整容机
代数诊所里来了两个整式：胖子和瘦子，他俩一进门就对医生诉说起来：“我们俩从来没有生活在一起，长得一点也不像，可有人偏说我俩是双胞胎，我俩今天来的目的就是想检查一下，我们到底是不是双胞胎．”
医生点点头：“你俩跟我来！”然后把胖子送到一台机器前，机器上方写着“分解因式机”，他把送到机器面前一照，图像很快就在屏幕上显示出来．
惊讶地叫起来：“怎么图像与我是一模一样呀？这是怎么回事呀？”
医生说：“这没有什么奇怪的，你们俩其实就是双胞胎，只不过你通过了这种分解因式机整过容罢了．”
“真的？”指着说：“那他能不能也到分解因式机里整容？”
“当然可以，他整容后的形象与你一模一样．”
“那我要是想现在整成他的那个样子，行不行？”
“行！”医生肯定地说．
“那咋整？”
医生把他带到这台机器的后面，只见上面写着：“整式乘法机”，医生说：“如果到这个整式乘法机里再整一次容，你就又变成他那个样子了，也就是你以前的样子．”
“那分解因式与整式的乘法两种手术是不是互逆的关系？”
“对，你真聪明！”
“那手术会失败吗？”
“手术可能会失败，但那是在庸医手里，在高明的医生手里是不会失败的．”
“怎么会这样呢？”
“有的医生学艺不精，比如把整成6（x2–4）的样子，就是庸医的杰作，他根本就没有整完，就撩手了．”
“但愿以后我再整容时不要碰到庸医手里．”(共6张PPT)
填空：
（1）（x+3）（x-3） = ；
（2）（4x+y）（4x-y）= ；
（3）（1+2x）（1–2x）= ；
（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．
根据上面式子填空：
（1）9m –4n = ；
（2）16x –y = ；
（3）x –9= ；
（4）1–4x = ．
观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又
有什么共同特征？
结论:平方差公式 a –b =（a+b）（a–b）
2
2
2
2
2
2
2
2
–
x –9
2
16x –y
2
1–4x
2
9m –4n
2
2
（3m+2n）（3m–2n）
（4x+y）（4x-y）
（x+3）（x-3）
（1+2x）（1–2x）
把下列各式因式分解：
（1）25–16x （2）9a –
1
4
b
2
2
2
将下列各式因式分解：
（1）9（x–y）–（x+y） （2）2x –8x
2
2
3
注意:1、平方差公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式 ；
2、提公因式法是分解因式首先应当考虑的方法 .
解：原式=（5 –4x)(5+4x)
解：原式=（3a+ b)(3a – b)
2
1
2
1
解：（1）原式=[3（x –y)+(x+y)][3（x –y)+(x+y)]
=(3x –3y+x+y)(3x –3y – x – y)
=(4x –2y)(2x –4y)=4(2x –y)(x –2y)
（2）原式=2x(x – 4)= 2x(x+2)(x – 2)
2
1、判断正误：
（1）x +y =（x+y）(x–y) ( )
（2）–x +y =–（x+y）(x–y) ( )
（3）x –y =（x+y）(x–y) ( )
（4）–x –y =–（x+y）(x–y) ( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2、把下列各式因式分解：
（1）4–m （2）9m –4n
（3）a b －m （4）(m－a) －(n＋b)
（5）–16x ＋81y （6）3x y–12xy
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
3
√
×
×
√
解：原式=（2+m)(2 －m)
解：原式=（3m+2n)(3m －2n)
解：原式=（ab+m)(ab －m)
解：原式=[(m －a)+(n+b)][(m －a) －(n+b)]
=( m －a+n+b)(m －a － n － b)
解：原式= －(4x +9y )(4x －9y )
= －(4x +9y )(2x+3y)(2x－3y)
2
2
2
2
2
2
解：原式=3xy(x －4)
=3xy (x+2)(x －2)
2
3、如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．
用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
课本第50页习题2．4第1、2、3题学法指导
1、能用平方差公式分解因式的多项式的特点
（1）在提取公因式以后的多项式一般可写成两部分，每部分可以是单项式，也可以是多项式；
（2）两部分符号相反；
（3）每部分都是完全平方式（数）．
2、能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
（1）在提取公因式以后的多项式一般可写成三部分；
（2）其中有两部分是完全平方式（数）且它们的符号相同；
（3）另外一部分是这两个平方式（数）底数积的两倍，可以为正，也可以为负．第二章 分解因式
回顾与思考
江西省九江市第十一中学 陶增元
总体说明
本节是因式分解的最后一节，占一个课时，它主要让学生回顾在学习因式分解时用到的几种方法：提公因式法与公式法，加深对整式乘法与因式分解之间是互逆关系的印象，通过螺旋式上升的认识，让学生逐步熟悉运用因式分解的基本技能，加强因式分解在生活中的应用，发展学生的应用能力和逆向思维能力，通过本节课的教学使学生对因式分解能有更深的认识和更强的数学能力及数学素养．
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深．
学生活动经验基础： 在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．
二、教学任务分析
在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：
知识与技能：
（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；
（2）提高学生因式分解的基本运算技能；
（3）能熟练使用几种因式分解方法的综合运用．
数学能力：
（1）发展学生对因式分解的应用能力，提高解决问题的能力；
（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．
情感与态度：
通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：回顾——辨析——做一做——试一试——想一想——开放题——反馈练习．
第一环节 回顾
活动内容：1、你学过哪些因式分解的方法？举一个例子说明其中用到了哪些方法？
2、你认为分解因式与整式的乘法之间有什么关系？
活动目的：学生通过回顾与思考，对因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法有一个更深层次的认识，加深对分解因式与整式乘法的互逆关系的认识与理解，发展学生的逆向思维能力．
注意事项：有了前几节课的学习，学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了较清楚的认识与理解．
第二环节 辨析题
活动内容：下列哪些式子的变形是因式分解？
（1）x2–4y2=（x+2y）（x–2y）
（2）x（3x+2y）=3x2+2xy
（3）4m2–6mn+9n2 =2m（2m–3n）+9n2
（4）m2+6mn+9n2=（m+3n）2
活动目的：加深学生对因式分解概念的认识．
注意事项：这类习题结果较易分辨，学习完成较好．
第三环节 做一做
活动内容：把下列各式因式分解：
（1）x2+14x+49 （2）7x2–63
（3）y2–9（x+y）2 （4）（x+y）2–14（x+y）+49
（5）16–（2a+3b）2 （6）
（7）a4–8a2b2+16b4 （8）（a2+4）2–16a2
活动目的：（1）加强学生对因式分解的基本技能训练；
（2）让学生认识到因式分解一定要分解到不能再分为止．
注意事项：前六题学生完成得较好，但第（7）（8）两小题，有的学生分解的不彻底，这是很多学生经常犯的一种错误，为此，教师在对学生进行相关训练时，应加强引导和启发，防患于未然．
第四环节 试一试
活动内容：1、在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4–y4，因式分解的结果是（x–y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是（x–y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码对于多项式4x3–xy2，取x=10，y=10时，上述方法产生的密码可以是 ．
2、如图，在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆．
（1）用代数式表示剩余部分的面积；
（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．
活动目的：加强因式分解在实际生活中的应用，发展学生对因式分解的应用能力，提高解决问题的能力．
注意事项：将数学与实际生活结合到一起是部分学生的薄弱环节，但对于学生是一个有益的尝试，教师的引导应注意以下两个步骤：先将多项式因式分解；再将数据代入．
第五环节 想一想
活动内容：计算：
1、32004–32003 2、（–2）101+（–2）100
3、已知x+y=1，求的值．
活动目的：使学生了解因式分解在计算中的作用，当幂的次数较高时，利用幂的运算等知识无法解决时，应用因式分解来解决实际问题不失为一个有效的办法．
注意事项：乍一看，学生从前未接触过这种题型，因而不知从何下手，但在老师的引导和启发下，部分学生能解决提出的问题．
第六环节 开放题
活动内容：请你出一道含因式分解知识的习题给你的同伴解答．
活动目的：通过开放题的设置，了解学生对因式分解的基本技能的掌握情况，关注学生的数学能力与数学素养的发展，培养学生的开放意识，发展学生有条理的思考和语言表达能力，以及对数学思想方法的正确认识．
注意事项： 大多数学生所出的习题都与因式分解的基本技能相关，只是难易程度不同，有少数同学出的习题能与实际生活相结合，体现了这部分同学有较好的数学素养．
第七环节 反馈练习
活动内容：1、把下列各式因式分解：
（1）x3y2–4x （2）a3–2a2b+ab2
（3）a3+2a2+a （4）（x–y）2–4（x+y）2
2、填空：
（1）若一个正方形的面积是9x2+12xy+4y2，则这个正方形的边长是 ；
（2）当k= 时，100x2–kxy+49y2是一个完全平方式；
（3）计算：20062–2×6×2006+36= ；
3、利用因式分解计算：．
活动目的：通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求．第1题主要考察学生对因式分解基本技能的掌握程度，适合全体学生解答；第2题主要考察学生对因式分解的灵活掌握，中等程度以上的学生都应该能解答；第3题则把因式分解的灵活运用上升到更新的高度，这适合于程度较好的学生解答．
注意事项：
（1）第2题的第（1）小题中的正方形的面积是边长的平方，即9x2+12xy+4y2是某个多项式的完全平方式，应将9x2+12xy+4y2转换成完全平方的形式，底数就是这个正方形的边长；
（2）第2题的第（2）小题应提醒学生完全平方公式含有两个：两数差的完全平方公式与两数和的完全平方公式；
（3）第3题中的每一个括号都可以运用平方差公式进行因式分解，通分后可以发现这些分数的乘积可以进行特殊运算．
课后练习：课本第61页复习题第2题；
第62页第3题，第4题；
第62页第9题．
思考题：课本第63页联系拓广第13、14题（给学有余力的同学做）
四、教学反思
在传统教育中，人们都感觉到数学并没有什么很大的用途，数学与生活是脱节的，在我们的教学中，很难找到生活的影子，我们的学生只会用所学的知识解答课本中的一些习题，缺乏应用所学的数学知识去解决生活中一些实际问题的主动性与能力，以至在学生的头脑中数学与实际生活经验构成了两个互不相干的认知场．正是这种人为的将数学与生活隔离开来，使得很多学生对数学产生了惧怕的心理．
数学来源于生活，并应用于生活，让学生用数学的眼光观察生活，除了用所学的数学知识解决一些生活问题外，还可以从数学的角度来解释生活中的一些现象，面向生活是学生发展的“源头活水”．
第四环节的两道题的设置有着很浓厚的生活气息，也使学生了解到原来生活中也存在很多数学知识，包括因式分解的知识．培养学生去留心观察我们周围的生活、强调将生活问题带进数学，同时也尝试让学生带着数学走进生活，唯有如此，才能更好地培养学生初步的创新精神和实践能力，才能使学生在情感态度和数学素养等方面都得到充分发展．(共7张PPT)
填空：
（1）（a+b)(a–b） = ；
（2）（a+b） = ；
（3）（a–b） = .
根据上面式子填空：
（1）a –b = ；
（2）a –2ab+b = ；
（3）a +2ab+b = .
结 论：形如a +2ab+b 与a –2ab+b 的式子称为完全平方式．
下列哪些式子是完全平方式？如果是，就把它们进行因式分解．
（1）x –4y （2）x +4xy–4y （3）4m –6mn+9n （4）m +6mn+9n
口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；
完全平方公式 a –2ab+b =（a–b） a +2ab+b =（a+b）
答：第（4）题是完全平方式，其余都不是。
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a –b
2
2
2
a +2ab+b
2
2
2
a – 2ab+b
2
（a+b)(a–b）
（a+b）
(a–b）
2
把下列各式因式分解：
（1）x –4x+4 （2）9a +6ab+b
（3）m – m + （4）
注意：完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式
将下列各式因式分解：
（1）3ax +6axy+3ay （2）–x –4y +4xy
注意：提公因式法是分解因式首先应当考虑的方法
1
9
2
3
(m+n) +8(m+n)+16
2
2
2
2
2
解：原式=（x –2)
2
2
2
2
2
解：原式=（3a+b)
2
解：原式=(m – )
1
3
2
解：原式=（m+n+4)
2
解：原式=3a(x +2xy+y )
=3a(x+y)
2
2
2
解：原式= –(x –4xy +4y )
=–(x–2y)
2
2
2
1、判断正误：
（1）x +y =(x+y) ( )
（2）x –y = (x–y) ( )
（3）x –2xy –y = (x–y) ( )
（4）–x –2xy–y =–(x+y) ( )
2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：
（1）x –x+ （2）9a b –3ab+1 （3） （4）x –10x +25
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
√
×
×
×
2
2
2
1
4
1
4
m +3mn+9n
2
2
6
5
解：第(1)(3)两小题是完全平方式。
(1)原式=(x – )
1
2
2
(3)原式=( m+3n)
1
2
2
3、把下列各式因式分解：
（1）m –12mn+36n （2）16a +24a b +9b
（3）–2xy–x –y （4）4–12（x–y）+9（x–y)
2
2
2
2
2
2
2
4
4
解：原式=(m–6n)
2
解：原式=(4a +3b )
2
2
2
解：原式= –(x +2xy+y )
=–(x+y)
2
2
2
解：原式=[2–3(x–y)]
=[2–3x+3y]
2
2
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以
用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
注意：（1）有公因式则先提取公因式；
课本第54页习题2．5第1、2、3题
（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；
（3）完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式.(共8张PPT)
1、你学过哪些因式分解的方法？举一个例子说明其中用到了哪些方法.
2、你认为分解因式与整式的乘法之间有什么关系？
因式分解的两种常用方法有提公因式法与公式法；
分解因式与整式乘法之间是一种互逆关系 .
下列哪些式子的变形是因式分解？
（1）x –4y =(x+2y)(x–2y)
（2）x(3x+2y)=3x +2xy
（3）4m –6mn+9n =2m(2m–3n)+9n
（4）m +6mn+9n =(m+3n)
2
2
2
2
2
2
2
2
答：第（1）（4）两小题是因式分解。
把下列各式因式分解：
（1）x +14x+49 （2）7x –63
（3）y –9(x+y) （4）（x+y）–14（x+y）+49
（5）16–（2a+3b） （6） x –x y+y
（7）a –8a b +16b （8）（a +4）–16a
提示：因式分解一定要分解到不能再分为止。
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
2
2
2
2
4
1
4
解：原式=(x+7)
解：原式=7(x –9) =7(x+3)(x–3)
2
2
解：原式=[(y+3(x+y)][y–3(x+y)]
=(3x+4y)(–3x–2y)
=–(3x+4y)(3x+2y)
解：原式=（x+y+7)
2
解：原式=[4+(2a+3b)][4–(2a+3b)]
=(4+2a+3b)(4–2a–3b)
解：原式= (x –4x y +4y )
= (x –2y)
1
4
2
2
4
1
4
2
2
解：原式=(a – 4b )
=[(a+2b)(a–2b)]
=(a+2b) (a–2b)
2
2
2
2
2
2
解：原式=(a +4+4a )(a +4–4a)
=(a+2) (a–2)
2
2
2
2
1、在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，
方便记忆．原理是：如对于多项式x –y ，因式分解的结果是（x–y）（x+y）（x +y ），
若取x=9，y=9时，则各个因式的值是（x–y）=0，（x+y）=18，（x +y ）=162，于是
就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x –xy ，取x=10，y=10时，用
上述方法产生的密码可以是 ．
2、如图，在一个半径为R的圆形钢板上，机械加工时冲去半径为r的四个小圆．
（1）用代数式表示剩余部分的面积；
（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．
2
2
2
2
2
4
4
3
103010或是301010或101030
解：(1)S=πR –4πr
2
2
(2)当R=7.5，r=1.25时，
S=πR –4πr
=π(R+2r)(R –2r)
=π(7.5+2×1.25)(7.5 –2×1.25)
=π×10×5=50π
2
2
计算：
1、3 –3
2、计算：（–2） +（–2）
3、已知x+y=1，求 x +xy+ y 的值．
请你出一道含因式分解知识的习题给你的同伴解答．
2004
2003
解：原式=3 (3－1)
=3 ×2
=2 ×3
2003
2003
2003
解：原式=(－2) (－2+1)
=2 ×(－1)
=－2
101
100
100
100
100
解：当x+y=1时， x +xy+ y = (x +2xy+y )= (x+y)2= ×1 =
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1、把下列各式因式分解：
（1）x y –4x （2）a –2a b+ab
（3）a +2a +a （4）（x–y）–4（x+y）
2、填空：
（1）若一个正方形的面积是9x +12xy+4y ，则这个正方形的边长是 ；
（2）当k= 时，100x –kxy+49y 是一个完全平方式；
（3）计算：2006 –2×6×2006+36= .
3
3
2
3
2
2
2
解：原式=x(x y －4)
=x(xy+2)(xy －2)
2
2
2
解：原式=a(a －2ab+b )
=a(a －b)
2
2
2
解：原式=a(a +2a+1)
=a(a+1)
2
2
2
解：原式=[(x－y) －2(x+y)][(x－y)+2(x+y)]
=(x－y－2x－2y)(x－y+2x+2y)
=(－x－3y)(3x+y)
=－(x+3y)(3x+y)
2
2
2
3x+2y
2
±140
4000000
课本第55页复习题A组第2；
第56页A组第3题，第6题；
第57页B组第3题．
3、利用因式分解计算：
(1－－ )(1－－ )(1－－ ) ···(1－－ )
1
2
1
3
1
4
1
n
2
2
2
2
解：原式=(1－－)(1 + －)(1－－)(1 + －) (1－－)(1 + －) ··· (1－－)(1 + －)
= － × － × － × － × － × － × ··· × ×
=－×···× =
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
4
1
n
1
n
3
2
1
2
4
3
2
3
5
4
3
4
n+1
n
n－1
n
2
1
n+1
n
n+1
2n本章测试题
填空题（每小题3分，共24分）
1．将–x4–3x2+x提取公因式–x后，剩下的因式是 ．
2．因式分解：a2b–4b= ．
3． 25m2+ +1=（ +1）2．
4．计算：99.82–0.22= ．
5．若4a4–ka2b+25b2是一个完全平方式，则k= ．
6．若一个正方形的面积是9m2+24mn+16n2，则这个正方形的边长是 ．
7．xn+1与x2n（n>1）的公因式是 ．
8．已知x–3y=3，则 ．
选择题（每小题4分，共20分）
9．下列从左到右的变形中，是因式分解的是 【 】
A．a2–4a+5=a(a–4)+5 B．(x+3)(x+2)=x2+5x+6
C．a2–9b2=(a+3b)(a–3b) D．(x+3)(x–1)+1=x2+2x+2
10.下列各组代数式中没有公因式的是 【 】
A．4a2bc与8abc2 B．a3b2+1与a2b3–1
C. b(a –2b)2与a（2b–a）2 D. x+1与x2–1
11．下列因式分解正确的是 【 】
A．–4a2+4b2=–4(a2–4b2)=–4(a+2b)(a–2b) B. 3m3–12m=3m(m2–4)
C.4x4y–12x2y2+7=4x2y(x2–3y)+7 D．4–9m2=(2+3m)(2–3m)
12．22006+3×22005–5×22007的值不能被下列哪个数整除 【 】
A．3 B．5 C．22006 D．22005
13.若x+y=2，xy=3，则x2+y2的值是 【 】
A．2 B．10 C．–2 D．x2+y2的值不存在
把下列多项式因式分解（每小题5分，共20分）
14．(y–x)(a–b–c)+(x–y)(b–a–c) 15．a4–8a2b2+16b4
16．（m+n）2–4（m+n）（m–n）+4（m–n）2 17．x（x2+1）2–4x3
（每小题8分，共16分）
18． 已知x=，求2x2–+4的值．
19．已知x2–y2=63，x+y=9，求x与y的值．
（每小题10分，共20分）
20．99×99+199=992+2×99+1=（99+1）2=1002=104；
（1）计算：999×999+1999= = = = ；
9999×9999+19999= = = = ；
（2）猜想：999999999×999999999+1999999999的值，并写出计算过程．
21．已知多项式(a2+ka+25)–b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．
（1）写出常数k可能给定的值；
（2）针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程．
参考答案
1、x3+3x–1；2、b(a+2)(a–2)；3、10m，5m；4、9960；5、±20；6、3m+4n；7、xn+1；8、3；
9、C；10、B；11、D；12、C；13、D；
14、–2（x–y）(a–b)；15、(a+2b)2(a–2b)2；16、（3n–m）2；17、x(x+1)2(x–1)2；
18、2；19、x=8，y=1；10、（1）9992+2×999+1，（999+1）2，10002，106；
99992+2×9999+1，（9999+1）2，100002，108；
（2）1018，999999999×999999999+1999999999=9999999992+2×999999999+1=
（999999999+1）2=10000000002，1018；
21、（1）k=±10；（2）当k=10时，原式=（a+5–b）（a+5+b）。破译密码
通信双方为了保密，内部有一套秘密约定，这个秘密约定叫做密钥．如果他人掌握了这把秘密钥匙，就可以破译通信双方的秘密．
1976年，美国两位数学家提出了一个编码学中的新颖想法：应该有一种编码方法，即使把编码方法与密钥公之于众，别人也无法破译．第二年，他们的三位同事找到了一种实施办法，这种新的编码方法叫做RSA码，这名称由三位发明者姓氏的头一个字母组成．
1977年，当三位美国学者提出RSA码的时候，他们曾经预言：随意制造一个百位数字的密码，人们要破译它，至少需要两万年，即使计算机的性能提高百倍，也需要不间断地工作二三百年．
要破译128位数字密码，解这个密码的钥匙就藏在N=129位数字的两个素数因子之中．要分解N，大约需要23000年，但不到18年，这个密码就被人破译，意思是：“The magic words are squeamish ossifrage”——“谜一般的词是令人毛骨悚然的秃鹰”．
破译的关键是把RSA分布的N=129位数字分解出来了．
RSA—129为什么会如此快地被分解了呢？原来是全世界20多个国家的600多位因数分解迷自发地联合起来，利用计算机网络，同时进行分解活动，并不断地交流信息，汇总计算结果，用了不到一年的时间，便将RSA—129分解成64位与65位两个因子之积．“六百人集团”利用了先进的电脑及其网络，取得了令人叫绝的分解成果，但他们所用的数学方法却是古老的欧几里得除法与费马方法．第二章 分解因式
3．运用公式法（二）
江西省九江市第十一中学 陶增元
总体说明
本节是因式分解的第3小节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生经历通过逆向运用整式乘法的完全平方公式得出因式分解的完全平方公式的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：学生对因式分解的概念、方法等有了必要的认识和理解，并在整式乘法的公式中，学生已经学习了完全平方公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础．
学生活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识，本节课采用的活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．
二、教学任务分析
学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。因此，本课时的教学目标是：
知识与技能：
（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；
（2）会用完全平方公式进行因式分解；
（3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．
数学能力：
（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；
（2）培养学生对完全平方公式的运用能力．
情感与态度：
通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系．
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：做一做——辨一辨——试一试——想一想——反馈练习——学生反思．
第一环节 做一做
活动内容：填空：
（1）（a+b）（a-b） = ；
（2）（a+b）2= ；
（3）（a–b）2= ；
根据上面式子填空：
（1）a2–b2= ；
（2）a2–2ab+b2= ；
（3）a2+2ab+b2= ；
结 论：形如a2+2ab+b2 与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．
活动目的：学生通过观察，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力，第（1）组a2–b2是起提示作用．
注意事项：学生通过观察能找到第一组式子与第二组式子之间的对应关系．
第二环节 辨一辨
活动内容：观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．
（1）x2–4y2 （2）x2+4xy–4y2 （3）4m2–6mn+9n2 （4）m2+6mn+9n2
结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；
完全平方式可以进行因式分解，
a2–2ab+b2=（a–b）2 a2+2ab+b2=（a+b）2
活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，并由此得出因式分解的完全平方公式．
注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．
第三环节 试一试
活动内容：把下列各式因式分解：
（1）x2–4x+4 （2）9a2+6ab+b2
（3）m2– （4）
活动目的：(1)培养学生对平方差公式的应用能力；
（2）让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．
注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．
第四环节 想一想
活动内容：
将下列各式因式分解：
（1）3ax2+6axy+3ay2 （2）–x2–4y2+4xy
活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．
注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.
第五环节 反馈练习
活动内容：
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）2 ( )
（2）x2–y2= (x–y)2 ( )
（3）x2–2xy –y2= (x–y)2 ( )
（4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2 ( )
2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：
（1）x2–x+ （2）9a2b2–3ab+1
（3） （4）
3、把下列各式因式分解：
（1）m2–12mn+36n2 （2）16a4+24a2b2+9b4
（3）–2xy–x2–y2 （4）4–12（x–y）+9（x–y)2
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．
注意事项：当完全平方公式中的a与b 表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．
第六环节 学生反思
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？
结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．
注意事项：学生认识到了以下事实：
（1）有公因式则先提取公因式；
（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；
（3）完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；
课后练习：课本第60页习题2．5第1、2、3题；
思考题：习题2．5第4题（给学有余力的同学做）
四、教学反思
逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维．它是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个组成部分，也是进行思维训练的载体，培养学生逆向思维过程也是培养学生思维敏捷性的过程．
数学概念、定义总是双向的，我们在平时的教学中，只秉承了从左到右的运用，于是形成了定性思维，对于逆用公式法则等很不习惯．因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展．
整式乘法中的完全平方公式从左到右转换为从右到左就形成因式分解的完全平方公式，这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的能力的体现．第二章 分解因式
3．运用公式法（一）
江西省九江市第十一中学 陶增元
总体说明
本节是因式分解的第3小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础．
学生活动经验基础： 通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．
二、教学任务分析
学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。因此，本课时的教学目标是：
知识与技能：
（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．
数学能力：
（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；
（2）培养学生对平方差公式的运用能力．
情感与态度：
在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：练一练——想一想——做一做——议一议——反馈练习——学生反思．
第一环节 练一练
活动内容：填空：
（1）（x+3）（x–3） = ；
（2）（4x+y）（4x–y）= ；
（3）（1+2x）（1–2x）= ；
（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．
根据上面式子填空：
（1）9m2–4n2= ；
（2）16x2–y2= ；
（3）x2–9= ；
（4）1–4x2= ．
活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．
注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．
第二环节 想一想
活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？
结论：a2–b2=（a+b）（a–b）
活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征．
注意事项：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成．
第三环节 做一做
活动内容：把下列各式因式分解：
（1）25–16x2 （2）9a2–
活动目的：培养学生对平方差公式的应用能力．
注意事项:学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．
第四环节 议一议
活动内容：
将下列各式因式分解：
（1）9（x–y）2–（x+y）2 （2）2x3–8x
活动目的：
（1）让学生理解在平方差公式a2–b2=（a+b）（a–b）中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，向学生渗透换元的思想方法；
（2）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．
注意事项：在教师的引导下，学生能逐步理解平方差公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．
第五环节 反馈练习
活动内容：
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）(x–y) ( )
（2）–x2+y2=–（x+y）(x–y) ( )
（3）x2–y2=（x+y）(x–y) ( )
（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y) ( )
2、把下列各式因式分解：
（1）4–m2 （2）9m2–4n2
（3）a2b2－m2 （4）(m－a)2－(n＋b)2
（5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．
注意事项：在实际应用中，部分学生对于第3题因式分解的实际应用不能理解，他们没有采用因式分解的方法，而是利用计算器硬生生地计算出来．
第六环节 学生反思
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．
注意事项：学生认识到了以下事实：
（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；
（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；
（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；
课后练习：课本第56页习题2．4第1、2、3题
四、教学反思
逆向思维是一种启发智力的方式，它有悖于人们通常的习惯，而正是这一特点，使得许多靠正向思维不能或是难于解决的问题迎刃而解．一些正向思维虽能解决的问题，在它的参与下，过程可以大大简化，效率可以成倍提高．正思与反思就象分析的一对翅膀，不可或缺．
传统的课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神．
因此，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．备选题目
如图，在一个边长为13.75米的正方形的苗圃中央建一个边长为6.25米的正方形的花坛，花坛上种植鲜花，在苗圃上，花坛的周围种草，问草地的面积有多大？你是怎么做的，能用简便方法吗？学法指导
一、确定公因式的方法
用提公因式法进行因式分解时，要做到准确迅速地确定公因式，需考虑以下因素：
第一项有负号，先把负号作为公因式的符号；
公因式系数是各项系数的最大公约数；
公因式中的字母是各项都含有的字母；
公因式中的字母的次数是各项相同字母的最低次幂；
若有某项与公因式相同时，该项保留公因式是1，而不是0；
6、若多项式作为项的一个因式，且各项均含有相同的因式，就应把它作为一个整体提出．
二、提出公因式时易出现的错误
1、提公因式时丢项
分解因式：
错解：=2ab（2a–3b）
错误原因：误认为最后一项提取公因式2ab后，该项不存在而省略．
正解：=2ab（2a–3b+1）
2、提公因式时不完全提取
分解因式：6（a–b）2–12（a–b）
错解：6（a–b）2–12（a–b）=2（a–b）（3a–3b–6）
错误原因：没有按提取公因式的规则找出公因式：即系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积．
正解：6（a–b）2–12（a–b）=6（a–b）（a–b–2）
3、提取公因式后，有同类项不合并
分解因式：x(x+y)2–x(x+y)(x–y)
错解：x(x+y)2–x(x+y)(x–y)= x(x+y)[(x+y)–(x–y)]
错误原因：分解因式时，能合并同类项而没有合并，造成分解不彻底．
正解：x(x+y)2–x(x+y)(x–y)= x(x+y)[(x+y)–(x–y)]= x(x+y)(x+y–x+y)=2xy(x+y)第二章 分解因式
1．分解因式
江西省九江市第十一中学 陶增元
总体说明
因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．
本节是因式分解的第1小节，占一个课时，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，让学生了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，感受分解因式在解决相关问题中的作用．
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．
学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点．
二、教学任务分析
基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学能力，如：类比思想，逆向运算能力等。因此，本课时的教学目标是：
知识与技能：
（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．
（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法．
数学能力：
（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想．
（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
情感与态度：
让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度．
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：看谁算得快——看谁想得快——看谁算得准——学生讨论——反馈练习——学生反思．
第一环节 看谁算得快
活动内容：用简便方法计算：
（1）=
（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=
（3）992–1= ．
活动目的：如果说学生对因式分解还相当陌生的话，相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算 ——因数分解这一特殊算法，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍，本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度，为下一环节的理解搭一个台阶．
注意事项：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式．
第二环节 看谁想得快
活动内容：993–99能被哪些数整除？你是怎么得出来的？
学生思考：从以上问题的解决中，你知道解决这些问题的关键是什么？
活动目的：引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，为学生类比因式分解提供必要的精神准备．
注意事项：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式．
第三环节 看谁算得准
活动内容：
计算下列式子：
（1）3x(x-1)= ；
（2）m(a+b+c)= ；
（3）（m+4）(m-4)= ；
（4）（y-3）2= ；
（5）a(a+1)(a-1)= ．
根据上面的算式填空：
（1）ma+mb+mc= ；
（2）3x2-3x= ；
（3）m2-16= ；
（4）a3-a= ；
（5）y2-6y+9= ．
活动目的：在第一组的整式乘法的计算上，学生通过对第一组式子的观察得出第二组式子的结果，然后通过对这两组式子的结果的比较，使学生对因式分解有一个初步的意识，由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
注意事项：由于整式的乘法运算是学生在七年级已经学习过的内容，因此，学生能很快得出第一组式子的结果，并能很快发现第一组式子与第二组式子之间的联系，从而得出第二组式子的结果．
第四环节 学生讨论
活动内容：
比较以下两种运算的联系与区别：
a(a+1)(a-1)= a3-a
a3-a= a(a+1)(a-1)
在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？
结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a （2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a2–ab （4）a2–2ab+b2=(a–b)2
活动目的：通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
（2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
注意事项：学生通过讨论，能找出分解因式与整式的乘法的联系与区别，基本清楚了“分解因式与整式的乘法是一种互逆关系”以及“分解因式的结果要以积的形式表示”这两种事实，后两种事实是在老师的引导与启发下才能完成．
第五环节 反馈练习
活动内容：
看谁连得准
x2-y2 . (x+1)2
9-25 x 2 y(x -y)
x 2+2x+1 (3-5 x)(3+5 x)
xy-y2 (x+y)(x-y)
下列哪些变形是因式分解，为什么？
（1）（a+3）(a -3)= a 2-9
（2）a 2-4=( a +2)( a -2)
（3）a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1
（4）2πR+2πr=2π（R+r）
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对因式分解意义的理解是否到位，以便教师能及时地进行查缺补漏．
注意事项：从学生的反馈情况来看，学生对因式分解意义的理解基本到位．
第六环节 学生反思
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对因式分解意义的理解，进一步清楚地了解分解因式与整式的乘法的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解，对矛盾对立统一的观点有一个初步认识．
注意事项：从学生的反思来看，学生掌握了新的知识，提高了逆向思维的能力，对于类比的数学思想有了一定的理解，对于矛盾对立统一的哲学观点也有了一个初步认识．
巩固练习：课本第45页习题2.1第1，2，3题
思考题：课本第45页习题2.1第4题（给学有余力的同学做）
四、教学反思
传统教学中，总是先介绍因式分解的定义，然后通过大量的模仿练习来强化巩固学生对因式分解概念的记忆与理解，其本质上是对因式分解的概念进行强化记忆．
在新课程的教学中，对因式分解的记忆退到了次要的位置，它把因式分解作为培养学生逆向思维、全面思考、灵活解决矛盾的载体．在教师的指导下，学生通过因数分解类比出因式分解，对学生进行类比的数学思想培养，由整式的乘法与因式分解的对比，对学生的逆向思维能力进行培养，也使得学生对于因式分解概念的引入不至于茫然．
尽管新旧两种教法的对比上，新课程的教学不一定马上显露出强劲的优势，甚至可能因为强化练习较少，在短时间内，学生的成绩比不上传统教法的学生成绩，但从长远目标看来，这种对数学本质的训练会有效地提高学生的数学素养，培养出学生对数学本质的理解，而不仅仅是停留在对数学的机械模仿记忆的层面上．
总之，教学的着眼点，不是熟练技能，而是发展思维，使学生在学习的情感态度与价值观上发生深刻的变化．(共7张PPT)
7
9
× 13 - × 6+ × 2
7
9
7
9
计算:
解：原式= × （13-6+2）= × 9
=7
7
9
7
9
问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？
答：可用乘法的分配律的逆运算进行计算，这个式子的各项的相同因数是
7
9
多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x +4x呢？多项式mb +nb–b呢？
2
2
答：多项式ab+ac有相同的因式a，多项式x +4x有相同的因式x，
多项式mb +nb–b有相同的因式b
2
2
结论：多项式中各项式都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
多项式2x y+6x y 中各项的公因式是什么？你认为一个多项式的公因式是什么？
2
2
3
结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：
（1）ab+ac （2）x +4x （3）mb +nb–b
2
2
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而
将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
解：（1）ab+ac=a(b+c)
（2）x +4x=x(x+4)
（3）mb +nb – b=b(mb+n-1)
2
2
将下列多项式进行分解因式：
（1）3x+6 （2）7x –21x （3）8a b –12ab c+ab （4）–24x –12x +28x
3
2
2
2
3
3
提取公因式的步骤是：
（1）找公因式； （2）提公因式．
从上题的解答中，你能归纳出提公因式的步骤吗
解：（1） 3x+6 =3（x+2)
（2）7x –21x=7x(x – 3)
（3）8a b –12ab c+ab =ab(8a b – 12 b +1)
（4）–24x –12x +28x= –4x(6x +3x –7)
2
2
2
2
2
3
3
3
2
1、找出下列各多项式的公因式：
（1）4x+8y （2）am+an （3）48mn–24m n （4）a b–2ab +ab
3
2
2
2
3
3
2、将下列多项式进行分解因式：
（1）8x–72 （2）a b–5ab （3）4m –8m
（4）a b–2ab +ab （5）–48mn–24m n （6）–2x y+4xy –2xy
解：（1） 8x–72 =8（x–9)
（2） ab–5ab=ab(a –5)
（3） 4m –8m =4m (m–2)
（4）a b–2ab +ab = ab(a –2b+1)
（5） 48mn–24m n =24mn(2–mn )
（6） –2x y+4xy –2xy= –2xy（x –2y+1)
2
2
2
2
2
3
3
2
2
答：（1） 4x+8y 的公因式是4；
（2）am+an 的公因式是a；
（3）48mn–24m n的公因式是24mn；
（4）a b–2ab +ab 的公因式是ab．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
从今天的课程中，你学到了哪些知识？你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？
课本第44页习题2．2第1，2题用公式法分解因式时易出现的错误
1、有公因式但不提取
分解因式：
错解：=（6x–3）2
错误原因：分解时没有首先考虑提取公因式，故分解不彻底．
正解：=9（4x2–4x+1）=9（2x–1）2
2、乱套公式
分解因式：9a2–4b2
错解：9a2–4b2=（3a–2b）2
错误原因：将平方差公式与两数差的完全平方公式混为一谈，而出现张冠李戴的现象．
正解：9a2–4b2=（3a+2b）（3a–2b）
3、顾此失彼
分解因式：–3m2n+6mn–3n
错解：–3m2n+6mn–3n=3n(–m2+2m–1)
错误原因：首项中的负号没有提出，造成分解不彻底．
正解：–3m2n+6mn–3n=–3n(m2–2m+1)=–3n(m–1)2
4、乱去分母
分解因式：
错解：==
错误原因：将代数式的恒等变形与方程的同解变形混淆．
正解：=（）=第二章 分解因式
2．提公因式法（二）
江西省九江市第十一中学 陶增元
总体说明
本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生经历提取公因式从简单到复杂的过程，进一步培养学生的观察能力，体会数学的类比推理能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：上一节课，学生学习了提取单项式公因式的基本方法，这为今天的深入学习提供了必要的基础．
学生活动经验基础：学生对于本节课采用的观察、对比、讨论等方法非常熟悉，他们有较好的活动经验．
二、教学任务分析
学生在初步感知提取公因式的魅力之后，并对数学的逆向思维能力和类比思想有了简单的认识，本课时让学生体会如何将这些简单的知识和能力进一步升华，使学生逐步从提取的单项式公因式过渡到提取的多项式公因式，因此，本课时的教学目标是：
知识与技能：
（1）使学生经历从简单到复杂的螺旋式上升的认识过程．
（2）会用提取公因式法进行因式分解．
数学能力：
（1）培养学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力．
（2）从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想．
情感与态度：
通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：练一练——想一想——做一做——试一试——议一议——反馈练习——学生反思．
第一环节 练一练
活动内容：把下列各式因式分解：
（1）am+an （2）a2b–5ab
（3）m2n+mn2–mn （4）–2x2y+4xy2–2xy
活动目的：回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础．
注意事项：切忌采用死记硬背的方法让学生背诵提取公因式的基本方法与步骤，最好用例题的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，让学生真正理解是第一位的．
第二环节 想一想
活动内容：因式分解：a（x–3）+2b（x–3）
活动目的：引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式．
由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x –3），通过观察，学生较容易找到公因式是（x –3），并能顺利地进行因式分解．
第三环节 做一做
活动内容：在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
（1）2–a= （a–2）
（2）y–x= （x–y）
（3）b+a= （a+b）
（4）（b–a）2= （a–b）2
（5）–m–n= （m+n）
（6）–s2+t2= （s2–t2）
活动目的：培养学生的观察能力，为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备．
注意事项：（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；
（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；
（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在 第二个式子前添上“ –”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．
第四环节 试一试
活动内容：
将下列各式因式分解：
（1）a（x–y）+b（y–x） （2）3（m–n）3–6（n–m）2
活动目的：进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．
（1）观察多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；
（2）再把相同的多项式作为公因式提取出来．
第五环节 反馈练习
活动内容：
填一填：
（1）3+a= （a+3）
（2）1–x= （x–1）
（3）（m–n）2= （n–m）2
（4）–m2+2n2= （m2–2n2）
2、把下列各式因式分解：
（1）x（a+b）+y（a+b） （2）3a（x–y）–（x–y）
（3）6（p+q）2–12（q+p） （4）a（m–2）+b（2–m）
（5）2（y–x）2+3（x–y） （6）mn（m–n）–m（n–m）2
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对符号的转换的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．
注意事项：由于新教材删除了添括号一节的教学，学生对于第1题第（4）小题的解答有一定的困难，因而，需要认真比较这两个多项式符号上的异同，确定它们是互为相反数还是相等关系．
第六环节 议一议
活动内容：把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)·(b－a－c)分解因式．
活动目的：通过学生的讨论，当提取的公因式由两项过渡到三项时，应该采用何种对策，从而进一步提高学生的观察能力与思维能力．
注意事项：通过讨论，学生逐步意识到如果采用提取公因式的方法，必须先把所有括号内的多项式中字母a前面的符号都化为正号，再进行观察比较可以找出公因式(a－b＋c)．
第七环节 学生反思
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对如果提取的公因式是多项式应该采取的方法，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比数学思想的理解．
注意事项：学生经历了一个从简单到复杂、提取的公因式从单项式——两项式——三项式的螺旋式上升的认识过程，对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解，更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，了解类比等数学思想方法．
巩固练习：课本第52页习题2．3第1，2题．
思考题：课本第53页习题2．3第3题（给学有余力的同学做）．
四、教学反思
对学生数学能力及数学思想方法的培养在初中数学教材中尽管没有专门章节进行训练，但始终渗透在整个初中数学的教学过程中．由于一些数学 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识，它是初中数学一个重要的数学思想．
运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，没有斧凿的痕迹．
教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略深层知识的真谛．因此数学思想的教学应与整个表层知识的讲授融为一体．(共6张PPT)
把下列各式因式分解：
（1）am+an （2）a b–5ab （3）m n+mn –mn （4）–2x y+4xy –2xy
因式分解：a（x–3）+2b（x–3）
2
2
2
2
2
解：（1） am+an=a(m+n)
（2）a b–5ab= ab(a –5)
（3）m n+mn –mn=mn(m+n –1)
（4）–2x y+4xy –2xy = –2xy(x–y+1)
2
2
2
2
2
解：a（x–3）+2b（x–3）
= （x–3）（a+2b)
（x–3）是公因式
在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
（1）2–a= （a–2）
（2）y–x= （x–y）
（3）b+a= （a+b）
（4）（b–a）= （a–b）
（5）–m–n= （m+n）
（6）–s +t = （s –t ）
将下列各式因式分解：
（1）a（x–y）+b（y–x） （2）3（m–n）–6（n–m）
–
–
–
–
2
2
2
2
2
2
2
3
+
+
解： （1）a（x–y）+b（y–x）= a（x–y）–b（x–y）= （x–y）（a–b)
2
2
2
3
3
（2）3（m–n）–6（n–m）= 3（m–n）–6（m–n）=3(m –n) (m –n –2)
填一填：
（1）3+a= （a+3） （2）1–x= （x–1）
（3）（m–n）= （n–m） （4）–m +2n = （m –2n ）
–
–
+
+
2
2
解： x（a+b）+y（a+b）
= （a+b）（x+y)
解： 3a（x–y）–（x–y）
= （x–y）（3a –1)
解： 6（p+q）–12（q+p）
= 6（p+q）–12（p+q）
= 6 （p+q）（p+q–2）
2
2
2
解： a（m–2）+b（2–m）
= a（m–2）–b（m–2）
= （m–2）（a –b)
解： 2（y–x）+3（x–y）
= 2（x–y）+3（x–y）
= （x–y）（2 x–y+3）
解： mn（m–n）–m（n–m）
= mn（m–n）–m（m–n）
= m（m–n）（n–n+m） =m (m–n)
2
2
2
2
2
2、把下列各式因式分解：
（1）x（a+b）+y（a+b） （2）3a（x–y）–（x–y）
2
2
（3）6（p+q）–12（q+p） （4）a（m–2）+b（2–m）
（5）2（y–x）+3（x–y） （6）mn（m–n）–m（n–m）
把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)分解因式
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
课本第47页习题2．3第1，2题
解： (a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)
= (a＋b－c)(a－b＋c)＋(a－b －c)(a －b+c)
= (a－b＋c )(a＋b－c+ a－b －c)
= (a－b＋c) (2a－2c)
=2 (a－b＋c) (a－c)(共8张PPT)
用简便方法计算：
（1） =
（2）-2.67× 132+25×2.67+7×2.67=
（3）99 –1= ．
7
9
× 13 – × 6+ × 2
7
9
7
9
2
7
-267
9800
99 –99能被哪些数整除？你是怎么得出来的？
3
从以上问题的解决中，你知道解决这些问题的关键是什么？
答:能被100，99，98，300，200，33，49，3，20，50，5等数整除。
关键是：把这个式子分解成几个数的积的形式。
计算下列式子：
（1）3x(x-1)= ；
（2）m(a+b+c)= ；
（3）(m+4)(m-4)= ；
（4）(y-3) = ；
（5）a(a+1)(a-1)= ．
2
2
2
3
2
3x -3x
2
ma+mb+mc
m -16
2
y -6y+9
2
a -a
3
m(a+b+c)
3x(x-1)
(m+4)(m-4)
a(a+1)(a-1)
(y-3)
2
根据上面的算式填空：
（1）ma+mb+mc= ；
（2）3x -3x= ；
（3）m -16= ；
（4）a -a= ；
（5）y -6y+9= ．
以下两种运算有什么联系与区别
（1）a(a+1)(a-1)= a -a
（2）a -a= a(a+1)(a-1)
3
3
在上面的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？
联系：第（2）式与第（1）式是互逆运算；
区别：第（1）式是将乘积化为多项式，而第（2）式是将多项式化为乘积形式。
结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
注意：
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a （2）4x y–8xy +1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a –ab （4）a –2ab+b =(a–b)
2
2
2
2
2
2
答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
（2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
1、看谁连得准
x -y (x+1)
9-25 x y(x -y)
x +2x+1 (3-5 x)(3+5 x)
xy-y (x+y)(x-y)
2
2
2
2
2
2
2、下列哪些变形是因式分解，为什么？
（1）（a+3）(a -3)= a -9
（2）a -4=( a +2)( a -2)
（3）a -b +1=( a +b)( a -b)+1
（4）2mR+2mr=2m（R+r）
2
2
2
2
（不是）
（是）
（不是）
（是）
从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？
1、因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，
分解因式的结果要以积的形式表示
2、分解因式与整式的乘法是互逆关系
3、由因数分解可类比得到因式分解第二章 分解因式
2．提公因式法（一）
江西省九江市第十一中学 陶增元
总体说明
本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．
学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．
二、教学任务分析
根据学生在上一节课的经验，学生只是对因式分解有了一个初步的印象和判断，而对于怎样把一个多项式进行因式分解还很茫然，相应的数学能力还有待于进一步加强和巩固．因此，本课时的教学目标是：
知识与技能：
（1）使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；
（2）会用提取公因式法进行因式分解．
数学能力：
（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力；
（2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想；
（3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力．
情感与态度：
进一步培养学生的矛盾对立统一的哲学观点以及实事求是的科学态度．
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：算一算——想一想——议一议——试一试——做一做——反馈练习——学生反思．
第一环节 算一算
活动内容：计算：（1）
学生回答：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？
活动目的：引入这一步的目的旨在让学生通过乘法分配律的逆运算（因数分解）这一特殊算法，使学生通过类比的思想方法很自然地过渡到正确理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握扫清障碍．
教学效果：学生对于利用乘法的分配律进行逆运算的方法很熟悉，能很快找到这个式子各项有的相同因数，在提出公因数后，很快得出这一题的计算结果是7．
第二环节 想一想
活动内容：多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x2+4x呢？多项式mb2+nb–b呢？
结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
活动目的：在学生能顺利地寻找数的简便运算中的公因数之后，再深一步引导学生采用类比的方法由寻找相同的因数过渡到在多项式中寻找相同的因式．
教学效果：由于有了第一环节的铺垫，再从数过渡到式，学生能很快用类比的方法找到这些式子中相同的因式．
第三环节 议一议
活动内容：
多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？
结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
活动目的：
由于第二环节提供的几个多项式比较简单，不能反映公因式的全部特征，而通过本环节中寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式，则可很顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力
教学效果：
每一个多项式都由两部分组成：系数部分与字母部分，因此，有必要将系数部分与字母部分分开讨论．在教师的引导下，学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分，最后找到这个多项式的公因式．在学生具备初步的判断能力之后，应该将学生的能力进一步升华，引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力．
第四环节 试一试
活动内容：
将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：
（1）ab+ac （2）x2+4x （3）mb2+nb–b
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
活动目的：
让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．
教学效果：
由于有了因数分解的基础以及对提公因式法的正确理解和运用，学生能较快地从数的分解过渡到字母的因式分解．
第五环节 做一做
活动内容：将下列多项式进行分解因式：
（1）3x+6 （2）7x2–21x （3）8a3b2–12ab3c+ab （4）–24x3–12x2+28x
学生归纳：提取公因式的步骤：
（1）找公因式； （2）提公因式．
易出现的问题：（1）第（3）题中的最后一项提出ab后，漏掉了“+1”；
（2）第（4）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号．
矫正对策：（1）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；
（2）如果多项式的第一项带“–”，则先提取“–”号，然后提取其它公因式；
（3）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等．
活动目的：根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验．
教学效果：第（1）（2）两小题是简单题，对学生的要求不高，学生能很快完成这两小题，但当多项式的项数多了，或首项出现负号时，部分同学会产生思维上的困难，此时，教师有必要引导学生分步进行分解：如，先将负号提出，然后再提取其它的公因式，并提醒学生在完成分解后，应再用整式的乘法进行逆向检查，查出错误予以纠正．
第六环节 反馈练习
活动内容： 1、找出下列各多项式的公因式：
（1）4x+8y （2）am+an （3）48mn–24m2n3 （4）a2b–2ab2+ab
2、将下列多项式进行分解因式：
（1）8x–72 （2）a2b–5ab （3）4m3–8m2
（4）a2b–2ab2+ab （5）–48mn–24m2n3 （6）–2x2y+4xy2–2xy
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．
教学效果：从学生的反馈情况来看，学生对公因式概念的理解基本到位，提取公因式的方法与步骤基本掌握，但依然有部分同学出现第五环节中的问题，如对首项出现负号时不能正确处理，此时，需要老师进一步引导．
第七环节 学生反思
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤的理解，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解，对矛盾对立统一的哲学观点有一个初步认识．
教学效果：学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解，更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，但对化归、类比等数学思想方法的认识较模糊，当然，这种认识也是需要长期的培养，而不是一朝一夕可以做到的．
巩固练习：课本第49页习题2．2第1，2，3题．
四、教学反思
教学活动是学生与教师的双边活动，在这个过程中，学生应是学习的主体，教师应启发、指导学生进行探索活动，而不应越俎代庖．
在提公因式的教学中，很容易演变成以教师的灌输式教学为主，而学生主要是进行模仿练习，从知识的掌握上看，这种做法更有效，更快，但学生的探究能力和意识没有提高,数学思想方法渗透也不充分,最后导致的是学生数学素养的降低．
因而，在新课程理念下，我们应该倡导新型的教学形式——自主探究式的教学方式，即把学生置于主体地位，达到培养学生的创新能力的目的．教师在教学过程中不再是凌驾于学生之上的圣人，而是善于走进学生心灵世界真诚的合作者．学生由于主体性得到了体现，自然会产生求知和探究的欲望，会把学习当作乐事，最终达到学会、会学和乐学的境地；教师不再把自己视为工作者， 而是合作者．在合作中，教师与学生之间原有的“权威——服从”关系逐渐变成了“指导——参与”的关系．此时无声胜有声
在数学上也不乏无声胜有声这种意境。1903年，在纽约的一次数学报告会上，数学家科乐走上讲台，他没有说一句话，只是用粉笔在黑板上写了两数的演算结果，一个是267–1，另一个是193707721×761838257287，两个算式的结果完全相同，这时，全场爆发出经久不息的掌声。这是为什么呢？
因为科乐解决了200年来一直没弄清的问题，即267–1是不是质数？现在既然它等于两个数的乘积，可以分解成两个因数，因此证明了267–1不是质数，而是合数。
科乐只作了一个简短的无声的报告，可这是他花了3年中全部星期天的时间，才得出的结论。在这简单算式中所蕴含的勇气。毅力和努力，比洋洋洒洒的万言报告更具魅力。
