第1讲 一次函数与反比例函数 知识回顾+专题讲解+巩固练习-2021年中考数学二轮复习讲义（word版含答案）

第一讲一次函数与反比例函数
㈠承上启下 知识回顾
函数基础知识
(1)函数:如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值 ，y都有 唯一确定的值 与之对应，此时称y是x的 函数，其中x是自变量，y是因变量．
(2)自变量的取值范围：
①首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.
函数关系式是整式，自变量取值是 全体实数 ．
函数关系式含有分式，自变量取值应使得 分母 不等于0．
函数关系式含有偶次根式，自变量取值应使得 被开方数 为非负数．
例如：有意义，则自变量x的取值范围是 x≥0 .
有意义，则自变量的取值范围是 x≠0 .
②实际问题的函数式，使实际问题有意义.
(3)常量与变量：常量：在某变化过程中 不变 的量.变量：在某变化过程中 变化 的量.
(4)描点法画函数图象的一般步骤是__列表_、__描点__、_连线_．
(5)函数的三种表示方法:① 列表法 ；② 图象法 ；③ 解析法 .
1、下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、函数的图像在（ A ）
第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限
3、函数中，自变量x的取值范围是 x≤2且x≠-1 ．
4、函数中，自变量x的取值范围是 x＜1且x≠0
一次函数
1.一次函数和正比例函数的定义
一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．
特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．
2.一次函数的图象与性质
(1)一次函数的图象
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和的一条直线．它的倾斜程度由k决定，b决定该直线与y轴交点的位置．
②正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．
一次函数的图象与性质
k、b的符号 k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0
图像的大致位置



经过象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限
性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 y随x的增大而减小
3. 直线与坐标轴围成的三角形面积：
直线y=kx+b与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，b），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为
S△= ·││·│b│．
4.一次函数解析式的确定：常用待定系数法求一次函数的解析式
1、下面函数图象不经过第二象限的为 （ ）
(A) y=3x+2 (B) y=3x－2 (C) y=－3x+2 (D) y=－3x－2
2、一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3），那么这个一次函数的解析式为______
3、已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k经过第_______象限。
4、一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是 ，与y轴交点坐标是 图象与坐标轴所围成的三角形面积是 .
反比例函数
1.反比例函数的概念
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 或 （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．
反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.反比例函数解析式还可以写成(k≠0).
2.反比例函数的图象和性质
(1)图象：反比例函数的图象是双曲线．
(2)性质：
性质1：
k的符号 k＞0 k＜0
图像的大致位置

经过象限 第一、第三 象限 第二、第四 象限
性质 在每一象限内y随x的增大而 减小 在每一象限内y随x的增大而 增大
注意:双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．
性质2：双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．
3.的几何含义：反比例函数(k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积S矩形OAPB=.△OAP的面积S△OAP=.
1、已知点A(－3，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝的图象上，则( )．
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
2、反比例函数在第一象限的图象如图所示，
则k的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、点A在双曲线上，则正△AOB的
面积为 ，点B坐标为 。
㈡紧扣考点 专题讲解
1、如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴交于点C，则此一次函数的解析式为__________，△AOC的面积为_________．

2、如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐

3、如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C在x轴上，若△ABC是等腰三角形，试求点C的坐标。
4、一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第二象限内做等边△ABC
（1）求C点的坐标。
（2）在第二象限内有一点M（m，1），使S△ABM =S△ABC ，求M点的坐标。
5、如图，反比例函数y=的图象与经过原点的直线相交于点A、B，已知A的坐标为（﹣2，1），则点B的坐标为　 　．

6、如图，双曲线y=与直线y=mx相交于A，B两点，B点的坐标为（﹣2，﹣3），则A点的坐标为　 　．

7、函数与的图象交于点A、B，过点A
作AC⊥y轴，则△ABC的面积是 。
8、如图，正方形OABC的边长为1，反比例函数
的图象经过点B，则k的值为 。
如图，点A在双曲线y=上，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当OA＝4时，则△ABC周长为 .
10、如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F. 若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是
㈢高分秘籍 巩固练习
1、如图，正比例函数y1=kx和反比例函数y2=的图像交于A（-1，2）、（1，-2）两点，若y1 ＜y2，则x的取值范围是

2、如图，一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若y＞y，则x的取值范围是
3、函数和的图象如图所示，则结论：
(1)两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；
(2)当x＞2时，y2＞y1；
(3)当x=1时，BC=3；
(4)当x逐渐增大时，y1随x的增大而增大，
y2随x的增大而减小。
其中正确的结论的序号是 。
4、直线与双曲线交于点A（－4，n），B（2，－4）。
(1)求两个函数的解析式；
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB面积；
(3)求方程的解；
(4) 求不等式的解集。
㈣精益求精 拓展提高
1、若函数y=-kx+2k+2与的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是k＞ ．
2、如果一次函数相交于点（），那么该直线与双曲线的另一个交点为__________.
3、 如图，在中，点是直线与双曲线在第一象限的交点，且，则A的坐标是_________.
4、直线y=ax(a＞0)与双曲线y=交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则4x1y2－3x2y1=______．
5、如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数 （）的图象上，则点E的坐标是
如图，，，……在函数的图像上，，，，……都是等腰直角三角形，斜边、、，……都在轴上，求，P2 ，P3的坐标
【当堂过手训练】（快练10分钟，稳准建奇功！）
训练时间 学生姓名 过手分数 批改老师
1、若一次函数y=kx+b交于y轴的负半轴，且y的值随x的增大而减少，则k____0，b______0．（填“>”、“<”或“＝”）
2、已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_________．
3、直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是________
4、如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____．
5、若m＜－1，则函数① ②y＝－mx＋1， ③y＝mx，④y＝(m＋1)x中，y随x增大而增大的是________．

6、在同一直角坐标系中，若函数y＝k1x(k1≠0)的图象与(k2≠0)的图象没有公共点，则k1k2________0．
第一讲一次函数与反比例函数
㈠承上启下 知识回顾
函数基础知识
(1)函数:如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值 ，y都有 唯一确定的值 与之对应，此时称y是x的 函数，其中x是自变量，y是因变量．
(2)自变量的取值范围：
①首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.
函数关系式是整式，自变量取值是 全体实数 ．
函数关系式含有分式，自变量取值应使得 分母 不等于0．
函数关系式含有偶次根式，自变量取值应使得 被开方数 为非负数．
例如：有意义，则自变量x的取值范围是 x≥0 .
有意义，则自变量的取值范围是 x≠0 .
②实际问题的函数式，使实际问题有意义.
(3)常量与变量：常量：在某变化过程中 不变 的量.变量：在某变化过程中 变化 的量.
(4)描点法画函数图象的一般步骤是__列表_、__描点__、_连线_．
(5)函数的三种表示方法:① 列表法 ；② 图象法 ；③ 解析法 .
1、下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、函数的图像在（ A ）
第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限
3、函数中，自变量x的取值范围是 x≤2且x≠-1 ．
4、函数中，自变量x的取值范围是 x＜1且x≠0
一次函数
1.一次函数和正比例函数的定义
一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．
特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．
2.一次函数的图象与性质
(1)一次函数的图象
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和的一条直线．它的倾斜程度由k决定，b决定该直线与y轴交点的位置．
②正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．
一次函数的图象与性质
k、b的符号 k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0
图像的大致位置



经过象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限
性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 y随x的增大而减小
3. 直线与坐标轴围成的三角形面积：
直线y=kx+b与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，b），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为
S△= ·││·│b│．
4.一次函数解析式的确定：常用待定系数法求一次函数的解析式
1、下面函数图象不经过第二象限的为 （ D ）
(A) y=3x+2 (B) y=3x－2 (C) y=－3x+2 (D) y=－3x－2
2、一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3），那么这个一次函数的解析式为_y=-2x+3______
3、已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k经过第___二三四____象限。
4、一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是 （2,0） ，与y轴交点坐标是 （0,4） 图象与坐标轴所围成的三角形面积是 4 .
反比例函数
1.反比例函数的概念
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成或 xy＝k （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．
反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.反比例函数解析式还可以写成(k≠0).
2.反比例函数的图象和性质
(1)图象：反比例函数的图象是双曲线．
(2)性质：
性质1：
k的符号 k＞0 k＜0
图像的大致位置

经过象限 第一、第三 象限 第二、第四 象限
性质 在每一象限内y随x的增大而 减小 在每一象限内y随x的增大而 增大
注意:双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．
性质2：双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．
3.的几何含义：反比例函数(k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积S矩形OAPB=.△OAP的面积S△OAP=.
1、已知点A(－3，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝的图象上，则( D )．
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
2、反比例函数在第一象限的图象如图所示，
则k的值可能是（ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、点A在双曲线上，则正△AOB的
面积为 √3 ，点B坐标为 (2,0) 。
㈡紧扣考点 专题讲解
1、如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴交于点C，则此一次函数的解析式为_____y=x+2_____，△AOC的面积为____4_____．

2、如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐解：（1）由 ，令 ，得 ．
． ．
（2）设直线 的解析表达式为 ，由图象知： ， ； ， ．
∴直线 的解析表达式为 ．
（3）由 解得 ． ，
．
（4） ．
3、如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C在x轴上，若△ABC是等腰三角形，试求点C的坐标。
由题意，A(3,0),B(0.6)。AB=√（3?+6?）=3√5
△ABC为等腰三角形分三种情况：
①C在A的右边，AC=AB，则C的坐标为（3+3√5 ，0）
②C在A的右边，AC=AB，则C的坐标为（3-3√5，0）
③C在A的右边，AC=CB，设C为（x,0），原点为O。
根据勾股定理，得：OC?+OB?=BC?=AC?
x?+6?=(3+x)? => x=9/2 ，即C的坐标为(-9/2，0)。
4、一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第二象限内做等边△ABC
（1）求C点的坐标。
（2）在第二象限内有一点M（m，1），使S△ABM =S△ABC ，求M点的坐标。
（1）、设C(-x，x）因为CA=AB
所以x?＋（x-2）?=8
解得
x=√2-1因为设的x为正，c点为（-√2＋1，√2-1）
（2）、CM‖AB
m=3-2√2
M(3-2√2,1)
5、如图，反比例函数y=的图象与经过原点的直线相交于点A、B，已知A的坐标为（﹣2，1），则点B的坐标为　 （2，-1） 　．

6、如图，双曲线y=与直线y=mx相交于A，B两点，B点的坐标为（﹣2，﹣3），则A点的坐标为　 （2,3） 　．

7、函数与的图象交于点A、B，过点A
作AC⊥y轴，则△ABC的面积是 2 。
8、如图，正方形OABC的边长为1，反比例函数
的图象经过点B，则k的值为 -1 。
如图，点A在双曲线y=上，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当OA＝4时，则△ABC周长为 2√7 .
10、如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F. 若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是 （12,8/3）
㈢高分秘籍 巩固练习
1、如图，正比例函数y1=kx和反比例函数y2=的图像交于A（-1，2）、（1，-2）两点，若y1 ＜y2，则x的取值范围是 x＜-1或0＜x＜1

2、如图，一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若y＞y，则x的取值范围是 x＜0或1＜x＜4
3、函数和的图象如图所示，则结论：
(1)两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；
(2)当x＞2时，y2＞y1；
(3)当x=1时，BC=3；
(4)当x逐渐增大时，y1随x的增大而增大，
y2随x的增大而减小。
其中正确的结论的序号是 1,3,4 。
4、直线与双曲线交于点A（－4，n），B（2，－4）。
(1)求两个函数的解析式；
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB面积；
(3)求方程的解；
(4) 求不等式的解集。
1）由图象得：n+1＜0，解得：n＜－1。
由y=kx+k，令y=0，解得：，∴A坐标为（－1，0）。
（2）设C（a，b），
∵，∴ab=－8。
∵点C在双曲线上，∴双曲线的解析式为。
（3）∵CB⊥y轴，∴B（0，b）。
在Rt△AOB中，AB=，OA=1，根据勾股定理得：OB=4。
∴B（0，－4）。∴C（2，－4）。
将C代入直线y=kx+k中，得：2k+k=-4，即。
∴直线AC解析式为。
联立直线与反比例解析式得：，解得：或。
∴D（－3，）。
则由图象可得：当x＜－3或0＜x＜2时，反比例函数的值小于一次函数的值。
㈣精益求精 拓展提高
1、若函数y=-kx+2k+2与的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是k＞- 0.5且k≠0 ．
2、如果一次函数相交于点（），那么该直线与双曲线的另一个交点为___（-1,1）_______.
3、 如图，在中，点是直线与双曲线在第一象限的交点，且，则A的坐标是___4_______.
4、直线y=ax(a＞0)与双曲线y=交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则4x1y2－3x2y1=__-3____．
5、如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数 （）的图象上，则点E的坐标是
6、如图，，，……在函数的图像上，，，，……都是等腰直角三角形，斜边、、，……都在轴上，求，P2 ，P3的坐标
【当堂过手训练】（快练10分钟，稳准建奇功！）
训练时间 学生姓名 过手分数 批改老师
1、若一次函数y=kx+b交于y轴的负半轴，且y的值随x的增大而减少，则k_＜___0，b___＜___0．（填“>”、“<”或“＝”）
2、已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_____16____．
3、直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是__4_______
4、如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____．
5、若m＜－1，则函数① ②y＝－mx＋1， ③y＝mx，④y＝(m＋1)x中，y随x增大而增大的是_①____②___．

6、在同一直角坐标系中，若函数y＝k1x(k1≠0)的图象与(k2≠0)的图象没有公共点，则k1k2___＜_____0．