2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步学案8.5空间直线、平面的平行

8.5　空间直线、平面的平行
【知识点一】直线与直线平行
1.平行公理(公理4)
平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：?a∥c.
2.等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
【知识点二】直线与平面平行的判定
【知识点三】平面与平面平行的判定定理
【知识点四】直线与平面平行的性质
【知识点五】
平面与平面平行的性质
【例1-1】下列四个结论中错误命题的个数是________．
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
【变式1】下列三种说法：
①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；
③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.
其中正确的个数是________．
【例1-2】(公理4与等角定理的应用)
如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：
(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
【变式1】如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若AC⊥BD，求证：四边形EFGH是矩形．
【例2-1】如图，正方体中，为中点．求证：平面．
【变式1】如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
【变式2】如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求证：平面；
【例3-1】（平面与平面平行的证明）如如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：
（1）直线EG平面BDD1B1；
（2）平面EFG平面BDD1B1.
【变式1】　如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.
求证：平面EFO∥平面PCD.
【变式2】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
【例4-1】(线面平行的性质)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．
【变式1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【变式2】如图，在五面体EFABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.
【例5-1】(面面平行的性质)（1）如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长．
（2）如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　)
A．2∶25
B．4∶25
C．2∶5
D．4∶5
【变式1】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
课后练习题
1．如图所示，在三棱柱ABC?中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；（2）E∥平面BCHG.
2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3，BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．
（1）求证：EF∥平面BCD；（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．
3.如图，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.
4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD，，E是PD的中点.
（1）求证：BC//AD；
（2）求证：CE//平面PAB.
5.如图，梯形中，，E是的中点，过和点E的平面与交于点F.求证：.
6.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.
7.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
8.5　空间直线、平面的平行
【知识点一】直线与直线平行
1.平行公理(公理4)
平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：?a∥c.
2.等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
【知识点二】直线与平面平行的判定
【知识点三】平面与平面平行的判定定理
【知识点四】直线与平面平行的性质
【知识点五】
平面与平面平行的性质
【例1-1】下列四个结论中错误命题的个数是________．
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
【答案】2
【解析】①④均为错误命题．①可举反例，如a，b，c三线两两垂直．
④如图甲，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；
当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交．
【变式1】下列三种说法：
①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；
③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.
其中正确的个数是________．
【答案】　1
【解析】若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行、异面均有可能，故①不对；若a⊥b，b⊥c，则a，c平行、相交、异面均有可能，故③不对；②正确．
【例1-2】(公理4与等角定理的应用)
如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：
(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
证明　(1)如图
，连结AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，且MN＝AC.
由正方体的性质，得
AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知，MN∥A1C1.
又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.
【变式1】如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若AC⊥BD，求证：四边形EFGH是矩形．
证明　(1)如图所示，连结EF，FG，GH，HE，在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH∥BD，且EH＝BD.同理FG∥BD，且FG＝BD，
∴EH∥FG，且EH＝FG，∴E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)知EH∥FG，且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形．
∵HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC.又EH∥BD，AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH为矩形．
【例2-1】如图，正方体中，为中点．求证：平面．
【解析】证明：连结与交于点，连结.
在中，分别为、的中点.
得.
又因为平面，平面，
所以平面
【变式1】如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
【解析】如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，
∴GN∥DC，GN＝DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM＝DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.
又MN?平面PAD，AG?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
【变式2】如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求证：平面；
【答案】详见解析
【解析】如图所示：
连接与交于点O，连接OD，
因为O，D为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
【例3-1】（平面与平面平行的证明）如如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：
（1）直线EG平面BDD1B1；
（2）平面EFG平面BDD1B1.
【解析】证明：（1）如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，
所以EGSB.
又因为SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，
所以直线EG平面BDD1B1.
（2）连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，
所以FGSD.
又因为SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，
所以FG平面BDD1B1，
由（1）有直线EG平面BDD1B1；
又EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG=G，
所以平面EFG平面BDD1B1.
【变式1】　如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.
求证：平面EFO∥平面PCD.
【解析】证明　因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，
所以点O为BD的中点．
又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.
又OF?平面PCD，CD?平面PCD，
所以OF∥平面PCD，
因为点O，E分别是AC，PA的中点，所以OE∥PC，
又OE?平面PCD，PC?平面PCD，
所以OE∥平面PCD.
又OE?平面EFO，OF?平面EFO，且OE∩OF＝O，
所以平面EFO∥平面PCD.
【变式2】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
【解析】证明　(1)如图，连接SB.
∵点E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD.
∵点F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，
且EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
【例4-1】(线面平行的性质)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．
证明　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形．
【变式1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明　连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP?平面BDM，OM?平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
【变式2】如图，在五面体EFABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.
证明　∵AD∥BC，AD?平面BCEF，BC?平面BCEF，
∴AD∥平面BCEF，
∵AD?平面ADEF，平面ADEF∩平面BCEF＝EF，
∴AD∥EF.
【例5-1】(面面平行的性质)（1）如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长．
证明　设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，
所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，所以＝，
即＝，所以SC＝17.
（2）如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　)
A．2∶25
B．4∶25
C．2∶5
D．4∶5
答案　B
解析　∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝2＝2＝.
【变式1】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
解析：(1)证明　如图，连接AC，CD1.因为ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，
所以PQ∥CD1.
又PQ?平面DCC1D1，CD1?平面DCC1D1，
所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)解　由(1)易知PQ＝D1C＝a.
(3)证明　方法一　取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，
则有FO1∥B1C1且FO1＝B1C1.又BE∥B1C1且BE＝B1C1，
所以BE∥FO1，BE＝FO1.
所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1，
又EF?平面BB1D1D，BO1?平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
方法二　取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，
则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，
且FE1∩EE1＝E1，FE1，EE1?平面EE1F，B1D1，BB1?平面BB1D1D，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF?平面EE1F，
所以EF∥平面BB1D1D.
课后练习题
1．如图所示，在三棱柱ABC?中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）E∥平面BCHG.
【解析】（1）∵G，H分别是，的中点，
∴，而，
∴，即B，C，H，G四点共面.
（2）∵E，G分别是AB，的中点，
∴平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，
∴面，
2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3，BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．
（1）求证：EF∥平面BCD；
（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）8
【解析】
（1）∵点E，F分别是AC，AD的中点，
∴EF∥CD，又∵EF?平面BCD，CD?平面BCD，
∴平面BCD；
（2）∵AB⊥平面BCD，
∴∠ADB为直线AD与平面BCD所成的角，
∵BC⊥BD，,
∴三棱锥A﹣BCD的体积．
3.如图，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.
【解析】
证明　∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.
∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC?平面BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形.
4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD，，E是PD的中点.
（1）求证：BC//AD；
（2）求证：CE//平面PAB.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：在四棱锥中，
平面PAD，平面ABCD，
平面平面，
，
取PA的中点F，连接EF，BF，
是PD的中点，
，，
又由可得，且，
，，
四边形BCEF是平行四边形，
，
平面PAB，平面PAB，
平面PAB.
5.如图，梯形中，，E是的中点，过和点E的平面与交于点F.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴
6.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.
证明　因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，
又FH?平面PEC，PC?平面PEC，
所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，
又AF?平面PCE，CE?平面PCE，
所以AF∥平面PCE.
又FH?平面AFH，AF?平面
7.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
证明　因为BE∥AA1，
AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD?平面AA1D，
BC?平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.