2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.3.1离散型随机变量的均值课件（共21张PPT）

7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1离散型随机变量的均值
素养目标
学科素养
1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的均值的概念；(重点)
2．能计算简单离散型随机变量的均值；(重点)
3．培养解决实际问题的能力.
1．数学抽象；
2．数学建模；
3．数学运算
1.随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点????，都有唯一的实数X(????)与之对应，我们称X为随机变量.
?
2.离散型随机变量
　 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量.
3.离散型随机变量的特征
(1)随机变量的取值是实数；
(2)随机变量的取值能一一列出；
　　(3)试验之前可以判断其可能出现的所有值；
　　(4)试验之前不能确定取何值.　　　　
复习巩固
一般地，设离散型随机变量X的可能取的不同值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi 的概率P(X=xi)=Pi， i=1，2，…，n，为X的概率分布列，简称分布列.
4.概率分布列
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
5.离散型随机变量的分布列的性质
①Pi ≥0，i=1，2， …，n；
　②P1+P2+ … +Pn =1．
复习巩固
6.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用????表示“成功”，?????表示“失败”，定义????=1，????发生，0，????发生.
如果P(A)=p，则P(????)=1－p，那么X的分布列如表所示.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}X
0
1
P
1－p
p
我们称X服从两点分布或0-1分布.
7.求离散型随机变量的分布列的一般步骤
定值 求概率 列表 检验
复习巩固
情景引入
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时,直接使用分布列并不方便.
例如,要比较不同班级某次考试成绩,通常会比较平均成绩;要比较两名射箭运动员的射箭水平,一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.
因此,类似于研究一组数据的均值和方差,我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差,它们统称为随机变量的数字特征.
探究新知
问题1： 甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下所示：
环数X
7
8
9
10
甲射中的概率
0.1
0.2
0.3
0.4
乙射中的概率
0.15
0.25
0.4
0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢？
分析：类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等,再看稳定性.
假设甲射箭????次，其中射中7环????????次、8环????????次、9环????????次、10环????????次，
?
则射中7环、8环、9环、10环的频率分别为
????????????,????????????, ????????????, ????????????.
?
甲????次射箭射中的平均环数为
?
????甲=7×????????????+8×????????????+9×????????????+10 × ????????????.
?
探究新知
问题1： 甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下所示：
环数X
7
8
9
10
甲射中的概率
0.1
0.2
0.3
0.4
乙射中的概率
0.15
0.25
0.4
0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢？
当????足够大时，频率稳定于概率，所以????甲稳定于
?
7×0.15+8×0.25+9×0.4+10 × 0.2=8.65.
?
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值????乙为
?
7×0.1+8×0.2+9×0.3+10 × 0.4=9.
?
结论：从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
????甲=7×????????????+8×????????????+9×????????????+10 × ????????????.
?
概念生成
离散型随机变量的均值
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.
一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示,
则称
????????=
?
????1????1+????2????2+?+????????????????
?
=????=1????????????????????
?
　(1)均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征;
　 (2)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位；
　 (3)随机变量的均值不具有随机性，反映和刻画的是离散型随机变量取值的平均水平．
　 (4)随机变量的均值与样本平均值的区别与联系:
概念生成
离散型随机变量的均值说明
①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的不同而变化；
②联系:对于简单随机样本,随着样本容量的増加样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此我们常用样本的平均值估计总体的均值.
典型例题
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X=1,不中时X=0,因此随机变量X服从两点分布.X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平.
解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
所以 E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)
=1×0.8+0×0.2 =0.8
即他罚球1次的得分X的均值是0.8.
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
例题推广
E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}X
0
1
P
1－p
p
E(X)＝p.
变式训练1
在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球2次的得分X的均值是多少？
解：因为????的可能取值为0,1,2.
?
所以?????????=????=????.????×????.????=????.????????,
?
????????=????=????.????×????.????+????.????×????.????=????.????????,
?
????????=????=????.????×????.????=????.????????,
?
所以?????????=????×????.????????+????×????.????????+????×????.????????=????.????.
?
所以他罚球2次的得分X的均值是1.6.
总结提升
(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；
(2)求概率：求X取每个值的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列；
(4)求均值：由均值的定义求出E(X).
求离散型随机变量的均值的步骤
例2 随机抛掷一个骰子，所得骰子的点数X的均值.
典型例题
解：????的分布列为
?
????????=????= ????????,????=????,????,????,????,????,????.
?
所以?????????=????????????+????+????+????+????+????=????.????.
?
变式训练2
随机抛掷一个正四面体，正四面体每个面分别标号1.2.3.4，求朝下一面标号X的均值.
解：????的分布列为
?
????????=????= ????????,????=????,????,????,????.
?
所以?????????=????????????+????+????+????=????.????.
?
探究新知
如果????是一个离散型随机变量，将????进行平移或伸缩后，其均值会怎样变化？即????(????+????)和????(????????)(其中????,????为常数)分别与????(????)有怎样的关系？
?
分析：设????的分布列为
?
????????=????????=????????,????=????,????,?,????.
?
则????+????也是随机变量，其分布列为
?
????
????????
????????
···
????????
···
????????
????
????????
????????
···
????????
···
????????
···
···
????+????
?
????????+????
?
????????+????
?
????????+????
?
????????+????
?
所以????(????+????)=(????????+????)????????+(????????+????)????????+···+?(????????+????)????????
?
=(????????????????+????????????????+···+?????????????????)+????(????????+????????+···+?????????)
?
=???? (????)+????
?
同理?????????????=?????????(????)
?
总结提升
离散型随机变量均值的运算性质
(1) E(X＋b)＝E(X)＋b，
(2) E(aX)＝aE(X)，
(3) E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
典型例题
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示
规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额????的分布列及均值.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的公益基金/元
1000
2000
3000
分析:根据规则,公益基金总额????的可能取值有四种情况:猜错A,获得0元基金;猜对A而猜错B,获得1000元基金;猜对A和B而猜错C,获得3000元基金;A,B,C全部猜对,获得6000元基金.因此????是一个离散型随机变量.利用独立条件下的乘法公式可求分布列.
?
典型例题
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示
规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额????的分布列及均值.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的公益基金/元
1000
2000
3000
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则A,B,C相互独立.
所以?????????=????=????????=????.????,
?
????????=????????????????=????????????=????.????×????.????=????.????????,
?
????????=????????????????=????????????????=??.????×????.????×????.????=????.????????????,
?
????????=????????????????=????????????????=????.????×????.????×????.????=????.????????????,
?
典型例题
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示
规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额????的分布列及均值.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的公益基金/元
1000
2000
3000
????的分布列如下表.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
0
1000
3000
6000
????
0.2
0.32
0.288
0.192
????的均值为
?
????????=0 ×0.2+1000 ×0.32+3000 ×0.288+6000 ×0.192
?
=2336
?
思 考
如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？
如果按ACB的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值是多少？
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则A,B,C相互独立.
所以?????????=????=????????=????.????,
?
????????=????????????????=????????????=????.????×????.????=????.????????,
?
????????=????????????????=????????????????=????.????×????.????×????.????=????.????????????,
?
????????=????????????????=????????????????=????.????×????.????×????.????=????.????????????,
?
????的分布列如下表.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
0
1000
3000
6000
????
0.2
0.48
0.128
0.192
????的均值为
?
????????=0 ×0.2+1000 ×0.48+3000 ×0.128+6000 ×0.192=2144
?
课堂小结
1.离散型随机变量的均值
????????=
?
????1????1+????2????2+?+????????????????
?
2.离散型随机变量均值的运算性质
E(aX＋b)＝aE(X)＋b
(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；
(2)求概率：求X取每个值的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列；
(4)求均值：由均值的定义求出E(X).
3.求离散型随机变量的均值的步骤