解：（1）∵在正方形纸上剪去4个全等的直角三角形，
∴∠AHE=∠DGH，∠DGH+∠DHG=90°，HG=HE，
∵∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG，
∴∠EHG=90°，四边形EFGH为正方形，
在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB-AE=2-x，∠A=90°，
∴HE2=AE2+AH2=x2+（2-x）2=2x2-4x+4，
正方形EFGH的面积y=HE2=2x2-4x+4，
∵AE，AH均为正值，
∴0＜x＜2，
故y关于x的函数表达式为：y=2x2-4x+4，自变量x的取值范围0＜x＜2．
（2）将y=3代入y=2x2-4x+4中，整理得：2x2-4x+1=0，
解得：x1=1+√2222，x2=1-√2222，
故四边形EFGH的面积为3cm2时的x的值为1+√2222或1-√2222．
（3）四边形EFGH的面积为：y=2x2-4x+4=2（x-1）2+2，（0＜x＜2），
∵（x-1）2≥0，
∴y≥2，四边形EFGH的面积不能为1.5cm2．
例3、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），已知平行于墙的一边为x,矩形的面积为y,求：
(1)写出y关于x的函数关系式.
(2)当x=5时,矩形的面积为多少?
与墙相连的边为X,则相墙平行的边为(20-2X).
则:s=x(20-2x)= -2x^2+20x.
s= -2x^2+20x= -2(x-5)^2+50.
即当X=5(米)时,s有最大值,s的最大值为50平方米.
例4、函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数)，当a,b,c满足什么条件时：
⑴它是二次函数？
⑵它是一次函数？
⑶它是正比例函数？
（1）当a≠0时；
（2）当a=0且b≠0时；
（3）当a=0，c=0，b≠0时
例5、用描点法画出二次函数 和图像
列表
x … -2
-1
0
1
2 …
… 4
0
1
…
… -4
0
-1
…
思考一下问题：
①无论x取何值，对于来说，y的值有什么特征？对于来说，又有什么特征？
②当x取互为相反数时，对应的y的值有什么特征？
描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.
连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到和的图像。
2、二次函数（）的图像
由上面的四个函数图像概括出：
二次函数的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。
当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上方(除顶点外)；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴的 下方(除顶点外)。
观察二次函数和的图像
(1) 填空：
抛物线
顶点坐标
对称轴
位 置
开口方向
(2)在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数和的图像怎样画更简便？
(抛物线与抛物线关于x轴对称，只要画出与中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画)
㈢高分秘籍 巩固练习
1、练习：在同一直角坐标系中画出二次函数 和的图像。
图略
2、如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）.?
?
（1）求a的值和图象的顶点坐标。???
（2）点Q（m，n)在该二次函数图象上.?
①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.
1）解：把P（-2，3）代入y=x2+ax+3，得3=（-2）2-2a+3，?
解得a=2.
∵y=x2+2x+3=(x+1）2+2，
∴顶点坐标为（-1，2）
（2）解：①把x=2代入y=x2+2x+3，求得y=11，?
∴当m=2时，n=11.
②2≤<11
3、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
（1）∵抛物线y=ax2经过点A（-2，-8），
∴a?（-2）2=-8，
∴a=-2．
∴此抛物线的函数解析式为y=-2x2．
（2）把x=-1代入y=-2x2．得y=-2×1=-2，
所以点B（-1，-4）不在此抛物线上；
（3）把y=-6代入y=-2x2得-6=-2x2，解得，x=±3，
所以纵坐标为-6的点的坐标为（3，-6）或（-3，-6）．4、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为13m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB为x m，面积为S m?
（1）求S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若要围成面积为45 m?的花圃，则AB的长是多少米？
（3）x为何值时，满足条件的花圃面积最大？最大面积是多少？
1） ?
（2）当S=45时，有 ，解得 ，∵ ，∴x=5.
（3） ,∵抛物线开口向下，对称轴为x=4，当x>4时，y随x增大而减小，∴在 范围内，当x= 时，S最大， 。此时AB= ，BC=10.
（1）根据AB为xm，BC就为 ，利用长方体的面积公式，可求出关系式．
（2）将S=45m代入（1）中关系式，可求出x即AB的长．
（3）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃．此故可求．㈣精益求精 拓展提高
1、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
（1）S=15?-4x?
（2）S=15?-4x?=225-4×9=189平方厘米
2.如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少米？解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（32-2x+2）米，
由题意得x?（32-2x+2）=140，
整理，得x2-17x+70=0，
解得x1=10，x2=7，
当垂直于墙的边长为7米，则平行于墙的长度为32-14+2=20（米）＞16米，舍去；
当垂直于墙的边长为10米，则平行于墙的长度为32-20+2=14（米）；
答：仓库的长和宽分别为10米，14米．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于利用图形得出平行于墙的一边长为（32-2x+2）米．
【当堂过手训练】（快练10分钟，稳准建奇功！）
训练时间 学生姓名 过手分数 批改老师
1、下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中是二次函数的是 ⑤ ，其中 -1 ， 1 ， 0
2、当 ≠-2 时，函数（为常数）是关于的二次函数
3、当m=3时，函数是关于的二次函数
4、当m=1时，函数+3x是关于的二次函数
若点 A ( 2, ) 在函数 的图像上，则 A 点的坐标是___（2,3）_________.
6、在圆的面积公式 S＝πr2 中，s 与 r 的关系是（ C ）
A、一次函数关系 B、正比例函数关系
C、反比例函数关系 D、二次函数关系
7、如图，矩形的长是 4cm，宽是 3cm，如果将长和宽都增加 x cm，那么面积增加 ycm2，
① 求 y 与 x 之间的函数关系式.
② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm2.
解：（1）y=(4+x) (3+x)-12=7x+x2；
（2）8=7x+x2
解得：x1=1，x2=-8（舍去） ，
所以边长增加1cm。
8、已知二次函数当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.
二次函数y=ax平方+c(a≠0),当x=1时,y=-1,
-1=a+c
当x=2时,y=2
2=4a+c
3a=3
a=1
c=-2
此函数的解析式y=x^2-2
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