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空间几何体的结构特征
【例1】 (1)设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(1)A (2)D [(1)①若侧棱不垂直于底面，则底面是矩形的平行六面体不是长方体，错误；②若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，错误；③若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体，错误；④若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是
直平行六面体，正确．
(2)如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，取四棱锥A1?ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．]
与空间几何体结构特征有关问题的解答技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
1．棱台上、下底面面积分别为16，81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截面截得两棱台高的比为( )
A．1∶1
B．1∶2
C．2∶3
D．3∶4
C [将棱台还原为棱锥，如图所示，设顶端小棱锥的高为h，两棱台的高分别为x1，x2，则＝，解得x1＝，＝，解得x2＝h.
故＝.]
空间几何体的表面积与体积
【例2】 (1)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A．4π
B．(4＋)π
C．6π
D．(5＋)π
(2)如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥
A1?BB1D1D的体积为________．
(1)D (2) [(1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋×2π×1×＝(5＋)π.
(2)∵正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，
∴矩形BB1D1D的长和宽分别为，1.
∵四棱锥A1?BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为，
∴V四棱锥A1?BB1D1D＝Sh＝×(1×)×＝.]
空间几何体的表面积与体积的求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．
2．如图所示，已知三棱柱ABC?A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC?A′B′C′的体积．
[解] 连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．
设所求体积为V，显然三棱锥A′?ABC的体积是V.
而四棱锥A′?BCC′B′的体积为Sa，
故有V＋Sa＝V，即V＝Sa.
与球有关的切、接问题
【例3】 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为( )
A．π B．π C．π D．16π
(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是( )
A．96
B．16
C．24
D．48
(1)B (2)D [(1)如图，设PE为正四棱锥P?ABCD的高，则正四棱锥P?ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF.
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，
又底面边长为4,
所以AE＝2，
PE＝6,
所以侧棱长PA＝＝＝＝2.
设
球的半径为R,
则PF＝2R.
由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝，所以S＝4πR2＝4π×＝，故选B.
(2)由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长，为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有×＝R＝2，解得a＝4.故此三棱柱的体积V＝××(4)2×4＝48.]
与球相关问题的解题策略
(1)作适当的截面(如轴截面等)时，
对于球内接长方体、正方体，
则截面一要过球心，
二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题．
(2)对于“内切”和“外接”等问题，
首先要弄清几何体之间的相互关系，
主要是指特殊的点、线、面之间的关系，
然后把相关的元素放到这些关系中来解决．
3．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )
A．64π
B．48π
C．36π
D．32π
A [如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以＝2r，解得AB＝2，故OO1＝2，所以R2＝OO＋r2＝(2)2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A.]
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空间点、线、面位置关系的判断与证明
【例1】 如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
[证明] (1)设AC与BD交于点O，连接EO，如图所示，
∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝AC＝1，
∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE.
∵OE?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
(2)连接FO，如图所示．
∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，
∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.
∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.
又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.
空间平行、垂直关系的转化
(1)平行、垂直关系的相互转化
(2)证明空间线面平行或垂直需注意三点
①由已知想性质，由求证想判定．
②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．
③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．
1.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：
(1)当AB＝BC时，EF⊥AC；
(2)点C1在平面AEF内．
[证明] (1)如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1.又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.
由于EF?平面BB1D1D，所以EF⊥AC.
(2)如图，在棱AA1上取点G，使得AG＝2GA1，连接GD1，FC1，FG.
因为D1E＝DD1，AG＝AA1，DD1綊AA1，所以ED1綊AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，故AE∥GD1.
因为B1F＝BB1，A1G＝AA1，BB1綊AA1，所以FG綊A1B1，FG綊C1D1，四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1∥FC1.
于是AE∥FC1.所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内.
空间角的计算问题
【例2】 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．
[解] (1)∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.
又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin
∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.
(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝，
∴tan
∠OAE＝＝.
(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，
∴OC⊥平面AOB.
又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.
空间角的求法
求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).
(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．
2．如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB≠AC，D、E分别是BC、AB的中点，AC＞AD，设PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P?BC?A的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是________．
α＜β＜γ [∵D、E分别是BC、AB的中点，∴DE∥AC，∴PC与DE所成的角为∠PCA，即α；∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角为∠PDA，即β；过A作AH⊥BC，垂足为H，连接PH，
易证BC⊥平面PAH，
∴∠PHA是二面角P?BC?A的平面角，即γ.
∵AB≠AC，
∴AD＞AH，又AC＞AD，
∴AC＞AD＞AH，
∴＜＜，
∴tan
α＜tan
β＜tan
γ，
∴α＜β＜γ.]
折叠问题
【例3】 如图所示，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q?ABP的体积．
[解] (1)由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.
又BA⊥AD，且AC?平面ACD，AD?平面ACD，
AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
作QE⊥AC，垂足为E，则QE＝DC，QE∥DC.
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.
因此，三棱锥Q?ABP的体积为VQ?ABP＝×QE×S△ABP＝×1××3×2sin
45°＝1.
解决折叠问题的关键和解题步骤
解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况，看看哪些元素的位置变了，哪些没有变，基本思路是利用不变求变，一般步骤如下：
?1?平面―→空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形.想象出空间图形，完成平面图形与空间图形在认识上的转化.
?2?空间―→平面：为解决空间图形问题，要回到平面上来，重点分析元素的变与不变.
?3?平面―→空间：弄清楚变与不变的元素以后，再立足于不变的元素的位置关系、数量关系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系.
3．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
图1 图2
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的四边形ACGD的面积．
[解] (1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，
所以AD∥CG，
故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE.
又因为AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)取CG的中点M，连接EM，DM.
因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.
因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝，
故DM＝2.
所以四边形ACGD的面积为4.
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