2020-2021学年人教版八年级数学下册专题复习资料：第十八章平行四边形巩固与提升分类例解（Word版，附部分答案）

八年级数下册专题复习资料：
《平行四边形》巩固与提升分类例解
编制：赵化中学
老郑
新人教版八年级数学下册的《平行四边形》位置特殊，作用明显;平行四边形可以联结起各种类型的三角形，同时常在圆和函数中穿插，是统考、中考的热点题型，所占比例比较大；但在平行四边形中的学习中部分同学们感到知识点容易记住，但运用起来比较吃力，下面我分几个题目分类例解，附有追踪和提升性练习，希望对同学们有所帮助.
题目一.
以平行四边形为框架搭建起来的图形
例1
在□中，从点出发用尺规作图方法按如图方式作出一射线交于,交的延长线于,若；求的长？
略解：根据图中作图方式可知平分
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
∥
即∥
∴
∴
∴
例2.
在□中，以为边向□内作等边⊿和等边⊿,分别连接，分别连接
交于点
.
求证：点
为线段的中点.
略证：∵⊿和⊿都是等边三角形
∴,
,
∵四边形是平行四边形
∴,,
∴
,
，即
∴⊿≌⊿（
）
∴
∴四边形是平行四边形
∴点
为线段的中点（平行四边形的对角线互相平分）
例3.
□按如图方式折叠，是折痕，点落在边上的
处，连接.
⑴.求证：四边形是平行四边形；
⑵.若平分,请探究之间的关系.
略解：
⑴.∵四边形是平行四边形
∴
,∥,∥
∴,∥
∵□按如图方式折叠，是折痕
∴,,
∴
∴
∴,即
∴四边形是平行四边形.
⑵..理由如下：
∵∥
∴
∵平分,
∴
∴
∴
追踪练习：
1.如图,在□中，,则
=
.
2.□的周长为，对角线交于点,⊿周长比⊿的周长多，则
=
，
=
.
3.□中,的平分线交于点；若
,
；那么=
，=
，
=
.
4.已知点
在同一直线上,□,且
；
求证：
5.如图，已知四边形,
为其对角线上的两点，分别连接
;求证：四边形是平行四边形.
6.
在平行四边形中，
于点,，连接
;若;求的值
7.⊿和⊿都是正三角形,.
⑴.求证：⊿≌⊿
⑵.当
运动至边上的何处时，四边形为平行
四形，且
,并证明你的结论.
8.有一块如图的玻璃,不小心把部分打碎，现在只测得,
.
⑴.根据测得的数据计算的长；
⑵.求四边形的面积.
题目二.
以矩形为框架搭建起来的图形
例1.如图，在□中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点,连接.
⑴.求证：四边形是平行四边形；
⑵.若时，则当为多少度时，四边形是矩形.
略解：
⑴.∵四边形是平行四边形
∴∥
即∥
∴
,
又点是边的中点
∴
∴⊿≌⊿（
）
∴
∴四边形是平行四边形
⑵.
若时，则当，四边形是矩形.
理由：
∵四边形是平行四边形
∴∥
∴
;又
若
即时
，则
;又
∴，
∴
∴□是矩形.
例2.如图,矩形中,对角线交于点；点为矩形的边上的一个固定点，过点作,垂足分别为.
⑴.求的值？
⑵.若点是上的一动点（不与重合），还是点作
，垂足分别为则的值是否
会发生变化？为什么？
略解：
⑴.∵四边形是矩形
∴,,
∴
在⊿中，；并且根据勾股定理有：，即，又
，所以
∴
∵⊿，⊿
;
且⊿(过程略)
∴⊿+⊿=⊿
=
即
∴.
⑵.不会发生变化.这是因为⊿、⊿、⊿的面积以及
作为底边的不会发生变化（见右图）.
追踪练习：
1.如图，矩形中，.求证：
2.矩形中，于
，于.
求证：
3.矩形中，平分
,.
求与的度数？
4.矩形中，∥
，则⊿为等腰三角形吗？为什么？
5.如图，在矩形中，;若点是边的中点，连接
,过点作交于点,求的长.
6.如图，在矩形中，点分别在上，将⊿沿折叠，使点在上的点处，又将⊿沿折叠，使点落在与的交点处．则的值为多少？
7.如图，已知矩形纸片中,；点在边上，沿折叠后点恰好落在边上.
⑴.求的长？
⑵.求折痕的长？
8如图，在矩形中，,动点满足，则动点到两点距离之和的最小值为多少？
9.如图，⊿中，点是边上的一个动点，过点作直线∥
；设交的平分线于点,交的外角平分线于点.
⑴.判断与的大小关系？并说明理由？
⑵.当点运动到的何处时，四边形是
矩形？并说出你的理由.
题目三.
以菱形为框架搭建起来的图形
例1.如图，在⊿中，分别为的中点，连接，延长
到点，使,
连接;若平分.
⑴.求证：四边形是菱形；
⑵.若
,求菱形的面积.
略解：
⑴.∵分别为的中点
∴∥，则∥
∴
∵平分
∴
∴
∴∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴□是菱形
⑵.∵四边形是菱形
∴
∴⊿是等边三角形
∴
易求
，
∴
∴
∴菱形的面积=
例2.如图所示，在菱形中，，⊿为正三角形，点分别在菱形的边上滑动，且不与重合．
⑴.证明不论在上如何滑动，总有?
⑵.当点在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值.
略解：
⑴.证明：连接,如下图所示.
∵四边形为菱形，
∴
∴
∵
∴
∴⊿和⊿都为等边三角形
∴
∴在⊿和⊿中，∴⊿≌⊿
∴
⑵.解：四边形的面积不变.
理由：由⑴得⊿≌⊿可得⊿=⊿.
故四边形=⊿+⊿=⊿+⊿=
⊿
是定值.
作于点，则
四边形＝⊿
追踪练习：
1.
已知□，添加下列一个条件：①.；②.；③.；④..其中能使□是菱形的为（
）
A.①③
B.②③
C.④
D.①②③
2.菱形中，为上的一点，交于.
求证：⑴.⊿≌⊿；⑵..
3.
菱形的对角线的比是,周长为，求菱形的面积？
4.如图，□的对角线的垂直平分线与分别交于点；
求证：四边形是菱形.
5.如图，菱形中，,点分别是上的动点，且满足
,接连.
求证：⊿是等边三角形
6.⊿中，，平分，于
交于,于,求证：四边形是菱形.
7.在菱形中,对角线相交于点,过点的直线分别交的延长线于点,连接.
⑴.求证：⊿≌⊿;
⑵.若；求菱形的面积.
8.以⊿的三边在的同侧做等边⊿、等边⊿、等边⊿.
⑴.判断四边形的形状？
⑵.当为多少度时，四边形为矩形？
⑶.当为多少度时，四边形不存在？
⑷.当△满足什么形状，四边形是菱形？
题目四.
以正方形为框架搭建起来的图形
例1.正方形中，⊿是等边三角形.
⑴.求的度数？
⑵.若,求的长？
略解：
⑴.根据正方形和等边三角形的性质综合可以得出,所以得出：,所以.
⑵.由正方形的性质综合可以得出,在⊿中，
所以,根据勾股定理可以求出,所以.根据勾股定理或面积公式可以得出：.又.
例2.正方形的面积为
,
,为上的一动点；
求的最小值？
略解:
根据正方形的对称性按如图所示的对称点为;连结交
于点；根据轴对称的性质,此
时和是最小的.
∵正方形的面积为可求得边长
∴；
根据正方形的性质和勾股定理可以求得：
∴的最小值为10.
追踪练习：
1.正方形中，,如图所示则
=
.
2.如图，边长为3的正方形绕点按顺时针方向旋转30°后得到
的正方形交于点H,四边形
=
.
3.如图,为正方形内的一点,将⊿顺时针旋转到与为⊿
重合；若,则的长为??
.????
4.在⊿中，，为的中点，
,
垂足分别为
.
⑴.求证:⊿≌⊿
⑵.当⊿是直角三角形时，四边形是正方形？
5.正方形中，其面积为1，⊿为正三角形，求⊿的面积？
6.
为边长为1的正方形的对角线上的一点，且,为
上的一动点，
,求的值？
7.正方形绕着正方形点向外（逆时针）旋转一定角度，连结（见图）.
⑴.求证:
⑵.如果改成正方形绕着正方形点向内（顺时针）旋
转一定角度，连结.那么这个结论还成立吗？请画
出示意图，并说明理由.
8.如图，在正方形中，是其对角线上的任意一点，过
作∥
,∥分别交正方形的边于
连接.求证：
.
9.如图，在边长为正方形
中，把边绕点逆时针旋
转60°，得到线段,连接并延长交于,连接,
求⊿的面积.
题目五.
含“三角形中位线”的图形
例1.如图，已知凹四边形
，依次是的中点.
求证：四边形是平行四边形.
证明：连接
∵点依次是的中点.
∴∥
,∥;
,
∴∥,
∴四边形是平行四边形.
例2.如图，已知点
为⊿边的中点，
,
于点，连接.
⑴
.如图①，若为的平分线，求的长；
⑵.
如图②，若为的外角平分线，求的长.
略解：
⑴.延长交于点.
∵
为的平分线
∴
∵于点
∴
又
∴⊿≌⊿（
）
∴
又
为⊿边的中点
∴
⑵.
延长交射线于点.
∵
为的外角平分线
∴
∵于点
∴
又
∴⊿≌⊿（
）
∴
又
为⊿边的中点
∴
追踪练习：
1.顺次连结对角线相等且互相垂直的四边中点所构成的中点四边形的形状是
.
2.如图，□的周长为36，对角线交于点,点
是的中点；若,则⊿的周长为
.
3.在⊿中，,分别是边
的中点，且，则的长为
.
4.如果分别为四边形的四边的中点（见图），若
；若四边形的对角线,那么四边形
的面积为
.
5.如图中，为三角形的中位线，是边上的中线，点
为和的交点.求证：和互相平分.
6.如图，分别平分的外角，过
分别作的垂线，垂足分别为，交的
延长线于，连结.
求证：
7.中，为的中点，为的中点，求证：
8.中，是边上的中点，为边上的点，且，
连结交于点.求证：
9.如图，四边形中，
,；点
是线段上的动点（含端点，但点不与点
重合），分别连
接。并取分别为的中点，连接；求
的长度的取值范围.
10.如图，∥,∥,点是的中点.求证：∥.
11.如图，正方形的对角线交于点，平分
交于点
.求证：
.
题目六.
含“斜边中线”的图形
例1.为□外一点，
;求证:
□为矩形.
略证：∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∴
∴□为矩形.
例2.如图，矩形中，是的中点，于点
；求证：
略解：延长和交于点.
∵四边形是矩形
∴，
∴
∴
又
，
∴△≌△
∴
∵
∴
∴
∴
追踪练习：
1.已知，如图矩形中，,为对角线的中
点，是边中点，连接,则四边形
的周长为
.
2.已知直角三角形的两边为和
，则这个直角三角形的斜边上的中线长为
.
3.如图，为△的中位线，点在上，且;
若,则的长为
.
4..如图，点分别是的三边的中点，
是的高.
求证：四边形是梯形且两腰相等.
5.如图，在⊿中，,点别是⊿的
边的中点，连接并延长至点
,使，连接.
⑴.求证：;
⑵.当
时，试判断四边形的形状，并说明理由.
6.已知分别是⊿的边上的高，连接,
分别为的中点，连接.
求证：.
7.如图在梯形中,∥,
,
;若
分别为、的中点，连接,求线段的长度？
8.如图，在△中，,点为的中点，以
为变向外作等边三角形,连接.
⑴.证明：∥;
⑵.探索与满足怎样的数量关系时，四边形是
平行四边形.
9.如图，△和△都是直角三角形，且；
连接,设为的中点，连接
;求证：.
题目七.
能力提升拓展探究型例举
注：本题目作为课堂教学素材，以师生互动的形式在课堂上进行，在这里不作解答.
例1.如图，在△中，，；
为的中点，
过作,分别交射线
于点;求的最小值.
例2..如图，正方形的边长为4，
为对角线上的一点，
,连接
，,求的最小值.
例3.如图，是的边上的两个动点，满足,
连接交于点，连接交于点;若正方形的边长
为2，求线段长度的最小值.
例4.拓展探究：
⑴.如图⑴，梯形中，,若分别是两腰的中点，请探究与的关系；
⑵.如图⑵，梯形中，,若分别是两对角线的中点，请探究与的关系.
例5.
如图，分别平分，
,垂足分别为.
求证：⑴.∥；
⑵..
2021.4.
21
赵化中学八数下册专题复习：《平行四边形》的巩固与提升
第
1页（共
6页）
第
2页
（共
6页）