离散的分布列习题4
1．求服从0－1分布的随机变量ξ的分布函数F(x)及其图形．
2．掷一枚均匀骰子，以ξ表示出现的点数，求它的分布律、分布函数及图象．
3．一射手连续地向某目标进行射击，直到某一次命中目标为止．若每次能命中目标的概率为p,试求所需射击次数的分布列．
4．设一汽车开在往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以概率p允许通行以概率1－p禁止通行试以ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数(设它们工作相互独立)写出ξ的分布列．
离散的分布列习题4答案
1．解：0－1分布的列为
∴其分布函数为
其图象为：
2，…，6)，所以这里的ξ的分布就是n=6时地均匀分布，其分布律为
其分布函数为：
分布列及分布函数的图形分别如下图：
3．解析：以ξ表示第一次击中目标时总的射击次数，则ξ的可能取值为1，2，…，依题意，可认为各次射击是独立的，由概率的乘法公式可计算出ξ取值到可能值的概率为
P(ξ=1)=p
P(ξ=2)=(1－p)p
P(ξ=3)=(1－p)2p
… …
P(ξ=k)=(1－p)k－1p
所以ξ的分布列即为
象这样的随机变量的分布称为几何分布，其一般定义如下：
如果一随机变量ξ的分布律为
其中0＜p＜1，q=1－p，则称ξ服从几何分布，记ξ－G(p)．
4．解：ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
当ξ=0时表示第一个红灯 P(ξ=0)=1－p
ξ=1时 第一绿，第二红 P(ξ=1)=p(1－p)
∴ξ的分布列为：
离散的分布列习题3
一、选择题
1．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的个数有
[ ]
(1)随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数．
(2)随机变量ξ表示连续抛掷两个骰子，所得的两个骰子的点数之和．
(3)某射手射击击中目标的概率为0.9，求从开始射击到击中目标所需要的射击次数ξ．
(4)有一批产品共有N件，其中M件次品，采用有放回抽取方法，ξ，表示n次抽取中出现次品的件数(n＜M＜N)
(5)有一批产品共有N件，其中M件次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(N－M＞n＞0)
A．2； B．3；
C．4； D．5．
2．从5个数1、2、3、4、5中任取3个数x1，x2，x3，随机变量ξ表示x1，x2，x3中最大数的值，则ξ的分布列为
[ ]
A．
B．
C．
D．
3．设ξ的分布列为
，
则c的值为
[ ]
[ ]
二、填空题
1．任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：(1)________；(2)________．
2．将一枚硬币掷三次，设ξ为出现正面向上的次数，则P(0＜ξ＜3)＝________．
3．对容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组频率之和为0.79，而剩下三组的频数成公比大于1的整数的等比数列，则剩下三组频数最高一组的频率为________．
4．袋中装有5个球，其中2个白球，3个黑球，从中任取3个球，设ξ为所取到的3个球中的白球数，则P(0≤ξ≤1)________．
三、解答题
1．袋中有3个黄球，3个绿球和4个白球，从袋中随机取3个球，假定取得1个黄球得1分，取得1个绿球扣1分，取得1个白球不得分也不扣分，求得分数的概率分布．
2．一射手对一目标射击，直到第一次命中为止，每次射中的概率为P，设ξ为射击次数，求ξ的分布列．
3．掷两枚骰子，以ξ表示两枚骰子所得点数之和，试写出随机变量ξ的分布列．
4．将一枚均匀硬币连掷n次，以ξ表示n次中出现正面的次数，试写出ξ的分布列．
5．设随机变量ξ所有可能取值为1，2，3，4，且已知概率P(ξ＝k)与k成正比，即P(ξ＝k)＝αk，(k＝1，2，3，4)(1)求常数α的值．(2)求ξ的分布列．(3)求ξ的分布函数．
6．一次数学单元考试由30个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分150分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙选对任一题的概率为0.85，求学生甲和学生乙在这次考试中的成绩的期望．
离散的分布列习题3答案
一、选择题
1．A
2．B
3．D
4．C
二、填空题
1．(1)Pi≥0，(2)P1＋P2＋…=1
3．0.16或0.12
4．0.7
三、解答题
1．提示．ξ=0，±1，±2，±3．
∴ξ的分布列为
2．ξ的分布列为
ξ 1 2 3 … n …
P P， (1－P)·P， (1－P)2·P， …， (1－P)n-1·P， …
3．ξ的分布列为
4．ξ的分布列为
5．解．(1)由概率分布的性质：
α(1＋2＋3＋4)=10·α=1
(2)ξ的分布列为
(3)ξ的分布函数为F(x)=P(ξ≤x)，即：
6．解：设甲和乙选对的个数是ξ和η．
则ξ～B(30，0.9) η～B(30，0.85)
∴Eξ=30×0.9=27 Eη=30×0.85=25.5
所以成绩的期望分别为：
E(5ξ)=5×27=135
E(5η)=5×25.5=127.5
数字特征习题1
1．已知100名学生中有10名近视，求任意抽出的5名同学中近视人数的数学期望、方差与标准差．
2．一批零件中有9个合格品与3个次品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的次品不再放回去，求在取得合格品之前已取出的次品数的数学期望和方差．
3．对某目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p，求射击次数的数学期望及方差．
4．无线电台发出的呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2．信号每隔5分钟拍发一次，直到收到对方的回答信号时为止．发出信号与收到信号之间到少需经16秒钟的时间．求在双方建立联系前已拍发的呼唤信号的平均次数．
5．某工厂对2月份的奖金发放作出了如下规定：在这四周时间里有1周完成生产任务，则得奖金48元；如果有2周完成生产任务，则可得奖金80元；如果有3周完成生产任务，则可得奖金128元；如果4周都完成了生产任务，则可得奖金160元；如果4周都未完成任务，则没有奖金，假设某工人每周完成任务与否是等可能的，求一工人在2月份所得奖金的期望．
6．一批数量较大的商品的次品率为3％，从中任意地陆续取出30件，求其中次品数ξ的期望与方差．
7．同时抛掷三枚均匀的硬币200次，设三枚硬币都出现正面的次数为η，求Eη．
8．抛掷两个骰子，当两个骰子均不出现1点或2点时，就说这次试验成功．求在50次试验中成功次数η的期望．
9．甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，击中环数的分布列分别如下：
甲：
乙：
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平．
10．从1，2，3，4，5，6这6个数中任取两个，求两数之积的数学期望．
数字特征习题1答案
1．ξ的分布列为
2．ξ可取0，1，2，3，其分布列为
3．设ξ为击中目标的射击的次数，q＝1－p，P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝2)＝qp，…，p(ξ＝n)＝pqn-1，…，则
＝1×p＋2pq＋3pq2＋…＋npqn-1＋…
＝p(1＋2p＋3p2＋…＋nqn-1＋…)
＝p[(1＋q＋q2＋…)＋(q＋q2＋q3＋…)＋(q2＋q3＋…)＋…]
4．设发报台发出ξ次信号才能联系上．因为每隔5秒拍发一次，所以16秒种内能拍发4次信号，从第4次开始才能联系上，故ξ可取值为4，5，…
P(ξ＝4)＝p，P(ξ＝5)＝pq，
P(ξ＝6)＝pq2，
…
P(ξ＝n)＝pqn-4，
…
其中，p＝0.2，q＝1－0.2＝0.8，则
Eξ＝4p＋5pq＋6pq2＋…＋npqn-4＋…
＝p[4(1＋q＋q2＋…)＋(q＋q2＋…)＋(q2＋q3＋…)＋…]
＝8．
6．ξ～B(30，0.03)，
Eξ＝np＝30×0.03＝0.9，
Dξ＝npq＝30×0.03×0.97＝0.873．
7．抛掷三枚硬币正面都向上的概率是
8．两个骰子出现1点或2点的概率为
9．Eξ1＝7×0.1＋8×0.2＋9×0.5＋10×0.2＝8.8．
Eξ1＝(7－8.8)2×0.1＋(8－8.8)2×0.2
＋(9－8.8)2×0.5＋(10－8.8)2×0.2
＝0.324＋0.128＋0.02＋0.288
＝0.76
Eξ2＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.3＋10×0.2＝8.5．
Dξ2＝(7－8.5)2×0.2＋(8－8.5)2×0.3
＋(9－8.5)2×0.3＋(10－8.5)2×0.2
＝0.45＋0.075＋0.075＋0.45
＝1.05．
由此可知，Eξ1≈Eξ2，但Dξ1＜Dξ2．所以在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近，均接近9环．但射手甲所得环数比较集中，而射手乙所得环数比较分散．由此可见，还是甲射手射击水平高些．
离散的分布列习题2
从这口袋中任取一个球，求取得的球上的标明的数字的分布的数及其图象．
2．某个箱子中装有6件产品，在这6件产品上分别标有－1，－1，0，0，0，2这样的数字，从这箱子中任取一产品，求取得的产品上标明的数字ξ的分布律及分布函数．
3．设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取一只作不放回抽样，以ξ表示取出的次品只数．
(1)求ξ的分布；
(2)画出分布的图形；
(3)求F(x)并画图象．
4．按规定，某车站每天8∶00～9∶00，9∶00～10∶00都恰有一辆客车到站，但到站时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为
(1)若旅客8∶00到车站，求他候车时间ξ1的分布列．
(2)若旅客8∶20到车站，求他候时间ξ2的分布列(候车时间以分钟计)．
离散的分布列习题2答案
1．
图略
2．
3．
(1)
(2)
(3)
4．
(1)
(2)
离散的分布列习题1
1．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果：
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个．从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是红球为止所需要的取球的次数；
(2)一烟花内装5节起火器，每节起火器与引信相连．每节起火器被点燃，烟花就喷出一次火花．若燃放中引信断开，则烟花熄灭．那么这一烟花在点燃引信后可喷出火花的次数；
(3)18路公共汽车每10分钟一趟，一乘客在18路公共汽车的站台上等车的时间；
(4)一粒种子的发芽率为0.7，今埋下5粒种子，发芽种子的粒数．
2．一袋中有45个大小相同的球，其中记上0号的5个，记上n号的(n＋5)(n＝1，2，3，4，5)个．现从袋中任意取出一球，求所取球的号数的分布列以及取出的球的号数是偶数的概率．
3．连续抛掷两枚骰子，求所得两个骰子的点数之和为奇数的概率．
4．已知随机变量ξ所有可能取的值是1，2，3，…，n．且取这些值的概率依次是
k，22k，32k，…，n2k．
求常数k的值．
5．一批产品共100个，其中有10个次品．求任意取出的5个产品中次品数的分布列．
6．一批零件有9个合格品和3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品前已取出的废品数的分布列．
7．对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p，求射击次数的分布列．
8．自动生产线在调整以后出现次品的概率为p．生产过程中出现次品时立即重新进行调整．求在两次调整之间生产的合格品的分布列．
9．某批数量较大的商品的次品率为10％，从中任意地连续取出5件，求其中次品数不超过3的概率．
10．某兽药对病牛的治愈率为90％，今有3头病牛服用了这种药，求至少有2头病牛被治愈的概率．
离散的分布列习题1答案
1．(1)设所需要取球的次数为ξ，则ξ可取1，2，…，5，6．ξ＝i表示i－1次取出的是白球，而第i次取出的是红球，这里i＝1，2，…，6．
(2)设烟花喷出火花的次数为ξ，ξ可取0，1，2，3，4，5．ξ＝i表示第i次喷出火花，i＝0，1，2，3，4，5．
(3)设等车时间为ξ(单位：min)，则ξ可取(0，600)中的数．ξ＝t表示等车tmin．
(4)设发芽种子的粒数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，4，5．ξ＝i表示恰有i粒种子发芽．
2．设所取球的号数为ξ，则ξ是随机变量，其分布列为
取出的球的号数是偶数的概率
点数．抛掷两个不同的骰子，两个骰子所得点数的取值是相互独立的．其点数之和ξ可为2，3，…，12，其分布列为
则其点数之和为奇数的概率为
4．根据离散型随机变量分布列的性质，
k＋22k＋32k＋…＋n2k＝1，
5．设任意取出的5个产品中次品数为ξ，则其分布列为
6．设在取得合格品以前已取出的次品数为ξ，ξ可取值为0，1，2，3，其分布列为
7．设ξ表示击中为止时射击的次数，ξ可取值为1，2，…，n，…，其分布列为
8．设两次调整之间生产的合格品为ξ，其分布列为
9．ξ服从二项分布，即ξ～B(5，0.1)．ξ的分布列为
P(次品数不超过3)＝0.59049＋0.32805＋0.0729＝0.99144．
10．ξ～B(3，0.9)．ξ的分布列为
P(ξ≥2)＝0.243＋0.729＝0.972．
连续型随机变量ξ的概率密度习题
1．已知随机变量ξ的概率密度函数为
(1)画出ξ的概率密度曲线；
2．已知连续型随机变量ξ的概率密度曲线如下图．试写出它所对应的概率密度函数．
3．已知连续型随机变量ξ的概率密度函数为
(1)求出常数a的值．
(2)画出ξ的概率密度曲线．
(3)求P(ξ≤1)，P(ξ＞2)，和P(1≤ξ＜2)．
(4)作出函数F(x)＝P(ξ≤x)的图像．
连续型随机变量ξ的概率密度习题答案
1．(1)ξ的概率密度曲线如图：
2．其概率密度函数是
3．解：
(1)由密度函数的性质，可知
函数f(x)在区间[1，3]内与x轴形成的面积等于1．
(2)略
(4)略
数字特征习题2
一、填空题
1．设Eξ＝a，Dξ＝b，则E(ξ2)＝________．
2．若ξ－B(np)，且Eξ＝6，Dξ＝3.6，则n＝________．
二、解答题
3．设随机变量ξ的概率分布为
求ξ的数学期望．
4．甲乙两台自动车床，加工同一型号的产品，生产1000件产品，所含次品数分别用ξ、η表示，已知ξ、η的分布律为：
试问哪台车床的平均次品数较少？
5．在一批零件中有9件合格品与3件废品，要装机器时，从这批零件中任取一件，若取出的废品不要放回去，求在取得合格品以前已取出的废品的数学期望．
6．对同一目标进行射击，直到击中目标为止，如果每次射击的命中率为p，求射击次数的数学期望．
数学特征习题2答案
一、填空题
1．a2＋b
2．n=15
二、解答题
4．24
5．0.302
数字特征习题3
1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现共有4颗子弹，命中后尚余子弹数目ξ的期望为
[ ]
A．2.44； B．3.376；
C．2.376； D．2.4．
2．期望反映了离散型随机变量取值的________，方差反映了随机变量________与________的程度．
3．掷两枚骰子，当至少有一个1点或一个2点出现时，就说这次试验成功，求在20次试验中成功次数n的期望及方差．
数学特征习题3答案
1．C
2．平均水平：集中；分散
