2020-2021学年北师大版八年级数学下册 第1章三角形的证明 优生辅导训练题（word解析版）

2020-2021年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》优生辅导训练题（附答案）
1．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（　　）
A．140°或44°或80°
B．20°或80°
C．44°或80°
D．140°
2．如图，△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC，ED∥BC，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．在三角形的内部，到三边距离相等的点是三角形的三条（　　）
A．中线的交点
B．角平分线的交点
C．高的交点
D．以上都不对
4．下列说法中，正确的有（　　）
①等腰三角形的底角一定是锐角．
②等腰三角形的角平分线、中线和高是同一条线段．
③等腰三角形两腰上的高相等．
④等腰三角形两腰上的中线相等．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
5．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（　　）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点
D．三边垂直平分线的交点
6．下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（　　）
A．有两条边分别相等
B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等
D．有一直角边和斜边上的高分别相等
7．下列说法错误的是（　　）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍
8．如图所示，在△ABC中，CD，BE是两条高，那么图中与∠A相等的角的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　）
A．4.5
B．5
C．5.5
D．6
10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（　　）
A．7
B．8
C．9
D．10
11．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（　　）
A．90°
B．95°
C．100°
D．105°
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：
①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；
④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（　　）
A．②③
B．②④
C．①③④
D．②③④
13．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为（　　）
A．3s
B．4s
C．4.5s
D．5s
14．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交边AB于点E，若BC＝6厘米，AB＝8厘米，则△EBC的周长为　
　cm．
15．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC＝10，BC＝4，则△BCE的周长为　
　．
16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为　
　．
17．在△ABC中，∠BAC＝115°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为　
　．
18．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为　
　．
19．如图，在面积为6的等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是　
　．
20．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，高AD和BE相交于点H，∠CAD＝30°，若AC＝4，则点H到BC的距离是　
　．
21．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝　
　°．
22．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　
　．
23．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则AE＝　
　．
24．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　
　秒．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．
（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC　
　度；
（2）如图2，设∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC＝　
　．（用含α的式子表示）
26．已知：如图，△ABC中，P、Q两点分别是边AB和AC的垂直平分线与BC的交点，连接AP和AQ，且BP＝PQ＝QC．
求∠C的度数．
证明：∵P、Q两点分别是边AB和AC的垂直平分线与BC的交点，
∴PA＝　
　，QC＝QA．　
　
∵BP＝PQ＝QC，
∴在△APQ中，PQ＝　
　（等量代换）
∴△APQ是　
　三角形．
∴∠AQP＝60°，
∵在△AQC中，QC＝QA，
∴∠C＝∠　
　．
又∵∠AQP是△AQC的外角，
∴∠AQP＝∠　
　+∠　
　＝60°．
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠C＝　
　．
27．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若AC＝12cm，求BD的长．
28．如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G．
（1）求∠CEF的度数；
（2）求证：△EFG是等腰三角形．
29．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
30．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，连接MC，MD．
（1）求证：MC＝MD；
（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．
31．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
32．在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F．
（1）若AB＝AC，∠BAC＝120°，求证BM＝MN＝NC；
（2）由（1）可知△AMN是　
　三角形；
（3）去掉（1）中的“∠BAC＝120°”的条件，其他不变，判断△AMN的形状，并证明你的结论；
（4）当∠B与∠C满足怎样的数量关系时，△AMN是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．
参考答案
1．解：设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，
①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°，
解得x＝44°，
所以，顶角是44°；
②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°，
解得x＝50°，
所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°；
③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°，
解得x＝20°，
所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°；
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．
故选：A．
2．解：∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠ABC＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴∠AED＝∠ADE，
∴△AED是等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，∠EDB＝∠EBD＝36°，
∴△ABD，△BDE都是等腰三角形，
∵∠C＝∠BDC＝72°，
∴△BDC是等腰三角形，
∴等腰三角形有5个，
故选：C．
3．解：在三角形内部到三边距离相等的点是三个内角平分线的交点，
故选：B．
4．解：①等腰三角形的底角一定是锐角是正确的；
②等腰三角形的角平分线、中线和高不一定是同一条线段，原来的说法错误；
③等腰三角形两腰上的高相等是正确的；
④等腰三角形两腰上的中线相等是正确的．
故正确的有3个．
故选：D．
5．解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．
故选：D．
6．解：A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
7．解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故A错误；
B、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故B正确；
C、等腰三角形的两个底角相等，故C正确；
D、等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，故D正确，
故选：A．
8．解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDH＝90°，
∴∠A+∠DCA＝90°，∠ABE+∠BHD＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠A+∠ABE＝90°，∠CHE+∠HCE＝90°，
∴∠A＝∠BHD＝∠CHE，
故选：B．
9．解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°．
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°．
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF．
∵AB＝11，∠B＝30°，
∴AD＝5.5，
∴DF＝5.5
故选：C．
10．解：①以AB为底边，符合点C的有5个；
②以AB为腰，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选：C．
11．解：∵CD＝AC，∠A＝50°，
∴∠ADC＝∠A＝50°，
根据题意得：MN是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴∠BCD＝∠B，
∴∠B＝∠ADC＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故选：D．
12．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，
∴①不正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE2+DF2＝AF2+DE2，
∴④正确；
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴③正确．
综上，可得
正确的是：②③④．
故选：D．
13．解：设当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为t秒，
∵∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ，
∴20﹣3t＝2t，
解得t＝4，
故选：B．
14．解：∵DE是边AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴△EBC的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+AB＝14（厘米），
故答案为：14．
15．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝EB+EC+BC＝EA+EC+BC＝AC+BC＝14，
故答案为：14．
16．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△ACE的周长＝EA+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝11，
故答案为：11．
17．解：∵∠BAC＝115°，
∴∠B+∠C＝180°﹣115°＝65°，
∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝65°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝50°，
故答案为：50°．
18．解：由题意可得，BE平分∠ABC，DE＝CE
又∠A＝30°，AC＝6
可得DE＝AE
∴DE＝（6﹣DE）
则DE＝2．
故答案为2．
19．解：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵S△EFC＝EF?CD，S△EFB＝EF?BD，
∴S△EFC＝S△EFB，
∴S阴影＝S△ABD＝S△ABC，
∵S△ABC＝6，
∴S阴影＝3．
故答案为：3．
20．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠HBD+∠BHD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AC＝4，
∴CD＝AC＝2，
∵BE⊥AC，
∴∠HBD+∠C＝90°，
∴∠BHD＝∠C，
∵∠ABD＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴BD＝AD，
在△BDH和△ADC中，
，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴HD＝CD＝2，
故点H到BC的距离是2．
故答案为2．
21．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，
∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A＝50°，
∴∠ABE＝∠A＝50°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣50°＝15°．
故答案为：15．
22．解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴BE＝CE．
∵△EDC的周长为24，
∴ED+DC+EC＝24，①
∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，
∴（AB+AC+BC）﹣（AE+ED+DC+AC）＝（AB+AC+BC）﹣（AE+DC+AC）﹣DE＝12，
∴BE+BD﹣DE＝12，②
∵BE＝CE，BD＝DC，
∴①﹣②得，DE＝6．
故答案为：6．
23．解：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠BAC＝45°，AB∥DC，∠ADC＝90°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠E＝∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°．
∵在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，
∴AE＝2AD＝8．
故答案为8．
24．解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
25．解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，
故答案为：25；
（2）连接CE，
∵∠BAC＝α，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝90°﹣，
∴∠DCE＝2（90°﹣）＝180°﹣α，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．
故答案为：α﹣90°．
26．证明：∵P、Q两点分别是边AB和AC的垂直平分线与BC的交点，
∴PA＝BP，QC＝QA．
（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）
∵BP＝PQ＝QC，
∴在△APQ中，PQ＝PA＝QA（等量代换）
∴△APQ是等边三角形．
∴∠AQP＝60°，
∵在△AQC中，QC＝QA，
∴∠C＝∠QAC．
又∵∠AQP是△AQC的外角，
∴∠AQP＝∠C+∠QAC＝60°．
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠C＝30°．
故答案为：BP，（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），PA＝QA，等边，QAC，C，QAC，30°．
27．（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°．
∴∠D＝∠AEC．
又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，
且BC＝CA，
在△DBC和△ECA中，
∵
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE＝CD．
（2）解：∵△CDB≌△AEC，
∴BD＝CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12cm．
∴BD＝6cm．
28．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BEG＝∠AGC'＝48°，
由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，
∴∠CEF＝（180°﹣48°）＝66°；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GFE＝∠CEF，
由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，
∴∠GFE＝∠C'EF，
∴GE＝GF，
即△EFG是等腰三角形．
29．解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，OE＝OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD＝OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF，
∴OE＝4EF．
30．（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，
∴MC＝AB，MD＝AB，
∴MC＝MD；
（2）解：∵MC＝MD＝AB＝AM＝BM，
∴∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，
∴∠BMC＝2∠BAC，∠AMD＝2∠ABD，
∵△MCD是等边三角形，
∴∠DMC＝60°，
∴∠BMC+∠AMD＝120°，
∴2∠BAC+2∠ABD＝120°，
∴∠BAO+∠ABO＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°．
31．（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
PQ＝＝2（cm）；
（2）解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝＝4.8（cm）
∴CE＝＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
32．（1）证明：连接AM、AN，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵ME是线段AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠B＝30°，
∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，
同理，NA＝NC，
∴∠NAC＝∠C＝30°，
∴∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，
∴△AMN为等边三角形，
∴AM＝MN＝AN，
∴BM＝MN＝NC；
（2）解：由（1）可知△AMN是等边三角形，
故答案为：等边；
（3）解：△AMN是等腰三角形，
理由如下：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠MAB＝∠B，∠AMN＝∠B+∠MAB，∠NAC＝∠C，∠ANM＝∠C+∠NAC，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∴△AMN是等腰三角形；
（4）解：当∠B＝∠C时，AM＝AN；
当2∠B+∠C＝90°时，∠MAC＝90°，
∴NF∥MA，
∵CF＝FA，
∴CN＝CM，
∴NA＝CM＝MN，
同理，当∠B+2∠C＝90°时，MA＝MN，
综上所述，当∠B＝∠C、2∠B+∠C＝90°、∠B+2∠C＝90°时，△AMN是等腰三角形．