3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)3.熟练利用两角差余弦公式进行求值计算．(重点、易混点)
1.借助用向量法推导两角差的余弦公式，培养学生的逻辑推理素养.2.通过用两角差余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算素养.
1．两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
适用条件
公式中的角α，β都是任意角
公式结构
公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反
思考：cos(α－β)＝cos
α－cos
β成立吗？
[提示] 不一定成立，这是对公式的误解．
2．两角差的余弦公式的推导
在平面直角坐标系中作单位圆O，以Ox为始边作α，β，它们的终边与单位圆分别交A，B，则
图1
＝(cos
α，sin
α)，＝(cos
β，sin
β)，
∴·＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β，
设与的夹角为θ，则由数量积定义知
·＝||||cos
θ＝cos
θ，
∴cos
θ＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β.
∵α＝2kπ＋β＋θ(如图1)或α＝2kπ＋β－θ(k∈Z)(如图2)，∴α－β＝2kπ±θ(k∈Z)，
图2
所以cos(α－β)＝cos
θ，
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β.
1．cos
65°cos
35°＋sin
65°sin
35°等于( )
A．cos
100°
B．sin
100°
C.
D.
C [原式＝cos(65°－35°)＝cos
30°＝.]
2．cos(－15°)的值是( )
A. B.
C.
D.
D [cos(－15°)＝cos
15°＝cos(45°－30°)＝cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°＝×＋×＝.]
3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝
.
[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos
60°＝.]
4．已知α是锐角，sin
α＝，则cos＝
.
[由条件可求的cos
α＝，∴cos＝coscos
α＋sinsin
α＝×＋×＝.]
给角求值问题
【例1】 (1)cos的值为( )
A.
B.
C.
D．－
(2)求下列各式的值：
①cos
75°cos
15°－sin
75°sin
195°；
②sin
46°cos
14°＋sin
44°cos
76°；
③cos
15°＋sin
15°.
(1)D [cos＝cos＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×
＝－.]
(2)[解] ①cos
75°cos
15°－sin
75°sin
195°
＝cos
75°cos
15°－sin
75°sin(180°＋15°)
＝cos
75°cos
15°＋sin
75°sin
15°
＝cos(75°－15°)＝cos
60°＝.
②sin
46°cos
14°＋sin
44°cos
76°
＝sin(90°－44°)cos
14°＋sin
44°cos(90°－14°)
＝cos
44°cos
14°＋sin
44°sin
14°
＝cos(44°－14°)＝cos
30°＝.
③cos
15°＋sin
15°
＝cos
60°cos
15°＋sin
60°sin
15°
＝cos(60°－15°)＝cos
45°＝.
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点：
(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．
(2)把所得的积相加．
化简下列各式：
(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2)－sin
167°·sin
223°＋sin
257°·sin
313°.
[解] (1)原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]
＝cos
45°＝.
(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
＝sin
13°sin
43°＋sin
77°sin
47°
＝sin
13°sin
43°＋cos
13°cos
43°
＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.
给值(式)求值问题
[探究问题]
1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos
α的值？
提示：cos
α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β.
2．利用α－(α－β)＝β可得cos
β等于什么？
提示：cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)．
【例2】 (1)已知sin
α－sin
β＝1－，cos
α－cos
β＝，则cos(α－β)＝( )
A．－
B．－
C.
D.
(2)已知sin＝，α∈，求cos
α的值．
思路点拨：(1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C(α－β)求cos(α－β)．
(2)由已知角＋α与所求角α的关系即α＝－寻找解题思路．
(1)D [因为sin
α－sin
β＝1－，
所以sin2α－2sin
αsin
β＋sin2β＝， ①
因为cos
α－cos
β＝，所以cos2α－2cos
αcos
β＋cos2β＝， ②
由①②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋
所以－2cos(α－β)＝－，
所以cos(α－β)＝.]
(2)[解] ∵α∈，
∴＋α∈，
∴cos＝－
＝－eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13))))＝－.
∵α＝－，
cos
α＝cos
＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
1．将本例(2)的条件改为“sin＝，且<α<”，如何解答？
[解] ∵sin＝，且<α<，
∴<α＋<π，
∴cos＝－eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))))＝－，
∴cos
α＝cos
＝coscos
＋sinsin
＝－×＋×＝.
2．将本例(2)的条件改为“sin＝－，α∈”，求cos的值．
[解] ∵＜α＜，∴－＜－α＜，
又sin＝－＜0，
∴－＜－α＜0，cos＝＝，
∴cos＝cos＝cos＝cos＋sin＝×＋×＝－.
给值求值问题的解题策略
?1?已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
?2?由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：
①α＝?α－β?＋β；
③2α＝?α＋β?＋?α－β?；,④2β＝?α＋β?－?α－β?.
给值求角问题
【例3】 (1)已知α，β均为锐角，且sin
α＝，sin
β＝，则α－β＝
(2)已知cos
α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝
.
思路点拨：(1)→→
(2)→→
(1) (2) [(1)∵α，β均为锐角，
∴cos
α＝，cos
β＝.
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝×＋×＝.
又∵sin
α＞sin
β，∴0＜β＜α＜，
∴0＜α－β＜.故α－β＝.
(2)∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．
∵cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin
α＝，sin(α＋β)＝，
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)·sin
α＝×＋×＝.∵0＜β＜，
∴β＝.]
1．本例(1)中“sin
α”变为“cos
α”，“sin
β”变为“cos
β”，α－β的值怎样？
[解] ∵α，β均为锐角，
∴sin
α＝＝，
sin
β＝＝，
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝.
∵sin
α＜sin
β，
∴0＜α＜β＜.
∴－＜α－β＜0.
∴α－β＝－.
2．若本例(2)变为：已知cos
α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，结果怎样？
[解] 由cos
α＝，0＜α＜，
得sin
α＝＝＝.
由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.
又因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝
＝eq
\r(,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,14))))＝.
由β＝α－(α－β)得cos
β＝cos[α－(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)
＝×＋×＝，所以β＝.
已知三角函数值求角的解题步骤
?1?界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
?2?求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
?3?结合三角函数值及角的范围求角.
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围而得到错误答案.
1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值．
(2)确定角所在的范围(找区间)．
(3)确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
1．下列命题正确的是( )
A．对于任意角α，β，都有cos(α－β)＝cos
α－cos
β
B．对于任意角α，β，都有cos(α－β)≠cos
α－cos
β
C．不存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
D．存在α和β，使得cos(α＋β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
D [A明显不成立；B中当α＝，β＝时，等式成立，
∴B不成立；C中，当α＝kπ或β＝kπ时(k∈Z)等式成立，D正确，因为当α＝β＝0时，等式成立．]
2．cos
50°＝( )
A．cos
70°cos
20°－sin
70°sin
20°
B．cos
70°sin
20°－sin
70°cos
20°
C．cos
70°cos
20°＋sin
70°sin
20°
D．cos
70°sin
20°＋sin
70°cos
20°
C [50°＝70°－20°，根据两角差的余弦公式知C正确．]
3．若sin
αsin
β＝1，则cos(α－β)的值为
．
1 [由sin
αsin
β＝1，得cos
αcos
β＝0，
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝1.]
4．已知sin
α＝－，sin
β＝，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值．
[解] 因为sin
α＝－，180°＜α＜270°，
所以cos
α＝－.
因为sin
β＝，90°＜β＜180°，
所以cos
β＝－.
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×
＝－＝.
PAGE3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式和两角差与和的正弦公式．(重点)2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数求值、化简和证明．(重点)3.熟练两角和与差的正弦、余弦公式地灵活运用，了解公式的正用、逆用和变用等常用方法．(难点、易混点)
1.借助用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式，培养学生的逻辑推理素养.2.通过用两角和与差的正弦、余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和数据分析素养.
1．两角和与差的余弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
α，β∈R
2.两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦公式
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
α，β∈R
两角差的正弦公式
S(α－β)
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
α，β∈R
思考：sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立吗？你能举出一例吗？
[提示] 不一定成立，如sin≠sin＋sin.
3．两角和余弦公式的推导
由α＋β＝α－(－β)，
∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]
＝cos
αcos(－β)＋sin
αsin(－β)
＝cos
α
cosβ－sin
αsin
β.
1．sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝( )
A．－ B. C．－ D.
D [原式＝sin
20°cos
10°＋cos
20°sin
10°＝sin(20°＋10°)＝sin
30°＝.]
2．cos
57°cos
3°－sin
57°sin
3°的值为( )
A．0
B.
C.
D．cos
54°
B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos
60°＝.]
3．若cos
α＝－，α是第三象限的角，则sin＝
.
－ [∵cos
α＝－，α是第三象限的角，
∴sin
α＝－＝－，
∴sin＝sin
α－cos
α＝×－×＝－.]
4.cos
15°＋sin
15°＝
.
[原式＝sin
30°cos
15°＋cos
30°sin
15°＝sin
45°＝.]
给角求值问题
【例1】 (1)cos的值为( )
A.
B.
C.
D．－
(2)求下列各式的值：
①cos
75°cos
15°－sin
75°sin
195°；
②sin
46°cos
14°＋sin
44°cos
76°；
③cos
15°＋sin
15°.
(1)D [cos＝cos＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×
＝－.]
(2)[解] ①cos
75°cos
15°－sin
75°sin
195°
＝cos
75°cos
15°－sin
75°sin(180°＋15°)
＝cos
75°cos
15°＋sin
75°sin
15°
＝cos(75°－15°)＝cos
60°＝.
②sin
46°cos
14°＋sin
44°cos
76°
＝sin(90°－44°)cos
14°＋sin
44°cos(90°－14°)
＝cos
44°cos
14°＋sin
44°sin
14°
＝cos(44°－14°)＝cos
30°＝.
③cos
15°＋sin
15°
＝cos
60°cos
15°＋sin
60°sin
15°
＝cos(60°－15°)＝cos
45°＝.
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．
1．化简求值：
(1)；
(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．
[解] (1)原式＝
＝
＝＝sin
30°＝.
(2)设α＝θ＋15°，
则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos
α
＝＋－cos
α＝0.
给值求值问题
【例2】 (1)已知sin
α＝，cos
β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；
(2)若θ是第二象限角且sin
θ＝，求cos(θ＋60°)；
(3)已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos
2α与cos
2β的值．
思路点拨：(1)采用直接法：
[解] (1)∵α为第一象限角且sin
α＝，∴cos
α＝.
又β为第二象限角且cos
β＝－，∴sin
β＝，
∴sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
＝×＋×＝.
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
＝×－×＝－.
(2)∵θ是第二象限角且sin
θ＝，
∴cos
θ＝－＝－，
∴cos(θ＋60°)＝cos
θ－sin
θ
＝×－×＝－.
(3)∵＜β＜α＜，
∴0＜α－β＜，π＜α＋β＜.
又∵cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
∴sin(α－β)＝＝eq
\r(,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13))))＝，
cos(α＋β)＝－
＝－eq
\r(,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))))＝－.
∴cos
2α＝cos
[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×－×＝－，
cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋×＝－.
给值求值的方法
?1?直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
?2?常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝tan
45°，1＝sin
90°等.1，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用.
?3?角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换.,常见的有：α＝?α＋β?－β，α＝β－?β－α?，
2．若sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求sin(α＋β)的值．
[解] ∵0＜α＜＜β＜，
∴＜＋α＜π，－＜－β＜0，
又sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－
＝－＝.
给值求角
【例3】 已知cos
α＝，sin(α＋β)＝，0＜α＜，0＜β＜，求角β的值．
思路点拨：→→
→
[解] 因为0＜α＜，cos
α＝，所以sin
α＝.
又因为0＜β＜，
所以0＜α＋β＜π.
因为sin(α＋β)＝＜sin
α，
所以＜α＋β＜π，
所以cos(α＋β)＝－，
所以sin
β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝×－×＝.
又因为0＜β＜，所以β＝.
求解给值求角的关键两点
?1?求出所求角的某种三角函数值；?2?确定角的范围.一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，便可求解.
提醒：确定所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定.
3．已知cos
α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．
[解] (1)因为α，β∈，
所以α－β∈，又sin(α－β)＝＞0，
所以0＜α－β＜，
所以sin
α＝＝，
cos(α－β)＝＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)－sin
αsin(α－β)
＝×－×
＝.
(2)cos
β＝cos[α－(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.
辅助角公式的应用
[探究问题]
1．能否将函数y＝sin
x＋cos
x(x∈R)化为y＝Asin(x＋φ)的形式？
提示：能．y＝sin
x＋cos
x＝sin.
2．如何推导asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ)公式？
提示：asin
x＋bcos
x
＝，
令cos
φ＝，sin
φ＝，则
asin
x＋bcos
x＝(sin
xcos
φ＋cos
xsin
φ)
＝sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan
φ＝确定，或由sin
φ＝和cos
φ＝共同确定)．
【例4】 (1)sin－cos＝
.
(2)已知a＝(，－1)，b＝(sin
x，cos
x)，x∈R，f(x)＝a·b，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间．
思路点拨：解答此类问题的关键是巧妙构建公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．
(1)－ [原式＝2.
法一：(化正弦)原式
＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝－.
法二：(化余弦)原式
＝2
＝－2
＝－2cos＝－2cos＝－.]
(2)[解] f(x)＝sin
x－cos
x
＝2
＝2
＝2sin，
∴T＝＝2π，值域[－2,2]．
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得递增区间，k∈Z.
1．若将本例(2)中a＝(，－1)改为a＝(－1，)，其他条件不变，如何解答？
[解] f(x)＝－sin
x＋cos
x＝2＝
2cos，
∴T＝2π，值域为[－2,2]，
由－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，得递增区间
，k∈Z.
2．若将本例(2)中a＝(，－1)改为a＝(m，m)其中m＞0，其他条件不变，应如何解答？
[解] f(x)＝msin
x＋mcos
x＝msin，
∴T＝2π，值域为[－m，m]，
由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得递增区间
，k∈Z.
辅助角公式及其运用
?1?公式形式：公式asin
α＋bcos
α＝sin?α＋φ??或asin
α＋bcos
α＝cos?α－φ??将形如asin
α＋bcos
α?a，b不同时为零?的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.
?2?形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.
提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.
1．公式的推导和记忆
(1)理顺公式间的逻辑关系
C(α－β)C(α＋β)S(α＋β)S(α－β)．
(2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．
(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β，角α，β的“地位”不同也要特别注意．
2．应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin
90°，＝cos
60°，＝sin
60°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．
1．下列说法不正确的是( )
A．存在角α，β，使得cos(α＋β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
B．任意角α，β，都有sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
C．存在角α，β，使sin(α－β)≠sin
αcos
β－cos
αsin
β
D．存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
C [A对，当β＝2kπ时，cos
β＝1，sin
β＝0，等式成立；B对，这是恒等式，对任意α，β均成立；C错，sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β恒成立；D对，β＝2kπ时，等式成立．]
2．化简cos
x－sin
x等于( )
A．2sin
B．2cos
C．2sin
D．2cos
D [cos
x－sin
x＝2
＝2
＝2cos.]
3．cos
βcos(α－β)－sin
βsin(α－β)＝
.
cos
α [cos
βcos(α－β)－sin
βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos
α.]
4．已知α，β均为锐角，sin
α＝，cos
β＝，求α－β.
[解] ∵α，β均为锐角，sin
α＝，cos
β＝，
∴sin
β＝，cos
α＝.
∵sin
αβ，∴α<β，∴－<α－β<0，
∴sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
＝×－×＝－，∴α－β＝－.
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