2021-2022学年高中人教A版数学必修2全册综合学案 Word版含解析
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高中人教A版数学必修2全册综合学案 Word版含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 263.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-22 14:45:33 | ||
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文档简介
一、柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式
面积 体积
圆柱 S侧＝2πrl V＝Sh＝πr2h
圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h＝πr2
圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h
直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh
正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh
正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h
球 S球面＝4πR2 V＝πR3
二、空间中的线线、线面、面面关系
1．空间中线线关系
空间中两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种情况．
两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．
(1)证明线线平行的方法
①线线平行的定义；
②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
③线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；
④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b；
⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b．
(2)证明线线垂直的方法
①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角(在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线)；
②线面垂直的性质1：a⊥α，b?α?a⊥b；
③线面垂直的性质2：a⊥α，b∥α?a⊥b．
2．空间中线面关系
直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种．
(1)证明直线与平面平行的方法
①线面平行的定义；
②判定定理：
a?α，b?α，a∥b?a∥α；
③平面与平面平行的性质：α∥β，a?α?a∥β．
(2)证明直线与平面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②判定定理1：?l⊥α；
③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；
④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α?a⊥β；
⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.
3．空间中面面关系
两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．
(1)证明面面平行的方法
①面面平行的定义；
②面面平行的判定定理：
a∥β，b∥β，a?α，b?α，a∩b＝A?α∥β；
③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β?α∥β；
④公理4的推广：α∥γ，β∥γ?α∥β.
(2)证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；
②面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.
三、两直线的位置关系
1．求直线斜率的基本方法
(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tan_α．
(2)公式法：已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，则斜率k＝．
2．判断两直线平行的方法
(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2?l1∥l2．
(2)若不重合的直线l1与l2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l1∥l2.
3．判断两直线垂直的方法
(1)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1?l1⊥l2.
(2)已知直线l1与l2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1⊥l2.
四、直线方程
1．直线方程的五种形式
名称 方程 常数的几何意义 适用条件
点斜式 一般情况 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴
斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴
两点式 一般情况 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴
截距式 ＋＝1 a，b分别是直线在x轴，y轴上的两个非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式 Ax＋By＋C＝0A，B不同时为0 A，B，C为系数 任何情况
2.常见的直线系方程
(1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.
(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.
五、圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0).
(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：①求两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C2；
②过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ为参数，λ∈R).
六、直线与圆的位置关系
1．直线与圆位置关系的判断方法
(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d＜r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d＞r，则直线和圆相离．
(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ，Δ＝0?直线与圆相切；Δ＞0?直线与圆相交；Δ＜0?直线与圆相离．
2．过圆外一点(x0，y0)与圆相切的切线方程的求法
①当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx－y＋y0－kx0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k；
②当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.
当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程．
3．圆中弦长的求法
(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解．
(2)利用圆的弦长公式l＝|x1－x2|＝·(其中x1，x2为两交点的横坐标).
(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d、圆的半径r与弦长的一半为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l＝2．
4．圆与圆的位置关系
(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系．
(2)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交．
则两圆方程相减后得到的新方程：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．
1．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． ( )
[提示] ×，根据棱锥定义，其余各面必须是有公共顶点的三角形．
2．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱． ( )
[提示] ×，两个平行平面必须与圆柱底面平行才是圆柱．
3．上、下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台． ( )
[提示] ×，圆台的母线延长后交于一点．
4．球的体积之比等于半径比的平方． ( )
[提示] ×，由球的体积公式可知球的体积之比等于半径比的立方．
5．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差． ( )
[提示] √，根据台体与锥体之间的关系可知正确．
6．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS． ( )
[提示] ×，由条件可知，圆柱的底面周长为正方形的边长，设圆柱的底面半径为r，则有S＝πr2，从而圆柱侧面积为4πS.
7．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． ( )
[提示] ×，由公理3可知错误．
8．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． ( )
[提示] √，如空间直角坐标系中三条坐标轴可以确定三个平面．
9．若直线a不平行于平面α，且a?α，则α内的所有直线与a异面． ( )
[提示] ×，由条件知直线a与平面α相交，则平面内凡过交点的直线都与a相交．
10．没有公共点的两条直线是异面直线． ( )
[提示] ×，没有公共点的两条直线可能平行或异面.
11．若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面． ( )
[提示] ×，根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误．
12．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线． ( )
[提示] ×，根据线面平行的性质定理可知，此直线与平面内的无数条直线平行而不是与任一条直线平行．
13．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α． ( )
[提示] ×，若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α或a?α.
14．若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条． ( )
[提示] ×，直线a与点P确定一个平面β，若α∩β＝b，则a∥b.
15．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. ( )
[提示] ×，如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交．
16．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. ( )
[提示] √，分别在两个平面内的两条直线没有公共点，则它们平行或异面.
17．直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α． ( )
[提示] ×，根据直线与平面垂直的定义可知此结论错误．
18．直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c． ( )
[提示] ×，在空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面．
19．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β． ( )
[提示] ×，此直线不一定与平面β垂直，因此两平面不一定垂直.
20．若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． ( )
[提示] ×，根据面面垂直的性质定理可知该结论错误.
21．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α. ( )
[提示] √，两条平行线中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直．
22．确定圆的几何要素是圆心与半径． ( )
[提示] √，根据圆的概念可知确定圆的几何要素是圆心与半径．
23．方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆． ( )
[提示] ×，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2中当t2>0时才表示圆心为(a, b)，半径为|t|的一个圆．
24．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0． ( )
[提示] √，若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则必有x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0成立．
25．过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2． ( )
[提示] √，过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2，这一结论需记住．
26．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． ( )
[提示] ×，如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切或内切．
27．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． ( )
[提示] ×，如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交、内切或内含．
28．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条． ( )
[提示] √，由于两圆相交，故其公切线有且仅有两条．
29．两平行直线2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0间的距离是0. ( )
[提示] ×，只有当x，y对应项系数相等时才能用公式求距离．
1．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A．8 B．6
C．8 D．8
C [连接AC1，AC，BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2.又B1C1＝2，所以BB1＝＝2，故该长方体的体积V＝2×2×2＝8.]
2．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D?ABC体积的最大值为( )
A．12 B．18
C．24 D．54
B [设等边三角形ABC的边长为x，则x2sin 60°＝9，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝，解得r＝2，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D?ABC体积的最大值Vmax＝S△ABC×6＝×9×6＝18.]
3．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A． B．
C． D．
C [如图，连接BE，AE.
因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝.又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan ∠EAB＝＝.故选C.]
4．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
40π [如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，母线SA，SB的夹角为θ，由cos θ＝，得sin θ＝，由△SAB的面积为l2sin θ＝5，得l＝4，又SA与圆锥底面所成角为45°，所以r＝l＝2，所以该圆锥的侧面积为πrl＝π×2×4＝40π.
]
5．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．
8π [由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝l＝2，AO＝l＝2.故该圆锥的体积V＝π×AO2×SO＝π×(2)2×2＝8π.]
6．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．
2 [由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.]
面积 体积
圆柱 S侧＝2πrl V＝Sh＝πr2h
圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h＝πr2
圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h
直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh
正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh
正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h
球 S球面＝4πR2 V＝πR3
二、空间中的线线、线面、面面关系
1．空间中线线关系
空间中两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种情况．
两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．
(1)证明线线平行的方法
①线线平行的定义；
②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
③线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；
④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b；
⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b．
(2)证明线线垂直的方法
①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角(在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线)；
②线面垂直的性质1：a⊥α，b?α?a⊥b；
③线面垂直的性质2：a⊥α，b∥α?a⊥b．
2．空间中线面关系
直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种．
(1)证明直线与平面平行的方法
①线面平行的定义；
②判定定理：
a?α，b?α，a∥b?a∥α；
③平面与平面平行的性质：α∥β，a?α?a∥β．
(2)证明直线与平面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②判定定理1：?l⊥α；
③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；
④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α?a⊥β；
⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.
3．空间中面面关系
两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．
(1)证明面面平行的方法
①面面平行的定义；
②面面平行的判定定理：
a∥β，b∥β，a?α，b?α，a∩b＝A?α∥β；
③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β?α∥β；
④公理4的推广：α∥γ，β∥γ?α∥β.
(2)证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；
②面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.
三、两直线的位置关系
1．求直线斜率的基本方法
(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tan_α．
(2)公式法：已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，则斜率k＝．
2．判断两直线平行的方法
(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2?l1∥l2．
(2)若不重合的直线l1与l2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l1∥l2.
3．判断两直线垂直的方法
(1)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1?l1⊥l2.
(2)已知直线l1与l2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1⊥l2.
四、直线方程
1．直线方程的五种形式
名称 方程 常数的几何意义 适用条件
点斜式 一般情况 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴
斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴
两点式 一般情况 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴
截距式 ＋＝1 a，b分别是直线在x轴，y轴上的两个非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式 Ax＋By＋C＝0A，B不同时为0 A，B，C为系数 任何情况
2.常见的直线系方程
(1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.
(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.
五、圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0).
(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：①求两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C2；
②过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ为参数，λ∈R).
六、直线与圆的位置关系
1．直线与圆位置关系的判断方法
(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d＜r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d＞r，则直线和圆相离．
(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ，Δ＝0?直线与圆相切；Δ＞0?直线与圆相交；Δ＜0?直线与圆相离．
2．过圆外一点(x0，y0)与圆相切的切线方程的求法
①当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx－y＋y0－kx0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k；
②当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.
当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程．
3．圆中弦长的求法
(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解．
(2)利用圆的弦长公式l＝|x1－x2|＝·(其中x1，x2为两交点的横坐标).
(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d、圆的半径r与弦长的一半为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l＝2．
4．圆与圆的位置关系
(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系．
(2)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交．
则两圆方程相减后得到的新方程：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．
1．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． ( )
[提示] ×，根据棱锥定义，其余各面必须是有公共顶点的三角形．
2．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱． ( )
[提示] ×，两个平行平面必须与圆柱底面平行才是圆柱．
3．上、下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台． ( )
[提示] ×，圆台的母线延长后交于一点．
4．球的体积之比等于半径比的平方． ( )
[提示] ×，由球的体积公式可知球的体积之比等于半径比的立方．
5．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差． ( )
[提示] √，根据台体与锥体之间的关系可知正确．
6．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS． ( )
[提示] ×，由条件可知，圆柱的底面周长为正方形的边长，设圆柱的底面半径为r，则有S＝πr2，从而圆柱侧面积为4πS.
7．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． ( )
[提示] ×，由公理3可知错误．
8．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． ( )
[提示] √，如空间直角坐标系中三条坐标轴可以确定三个平面．
9．若直线a不平行于平面α，且a?α，则α内的所有直线与a异面． ( )
[提示] ×，由条件知直线a与平面α相交，则平面内凡过交点的直线都与a相交．
10．没有公共点的两条直线是异面直线． ( )
[提示] ×，没有公共点的两条直线可能平行或异面.
11．若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面． ( )
[提示] ×，根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误．
12．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线． ( )
[提示] ×，根据线面平行的性质定理可知，此直线与平面内的无数条直线平行而不是与任一条直线平行．
13．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α． ( )
[提示] ×，若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α或a?α.
14．若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条． ( )
[提示] ×，直线a与点P确定一个平面β，若α∩β＝b，则a∥b.
15．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. ( )
[提示] ×，如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交．
16．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. ( )
[提示] √，分别在两个平面内的两条直线没有公共点，则它们平行或异面.
17．直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α． ( )
[提示] ×，根据直线与平面垂直的定义可知此结论错误．
18．直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c． ( )
[提示] ×，在空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面．
19．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β． ( )
[提示] ×，此直线不一定与平面β垂直，因此两平面不一定垂直.
20．若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． ( )
[提示] ×，根据面面垂直的性质定理可知该结论错误.
21．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α. ( )
[提示] √，两条平行线中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直．
22．确定圆的几何要素是圆心与半径． ( )
[提示] √，根据圆的概念可知确定圆的几何要素是圆心与半径．
23．方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆． ( )
[提示] ×，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2中当t2>0时才表示圆心为(a, b)，半径为|t|的一个圆．
24．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0． ( )
[提示] √，若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则必有x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0成立．
25．过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2． ( )
[提示] √，过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2，这一结论需记住．
26．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． ( )
[提示] ×，如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切或内切．
27．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． ( )
[提示] ×，如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交、内切或内含．
28．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条． ( )
[提示] √，由于两圆相交，故其公切线有且仅有两条．
29．两平行直线2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0间的距离是0. ( )
[提示] ×，只有当x，y对应项系数相等时才能用公式求距离．
1．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A．8 B．6
C．8 D．8
C [连接AC1，AC，BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2.又B1C1＝2，所以BB1＝＝2，故该长方体的体积V＝2×2×2＝8.]
2．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D?ABC体积的最大值为( )
A．12 B．18
C．24 D．54
B [设等边三角形ABC的边长为x，则x2sin 60°＝9，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝，解得r＝2，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D?ABC体积的最大值Vmax＝S△ABC×6＝×9×6＝18.]
3．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A． B．
C． D．
C [如图，连接BE，AE.
因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝.又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan ∠EAB＝＝.故选C.]
4．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
40π [如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，母线SA，SB的夹角为θ，由cos θ＝，得sin θ＝，由△SAB的面积为l2sin θ＝5，得l＝4，又SA与圆锥底面所成角为45°，所以r＝l＝2，所以该圆锥的侧面积为πrl＝π×2×4＝40π.
]
5．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．
8π [由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝l＝2，AO＝l＝2.故该圆锥的体积V＝π×AO2×SO＝π×(2)2×2＝8π.]
6．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．
2 [由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.]