8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
【知识点一】平面的概念及点、线、面之间的位置关系
2.
点、线、面之间的位置关系
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
位置关系
符号表示
点P在直线AB上
P∈AB
点C不在直线AB上
C?AB
点M在平面AC内
M∈平面AC
点A1不在平面AC内
A1?平面AC
直线AB与直线BC交于点B
AB∩BC=B
直线AB在平面AC内
AB?平面AC
直线AA1不在平面AC内
AA1?平面AC
3.平面的基本性质
公理(推论)
文字语言
图形语言
符号语言
作用
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内
?AB?α
(1)判定直线在平面内;
(2)证明点在平面内
公理2
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线
?α∩β=l
且P∈l
(1)判断两个平面是否相交;
(2)判定点是否在直线上;
(3)证明点共线问题
公理3
经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
A,B,C不共线?A,B,C确定一个平面α
(1)确定一个平面的依据;
(2)证明平面重合;
(3)证明点、线共面
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面
A?l?A和l确定一个平面α
推论2
经过两条相交直线,有且只有一个平面
a∩b=A?a,b确定一个平面α
推论3
经过两条平行直线,有且只有一个平面
a∥b?a,b确定一个平面α
【知识点二】空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法;②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系
【知识点三】直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数个公共点
只有1个公共点
没有公共点
符合表示
a?α
a∩α=A
a∥α
图形表示
【知识点四】平面与平面的位置关系
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β=l
图形表示
【例1-1】如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
【变式1】 若点A在直线b上,b在平面β内,则点A,直线b,平面β之间的关系可以记作________.(填序号)
①A∈b∈β;②A∈b?β;③A?b?β;④A?b∈β.
【变式2】空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是______.
【例1-2】如图,已知:a?α,b?α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ?α.
【变式1】(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是(
)
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
【变式2】 已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.
【变式3】(线共点问题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.
【例2-1】在四棱锥P—ABCD中,各棱所在的直线互为异面的有________对.
【变式1】一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线的位置关系是(
)
A.平行或异面
B.相交或异面
C.异面
D.相交
【变式2】如图所示,在三棱锥A—BCD中,E,F是棱AD上异于A,D的两个不同点,G,H是棱BC上异于B,C的两个不同点,给出下列说法:
①AB与CD互为异面直线;
②FH分别与DC,DB互为异面直线;
③EG与FH互为异面直线;
④EG与AB互为异面直线.
其中说法正确的是________.(填序号)
【例3-1】(直线与平面的位置关系)
(1)若直线上有一点在平面外,则下列结论正确的是( )
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
(2)下列四个命题中正确命题的个数是( )
①如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;
②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;
③如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b?α,那么b∥α;
④如果a与平面α上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面α.
A.0
B.1
C.2
D.3
【变式1】 (1)若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线都与直线a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线都与a相交
D.直线a与平面α有公共点
(2)一条直线l上有相异的三个点A,B,C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( )
A.l∥α
B.l⊥α
C.l与α相交但不垂直
D.l∥α或l?α
【例4-1】
(平面与平面的位置关系)
在以下三个命题中,正确的命题是( )
①平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行;②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;③在平面α,β内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面平行或相交.
A.①②
B.②③
C.③
D.①③
【变式1】已知两平面α,β平行,且a?α,下列四个命题:
①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行;③直线a与β内任何一条直线都不垂直;④a与β无公共点.
其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【变式2】下列说法中正确的是( )
A.两个平面可以只有一个交点
B.一条直线与一个平面最多有一个公共点
C.两个平面有一个公共点,则它们相交或重合
D.两个平面有三个公共点,它们一定重合
课后练习题
1.(多选)下面四个条件中,能确定一个平面的是(
)
A.一条直线
B.一条直线和一个点
C.两条相交的直线
D.两条平行的直线
2.(多选)下列叙述中,正确的是(
)
A.若,则
B.若,则
C.若,则重合
D.若,则
3.如图所示,用符号语言可表述为(
)
A.α∩β=m,n?α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n?α,A?m,A?n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
4.已知为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是(
)
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β
B.M∈,M∈β,N∈,N∈β?
C.A∈,A∈β?
D.A∈,B∈,M∈,A∈β,B∈β,M∈β,且A,B,M不共线?,β重合
5.一条直线与两条平行线中的一条异面且垂直,则它与另一条的位置关系不可能的是(
)
A.相交
B.平行
C.异面
D.垂直
6.若异面直线分别在平面内,且,则直线l(
)
A.与直线都相交
B.至少与中的一条相交
C.至多与中的一条相交
D.与中的一条相交,另一条平行
7.若a,b是异面直线,直线,则c与b的位置关系是(
)
A.相交
B.异面
C.平行
D.异面或相交
8.已知直线a和平面α,β,α∩β=l,,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是(
)
A.相交或平行
B.相交或异面
C.平行或异面
D.相交、平行或异面
9.空间中,直线a与平面的位置关系不可能是(
)
A.平行
B.相交
C.异面
D.直线在平面内
10.如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线(
)
A.只和这个平面内的一条直线平行
B.只和这个平面内的两相交直线不相交
C.和这个平面内的任何一条直线都平行
D.和这个平面内的任何一条直线都不相交
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
【知识点一】平面的概念及点、线、面之间的位置关系
2.
点、线、面之间的位置关系
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
位置关系
符号表示
点P在直线AB上
P∈AB
点C不在直线AB上
C?AB
点M在平面AC内
M∈平面AC
点A1不在平面AC内
A1?平面AC
直线AB与直线BC交于点B
AB∩BC=B
直线AB在平面AC内
AB?平面AC
直线AA1不在平面AC内
AA1?平面AC
3.平面的基本性质
公理(推论)
文字语言
图形语言
符号语言
作用
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内
?AB?α
(1)判定直线在平面内;
(2)证明点在平面内
公理2
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线
?α∩β=l
且P∈l
(1)判断两个平面是否相交;
(2)判定点是否在直线上;
(3)证明点共线问题
公理3
经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
A,B,C不共线?A,B,C确定一个平面α
(1)确定一个平面的依据;
(2)证明平面重合;
(3)证明点、线共面
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面
A?l?A和l确定一个平面α
推论2
经过两条相交直线,有且只有一个平面
a∩b=A?a,b确定一个平面α
推论3
经过两条平行直线,有且只有一个平面
a∥b?a,b确定一个平面α
【知识点二】空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法;②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系
【知识点三】直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数个公共点
只有1个公共点
没有公共点
符合表示
a?α
a∩α=A
a∥α
图形表示
【知识点四】平面与平面的位置关系
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β=l
图形表示
【例1-1】如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
【解析】 在(1)中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在(2)中,α∩β=l,a?α,b?β,a∩l=P,b∩l=P.
【变式1】 若点A在直线b上,b在平面β内,则点A,直线b,平面β之间的关系可以记作________.(填序号)
①A∈b∈β;②A∈b?β;③A?b?β;④A?b∈β.
【答案】②
【变式2】空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是______.
【答案】 1或3
【解析】 若三条直线两两相交,且不共点,则只能确定1个平面;若三条直线两两相交,且共点,则可以确定1个或3个平面.
【例1-2】如图,已知:a?α,b?α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ?α.
【证明】因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面β,所以直线a?β,点P∈β.因为P∈b,b?α,所以P∈α.
又因为a?α,所以α与β重合,所以PQ?α.
【变式1】(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是(
)
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
【答案】ABC
【解析】在题图中,连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,
又A1C∩平面C1BD=M.
∴三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,
∴A,B,C均正确,D不正确.故选:ABC
【变式2】 已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.
【证明】 方法一 ∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.
又AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.
∴由公理2可知:点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P,Q,R三点共线.
方法二 ∵AP∩AR=A,∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC?平面APR.
∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α,∴Q∈PR,
∴P,Q,R三点共线.
【变式3】(线共点问题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.
【证明】 如图,连结EF,D1C,A1B.
∵E为AB的中点,F为AA1的中点,∴EF∥A1B,且EF=A1B.
又∵A1B∥D1C,且A1B=D1C,∴EF∥D1C,且EF=D1C,
∴E,F,D1,C四点共面,
∴D1F与CE相交,设交点为P.
又D1F?平面A1D1DA,CE?平面ABCD,∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,根据公理2,可得P∈DA,即CE,D1F,DA相交于一点.
【例2-1】在四棱锥P—ABCD中,各棱所在的直线互为异面的有________对.
【答案】8
【解析】与AB异面的有侧棱PD和PC,同理,与底面的各条边异面的都有两条侧棱,故共有异面直线4×2=8(对).
【变式1】一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线的位置关系是(
)
A.平行或异面
B.相交或异面
C.异面
D.相交
【答案】B
【解析】如图(1)所示,此时直线与直线为异面直线,其中,此时直线与为相交直线;
如图(2)所示,此时直线与直线为异面直线,其中,此时直线与为异面直线,
综上,一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线的位置关系是相交或异面.
故选:
B.
【变式2】如图所示,在三棱锥A—BCD中,E,F是棱AD上异于A,D的两个不同点,G,H是棱BC上异于B,C的两个不同点,给出下列说法:
①AB与CD互为异面直线;
②FH分别与DC,DB互为异面直线;
③EG与FH互为异面直线;
④EG与AB互为异面直线.
其中说法正确的是________.(填序号)
【答案】①②③④
【解析】因为直线DC?平面BCD,直线AB?平面BCD,点B?直线DC,所以由异面直线的判定定理可知,①正确;同理,②③④正确.
【例3-1】(直线与平面的位置关系)
(1)若直线上有一点在平面外,则下列结论正确的是( )
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
(2)下列四个命题中正确命题的个数是( )
①如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;
②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;
③如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b?α,那么b∥α;
④如果a与平面α上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面α.
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】(1)B (2)B
【解析】(1)直线上有一点在平面外,则直线不在平面内,故直线上有无数多个点在平面外.
(2)如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AA′∥BB′,AA′在过BB′的平面ABB′A′内,故命题①不正确;AA′∥平面BCC′B′,BC?平面BCC′B′,但AA′不平行于BC,故命题②不正确;③中,假设b与α相交,因为a∥b,所以a与α相交,这与a∥α矛盾,故b∥α,即③正确;④显然不正确,故选B.
【变式1】 (1)若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线都与直线a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线都与a相交
D.直线a与平面α有公共点
(2)一条直线l上有相异的三个点A,B,C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( )
A.l∥α
B.l⊥α
C.l与α相交但不垂直
D.l∥α或l?α
(1)【答案】D
【解析】 直线a不平行于平面α,则a与平面α相交或a?α,故选D.
(2)【答案】 D
【解析】 当l∥α时,直线l上任意点到α的距离都相等;当l?α时,直线l上所有的点到α的距离都是0;当l⊥α时,直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个;当l与α斜交时,直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个.
【例4-1】
(平面与平面的位置关系)
在以下三个命题中,正确的命题是( )
①平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行;②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;③在平面α,β内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面平行或相交.
A.①②
B.②③
C.③
D.①③
【答案】C
【解析】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对于①,平面AA1D1D中,AD∥平面A1B1C1D1,分别取AA1,DD1的中点E,F,连接EF,则EF∥平面A1B1C1D1,但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的,交线为A1D1,故命题①错;对于②,平面AA1D1D中,与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条,但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行,而是相交于直线A1D1,故命题②错.命题③是正确的,故选C.
【变式1】已知两平面α,β平行,且a?α,下列四个命题:
①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行;③直线a与β内任何一条直线都不垂直;④a与β无公共点.
其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【解析】①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行,有一些是异面;②正确;③中直线a与β内的无数条直线垂直;④根据定义a与β无公共点,正确.
【变式2】下列说法中正确的是( )
A.两个平面可以只有一个交点
B.一条直线与一个平面最多有一个公共点
C.两个平面有一个公共点,则它们相交或重合
D.两个平面有三个公共点,它们一定重合
【答案】C
【解析】两平面有公共点,包括两平面重合或相交.
课后练习题
1.(多选)下面四个条件中,能确定一个平面的是(
)
A.一条直线
B.一条直线和一个点
C.两条相交的直线
D.两条平行的直线
【答案】CD
【解析】对于选项A:一条直线不能确定一个平面,故选项A不正确;
对于选项B:一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面,一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面,故选项B不正确;
对于选项C:两条相交的直线可以确定一个平面,故选项C正确;
对于选项D:两条平行的直线可以确定一个平面,故选项D正确;
故选:CD
2.(多选)下列叙述中,正确的是(
)
A.若,则
B.若,则
C.若,则重合
D.若,则
【答案】AD
【解析】对于选项A:直线上有两点在平面内,则直线在平面内;故选项A正确;
对于选项B:若,则不一定是两个面的公共点.故选项B错误;
对于选项C:若,
当三点共线时,则不一定重合.故选项C错误;
对于选项D:两平面的公共点在公共直线上,故选项D正确.故选:A
D.
3.如图所示,用符号语言可表述为(
)
A.α∩β=m,n?α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n?α,A?m,A?n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
【答案】A
【解析】根据点、线、面的位置关系的符号表示可得α∩β=m,n?α,m∩n=A,
故选:A
4.已知为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是(
)
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β
B.M∈,M∈β,N∈,N∈β?
C.A∈,A∈β?
D.A∈,B∈,M∈,A∈β,B∈β,M∈β,且A,B,M不共线?,β重合
【答案】C
【解析】,A∈β,
由基本事实可知为经过A的一条直线而不是A.故的写法错误.故选:C
5.一条直线与两条平行线中的一条异面且垂直,则它与另一条的位置关系不可能的是(
)
A.相交
B.平行
C.异面
D.垂直
【答案】B
【解析】若该直线与两平行线中另一条也平行,则三条直线都平行,不满足该直线与其中一条平行线垂直,
所以该直线与另一条线不可能平行,故选:B
6.若异面直线分别在平面内,且,则直线l(
)
A.与直线都相交
B.至少与中的一条相交
C.至多与中的一条相交
D.与中的一条相交,另一条平行
【答案】B
【解析】因为,所以,
则与a平行或相交,与b平行或相交,
又为异面直线,所以不能与同时平行,即与可都相交,也可能与一条相交,
所以A、C、D错误,
故选:B
7.若a,b是异面直线,直线,则c与b的位置关系是(
)
A.相交
B.异面
C.平行
D.异面或相交
【答案】D
【解析】若a,b是异面直线,直线,则c与b不可能是平行直线.否则,若,则有,得出a,
b是共面直线.与已知a,b是异面直线矛盾,故c与b的位置关系为异面或相交,
故选:D
8.已知直线a和平面α,β,α∩β=l,,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是(
)
A.相交或平行
B.相交或异面
C.平行或异面
D.相交、平行或异面
【答案】D
【解析】当时,根据直线与平面平行的性质定理可得,可得;
当,与斜交时,与异面;
当与相交时,与相交.
故选:D.
9.空间中,直线a与平面的位置关系不可能是(
)
A.平行
B.相交
C.异面
D.直线在平面内
【答案】C
【解析】由于异面是两条直线的位置关系,不是直线与平面的位置关系,所以直线a与平面的位置关系不可能是异面.故选:C.
10.如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线(
)
A.只和这个平面内的一条直线平行
B.只和这个平面内的两相交直线不相交
C.和这个平面内的任何一条直线都平行
D.和这个平面内的任何一条直线都不相交
【答案】D
【解析】若一条直线和一个平面平行,则该直线与平面内的无数条直线平行,故A错误;
该直线与平面内的所有直线平行或者异面,故B、C错误,D正确.
故选:D.