青岛版九年级数学下册
第五章
对函数的再探究
单元评估检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.在反比例函数y=
图象在二、四象限，则k的取值范围是（??
）
A.
k＞3?????????????????????????????
B.
k＞0?????????????????????????
C.
k＜3?????????????????????????
D.
k＜0
2.下列函数中是二次函数的为（
）
A.
y＝3x－1
B.
y＝3x2－1
C.
y＝(x＋1)2－x2
D.
y＝x3＋2x－3
3.若二次函数y=（a+1）x2+3x+a2﹣1的图象经过原点，则a的值必为（??
）.
A.
1或﹣1?????????????????????????
B.
﹣1????????????????????????
C.
0?????????????????????????
D.
1
4.如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为【
】
A.
3
B.
4
C.
D.
5
5.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（??
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
6.抛物线部分图象如图所示（对称轴是），若，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
或
D.
或
7.二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过【
】
A.
第一、二、三象限
B.
第一、二、四象限
C.
第二、三、四象限
D.
第一、三、四象限
8.在反比例函数y＝
（k＜0）的图象上有两点(－1，y1)，(－，y2)，则y1－y2的值是（???）
A.
负数?????????????????????
B.
非负数??????????????????????
C.
正数?????????????????????????
D.
非正数
9.如图，正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），,则y关于x的函数的图像大致为【
】
A.
B.
C.
D.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＜0；②abc＞0；③4a﹣2b+c＞0；④a+c＞0，其中正确结论的个数为（
）.
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
二、填空题（共10题；共30分）
11.抛物线y=x2﹣2x+4与y轴交点坐标为_____．
12.若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______．
13.请写出一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点抛物线的解析式_____________.
14.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为__________．
15.已知y=（m+1）是反比例函数，则m=________．
16.如果函数是反比例函数，那么k＝______．
17.拱桥截面是一条抛物线，如图所示，现测得水面宽AB=16m，拱顶O到水面的距离为8m，在图中的直角坐标系内，拱桥所在抛物线的解析式是________?
18.二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x=________
19.如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为_____．
20.已知反比例函数y=﹣，则有①它的图象在一、三象限：②点（﹣2，4）在它的图象上；③当1＜x＜2时，y的取值范围是﹣8＜y＜﹣4；④若该函数的图象上有两个点A
（x1
，
y1），B（x2
，
y2），那么当x1＜x2时，y1＜y2;以上叙述正确的是________
三、解答题（共8题；共60分）
21.抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
22.已知二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）,与y轴交于点C,顶点为D．
（1）求点A、B、C、D的坐标,并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象;
（2）说出抛物线y＝x2－2x－3可由抛物线y＝x2如何平移得到？
（3）求四边形OCDB的面积．
23.如图，抛物线y=﹣
x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），且∠ACB=90°，tan∠BAC=
．
①求抛物线的解析式；
②若抛物线顶点为P，求四边形APCB的面积．
24.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；
（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．
①当t为
秒时，△PAD的周长最小？当t为
秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）
②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25.如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A（2，1），
（1）求出二次函数表达式；
（2）我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标．
（3）过y轴的正半轴上一点C（0，a）作AO的平行线交抛物线于点B，
①求出直线BC的函数表达式（用a表示）；
②如果点B是整点，求证：△OAB的面积是偶数．
?
26.某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时,平均每天能售出8部；而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部.
（1）当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到多少元?
（2）若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式．
（3）商场要想获得最大利润,每部手机售价应订为为多少元？此时的最大利润是多少元？
27.已知反比例函数（k为常数，k≠1）．
（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；
（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．
28.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE＝5EF，求m的值；
（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．青岛版九年级数学下册
第五章
对函数的再探究
单元评估检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.在反比例函数y=
图象在二、四象限，则k的取值范围是（??
）
A.
k＞3?????????????????????????????
B.
k＞0?????????????????????????
C.
k＜3?????????????????????????
D.
k＜0
【答案】C
【解析】
由题意得：k－3＜0，解得k＜3.
故选C.
点睛：掌握反比例函数图像的性质：k＞0，图像在一、三象限；k＜0，图像在二、四象限.
2.下列函数中是二次函数的为（
）
A.
y＝3x－1
B.
y＝3x2－1
C.
y＝(x＋1)2－x2
D.
y＝x3＋2x－3
【答案】B
【解析】
A.?y=3x?1是一次函数，故A错误；
B.?y=3x2?1二次函数，故B正确；
C?y=(x+1)2?x2不含二次项，故C错误；
D.?y=x3+2x?3是三次函数，故D错误；
故选B.
3.若二次函数y=（a+1）x2+3x+a2﹣1的图象经过原点，则a的值必为（??
）.
A.
1或﹣1?????????????????????????
B.
﹣1????????????????????????
C.
0?????????????????????????
D.
1
【答案】B
【解析】
把（0，0）代入y=（a+1）x2+3x+a2-1得a2-1=0，解得a=1或a=-1，
而a+1≠0，
所以a的值为1．
故选B．
4.如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为【
】
A.
3
B.
4
C.
D.
5
【答案】C
【解析】
设P的坐标是，推出A的坐标和B的坐标，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可：
∵点P在上，∴设P的坐标是．
∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是p．
∵A在上，∴A的坐标是．
∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是．∵B在上，∴，解得：x=﹣2p．
∴B的坐标是（﹣2p，）．
∴．
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB．
∴△PAB的面积是：．故选C．
5.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（??
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】A
【解析】
试题解析：（1）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac＞0；
故本选项正确；
（2）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）以下，
∴c＜1；
故本选项错误；
（3）由图示，知
对称轴x=-＞-1；
又函数图象的开口方向向下，
∴a＜0，
∴-b＜-2a，即2a-b＜0，
故本选项正确；
（4）根据图示可知，当x=1，即y=a+b+c＜0，
∴a+b+c＜0；
故本选项正确；
故选A．
6.抛物线的部分图象如图所示（对称轴是），若，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
或
D.
或
【答案】B
【解析】
试题分析：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x＝1，已知一个交点为（－1，0），
根据对称性，则另一交点为（3，0），
所以y＜0时，x的取值范围是－1＜x＜3．
故选B．
点睛：此题主要考查了抛物线与x轴的交点，此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线与x轴的另一个交点．
7.二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过【
】
A.
第一、二、三象限
B.
第一、二、四象限
C.
第二、三、四象限
D.
第一、三、四象限
【答案】C
【解析】
∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣＞0，＜0．∴＜0，
∴一次函数的图象经过二、三、四象限．故选C．
8.在反比例函数y＝
（k＜0）的图象上有两点(－1，y1)，(－，y2)，则y1－y2的值是（???）
A.
负数?????????????????????
B.
非负数??????????????????????
C.
正数?????????????????????????
D.
非正数
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据k＜0判断出函数图象所在的象限，进而判断出y1，y2的符号，据此可得出结论．
【详解】∵k＜0，
∴反比例函数图象的两个分支分别位于第二四象限．
∵-1＜0，＞0，
∴点（-1，y1）在第二象限，点（，y2）在第四象限，
∴y1＞0，y2＜0，
∴y1-y2＞0．
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9.如图，正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），,则y关于x的函数的图像大致为【
】
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
动点问题的函数图象，正三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理．
【分析】如图，过点C作CD垂直AB于点D，则
∵正△ABC的边长为3，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3．
∴AD=，CD=．
①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=x，PD=（0≤x≤3）．
∴（0≤x≤3）．
∴该函数图象在0≤x≤3上是开口向上的抛物线．
②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=（6－x）（3＜x≤6）；
∴y=（6－x）2=（x-6）2（3＜x≤6），
∴该函数的图象在3＜x≤6上是开口向上的抛物线．
综上所述，该函数为．符合此条件的图象为C．故选C．
10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＜0；②abc＞0；③4a﹣2b+c＞0；④a+c＞0，其中正确结论的个数为（
）.
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
【答案】C
【解析】
试题分析：根据二次函数的图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点；b2﹣4ac的符号决定抛物线与x轴交点个数．所以根据抛物线的开口方向和对称轴判断①；根据抛物线与y轴的交点和对称轴判断②；根据x=﹣2时，y＜0判断③；根据x=±1时，y＞0判断④．①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵﹣＜1，∴2a+b＜0，①正确；②抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵﹣＞0，a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，②错误；③当x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，③错误；x=±1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，a+b+c＞0，∴a+c＞0，④正确，故选C．
考点：二次函数图象与系数的关系．
二、填空题（共10题；共30分）
11.抛物线y=x2﹣2x+4与y轴交点坐标为_____．
【答案】（0，4）
【解析】
当x=0时，y=x2﹣2x+4=02﹣2×0+4=4，
∴抛物线y=x2﹣2x+4与y轴交点坐标为（0，4）．
12.若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______．
【答案】4．
【解析】
】解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．故答案为4．
13.请写出一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式_____________.
【答案】y=x2
(答案不唯一)
【解析】
【分析】
根据二次函数性质与判别式进行解答即可.
【详解】解：设y=ax+bx+c(a≠0),
因为抛物线开口向上,而且与x轴只有一个公共点,所以a＞o,且方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个相同的实数根,
所以b-4ac=0,
令a=1,b=0,则c=0,所以y=x2.
故本题正确答案为y=x2.
【点睛】本题主要考查求二次函数的解析式.
14.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为__________．
【答案】y＝2(x－3)2＋1
【解析】
试题分析：由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左减右加，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移3个单位，再向上平移1个单位后，那么新抛物线的顶点为：（3，1）．
可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得y=2（x﹣3）2+1．
故答案是：y=2（x﹣3）2+1．
考点：二次函数图象与几何变换．
15.已知y=（m+1）是反比例函数，则m=________．
【答案】－1
【解析】
根据反比例函数的定义得，，所以m=-1.
故答案为-1.
16.如果函数是反比例函数，那么k＝______．
【答案】1
【解析】
根据反比例函数的定义．即，只需令，解得；又则；所以k＝1．
故答案为1．
点睛：此题主要考查了反比例函数的定义，解题时，根据解析式的特点，令系数不等于0，次数为-1即可求解未知参数，比较容易，关键是构造不等式和方程，然后可求解判断.
17.拱桥截面是一条抛物线，如图所示，现测得水面宽AB=16m，拱顶O到水面的距离为8m，在图中的直角坐标系内，拱桥所在抛物线的解析式是________?
【答案】
【解析】
【分析】
设出抛物线的解析式，由图中点在抛物线上，用待定系数法求出抛物线解析式．
【详解】设这条抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0）．由已知抛物线经过点B（8，?8），
可得?8＝a×82，有a＝?，
∴抛物线的解析式为y＝?x2．
故答案为y＝?x2．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．
18.二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x=________
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据两已知点的坐标特征得到它们是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x=-1对称，由此可得到抛物线的对称轴．
【详解】∵点（3，4）和（-5，4）的纵坐标相同，
∴点（3，4）和（-5，4）是抛物线的对称点，
而这两个点关于直线x=-1对称，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1．
故答案为-1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-．
19.如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出，即可得出k=EC×EO=3．
【详解】解:连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=30°，
则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴
=tan60°=
，
∴=
=3，
∵点A是双曲线y=-
在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD=×|xy|=
，
∴S△EOC=
，即×OE×CE=，
∴k=OE×CE=3，
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，得出△AOD∽△OCE是解题关键．
20.已知反比例函数y=﹣，则有①它的图象在一、三象限：②点（﹣2，4）在它的图象上；③当1＜x＜2时，y的取值范围是﹣8＜y＜﹣4；④若该函数的图象上有两个点A
（x1
，
y1），B（x2
，
y2），那么当x1＜x2时，y1＜y2;以上叙述正确的是________
【答案】②③．
【解析】
试题解析：①∵k=-8＜0，∴它的图象在一、三象限错误：
②∵-2×4=-8，∴点（-2，4）在它的图象上正确；
③当l＜x＜2时，y的取值范围是-8＜y＜-4，正确；
④当两个点A（x1，y1），B（x2，y2）分别位于不同的象限时，则x1＜x2时，y1＜y2错误，
故答案为②③．
考点：反比例函数的性质．
三、解答题（共8题；共60分）
21.抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
【答案】抛物线的解析式为y=-x2+4x-3;抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
【解析】
分析：把（0，-3）和（2，1）代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式，把y=0代入解析式，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标．
详解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），
∴，解得?，
抛物线的解析式为y=-x2+4x-3，
令y=0，得-x2+4x-3=0，即?x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）．
点睛：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，解二元一次方程组和解一元二次方程等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目较好，难度适中．
22.已知二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）,与y轴交于点C,顶点为D．
（1）求点A、B、C、D的坐标,并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象;
（2）说出抛物线y＝x2－2x－3可由抛物线y＝x2如何平移得到？
（3）求四边形OCDB的面积．
【答案】A（﹣1,0）,B（3,0）,C（0,﹣3）,D（1,﹣4）,图象详见解析；（2）抛物线y＝x2－2x－3可由y＝x2先向右平移1个单位,再向下平移4个单位而得到；（3）．
【解析】
【分析】
（1）抛物线的解析式中，令x=0，可求出C点的坐标，令y=0，可求出A、B的坐标；将二次函数的解析式化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，然后再根据“左加右减，上加下减”的平移规律来进行判断；
（3）由于四边形OCDB不规则，可连接OD，将四边形OCDB的面积分成△OCD和△OBD两部分求解．
【详解】（1）∵二次函数y=x2﹣2x﹣3可化为y=（x+1）（x﹣3），A在B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵c=﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵x===1,y==﹣4，
∴D（1，﹣4），
故此函数的大致图象为：
（2）抛物线y＝x2－2x－3可由y＝x2先向右平移1个单位,再向下平移4个单位而得到；
（3）连接CD、BD，
则四边形OCDB的面积=S矩形OEFB﹣S△BDF﹣S△CED=OB?|OE|﹣DF?|BF|﹣DE?CE=3×4﹣×2×4﹣×1×1=12﹣4﹣=．
【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴交点及顶点坐标的求法，二次函数图象的平移以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时，其面积通常要转化为规则图形的面积的和差．
23.如图，抛物线y=﹣
x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），且∠ACB=90°，tan∠BAC=
．
①求抛物线的解析式；
②若抛物线顶点为P，求四边形APCB的面积．
【答案】①y=﹣
x2﹣
x+
2；②.
【解析】
【分析】
①由y=-x2+bx+c=c，可求得C（0，c），由tan∠BAC=，可设A（-2c，0），B（c，0），把A（-2c，0），B（c，0）代入y=-x2+bx+c=c求得b，c，即可求得求抛物线的解析式；
②解方程-x2-x+=0可求得A，B点的坐标，由于四边形APCB的面积=S△AOP+S△POC+S△COB，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【详解】①令x=0则y=﹣x2+bx+c=c，
∴C（0，c），
∵tan∠BAC=
，
∴A（﹣2c，0），
∠ACB=90°，
∴∠BCO=∠BAC，
∴OB=OC=c，
∴B（c，0），
把A（﹣2c，0），B（
c，0）代入y=﹣x2+bx+c=c，
得，
解得：，
求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+
2；
②y=﹣
x2﹣
x+2=﹣（x+）2+，
∴P（﹣
，
），
令﹣x2﹣x+2=0，解得：x1=﹣1，x2=
，
∴A（﹣4，0），B（
1，0）
连接AP，PC，CB，PO，则四边形APCB的面积=S△AOP+S△POC+S△COB=×4×+×2×+
×1×2=
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数关系式，三角函数的定义，求二次函数的顶点坐标与x轴的交点坐标，割补法求四边形的面积，能够把四边形APCB分割成三个三角形△AOP．△POC，△COB是解题的关键．
24.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；
（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．
①当t为
秒时，△PAD的周长最小？当t为
秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）
②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由抛物线的轴对称性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）．
（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，
由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM．
∵MN∥y轴，AB∥CD，∴四边形ODMN是矩形．
∴DM=ON=2．∴CD=2×2=4．
∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴AB=2．
∵梯形ABCD的面积=（AB+CD）?OD=9，
∴OD=3，即c=3．
把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3得
，解得．
∴y=x2+4x+3．
将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）2﹣1，得E（﹣2，﹣1）．．
（3）①2；
4或或．
②存在．
∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，∴∠PDM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°．
∴∠PDM=∠APN．
∵∠PMD=∠ANP，∴△APN∽△PDM．
∴，即．
∴PN2﹣3PN+2=0，解得PN=1或PN=2．
∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线的轴对称性可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标．
（2）先根据梯形ABCD的面积为9，可求c的值，再运用待定系数法可求抛物线的解析式，转化为顶点式可求顶点E的坐标．
（3）①根据轴对称﹣最短路线问题的求法可得△PAD的周长最小时t的值；根据等腰三角形的性质可分三种情况求得△PAD是以AD为腰的等腰三角形时t的值．
②先证明△APN∽△PDM，根据相似三角形的性质求得PN的值，从而得到点P的坐标．
25.如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A（2，1），
（1）求出二次函数的表达式；
（2）我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标．
（3）过y轴的正半轴上一点C（0，a）作AO的平行线交抛物线于点B，
①求出直线BC的函数表达式（用a表示）；
②如果点B是整点，求证：△OAB的面积是偶数．
?
【答案】（1）y=x2；（2）抛物线上整点坐标可表示为（2n，n2），其中n为整数；（3）①y=x+a；②详见解析.
【解析】
【分析】
（1）可设抛物线的解析式为y=ax2，然后只需把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题；
（2）由抛物线的解析式可知，要使y是整数，只需x是偶数，故x可用2n表示（n为整数），由此就可解决问题；
（3）①可运用待定系数法求出直线OA的解析式，然后根据两直线平行一次项的系数相同，就可得到直线BC的函数表达式；②由于点B是整点，点B的坐标可表示为（2n，n2），代入直线BC的解析式，即可得到a的值（用n表示），然后根据平行等积法可得S△OAB=S△OAC=n（n-1），由于n与n-1是相邻整数，必然一奇一偶，因而n（n-1）是偶数，问题得以解决．
【详解】（1）设抛物线的解析式为y=ax2，
把A（2，1）代入y=ax2，得1=4a，
解得a=，
∴二次函数的表达式为y=x2；
（2）抛物线上整点坐标可表示为（2n，n2），其中n为整数；
（3）①设直线OA解析式为y=kx，
把点A（2，1）代入y=kx，得1=2k，
解得k=，
∴直线OA的解析式为y=x，
则过点C（0，a）与直线OA平行的直线的解析式为y=x+a；
②证明：∵点B是整点，
∴点B的坐标可表示为（2n，n2），其中n为整数，
把B（2n，n2）代入y=x+c，得n2=n+c，
∴c=n2﹣n=n（n﹣1）．
∵BC∥OA，
∴S△OAB=S△OAC=×c×2=c=n（n﹣1）．
∵n为整数，
∴n与n﹣1一奇一偶，
∴n（n﹣1）是偶数，
∴△OAB的面积是偶数．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求直线与抛物线的解析式、两直线平行问题、直线上点的坐标特征、平行等积法、奇数与偶数等知识，运用平行等积法是解决第（3）②小题的关键．
26.某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时,平均每天能售出8部；而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部.
（1）当售价为2800元时,这种手机平均每天销售利润达到多少元?
（2）若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式．
（3）商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元？此时的最大利润是多少元？
【答案】（1）当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到4800元；
（2）；
（3）每台彩电降价150元时,商场每天销售这种彩电的利润最大,最大利润是5000元．
【解析】
试题分析：（1）当售价为2800元时,销售价降低100元,平均每天就能售出16部.即可求出每天利润；
（2）根据：利润=（每台实际售价﹣每台进价）×销售量,每台实际售价=2900﹣x,销售量=8+4×,列函数关系式；
（3）利用二次函数的顶点坐标公式,求函数的最大值．
试题解析：（1）当售价为2800元时,销售价降低100元,平均每天就能售出16部.
所以：这种手机平均每天的销售利润为：（元）；
（2）根据题意,得,
即；
（3）对于,
当时,
所以,每台彩电降价150元时,商场每天销售这种彩电的利润最大,最大利润是5000元．
考点：二次函数的应用．
27.已知反比例函数（k为常数，k≠1）．
（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；
（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．
【答案】（Ⅰ）5（Ⅱ）k＞1（Ⅲ）x1＞x2
【解析】
解：（Ⅰ）由题意，设点P的坐标为（m，2）
∵点P在正比例函数y=x的图象上，∴2=m，即m=2．
∴点P的坐标为（2，2）．
∵点P在反比例函数的图象上，∴，解得k=5．
（Ⅱ）∵在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，
∴k－1＞0，解得k＞1．
（Ⅲ）∵反比例函数图象的一支位于第二象限，
∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．
∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，
∴x1＞x2．
（1）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y=x的图象上可求出m的值，从而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数的图象上，所以，解得k=5．
（2）由于在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k－1＞0，求出k的取值范围即可．
（3）反比例函数图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，故可知x1＞x2．
28.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE＝5EF，求m的值；
（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-x2+4x+5．（2）m=2或m=．（3）（-，），（4，5），（3-，2-3）
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；
（3）解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解；当四边形PECE′是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标．
试题解析：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：
，解得，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x+5．
（2）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，-m2+4m+5），E（m，-m+3），F（m，0）
∴PE=|yP-yE|=|（-m2+4m+5）-（-m+3）|=|-m2+m+2|，
EF=|yE-yF|=|（-m+3）-0|=|-m+3|．
由题意，PE=5EF，即：|-m2+m+2|=5|-m+3|=|-m+15|
①若-m2+m+2=-m+15，整理得：2m2-17m+26=0，
解得：m=2或m=；
②若-m2+m+2=-（-m+15），整理得：m2-m-17=0，
解得：m=或m=．
由题意，m的取值范围为：-1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．
∴m=2或m=．
（3）假设存在．
作出示意图如下：
∵点E、E′关于直线PC对称，
∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．
∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，∴PE=CE，
∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．
当四边形PECE′是菱形存在时，
由直线CD解析式y=-x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．
过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，
∴，即，解得CE=|m|，
∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|-m2+m+2|
∴|-m2+m+2|=|m|．
①若-m2+m+2=m，整理得：2m2-7m-4=0，解得m=4或m=-；
②若-m2+m+2=-m，整理得：m2-6m-2=0，解得m1=3+，m2=3-．
由题意，m的取值范围为：-1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．
当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，
此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，菱形不存在．
综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（-，），（4，5），（3-，2-3）
考点：二次函数综合题．
