第四章 相交线与平行线强化提升训练（含解析）

初中数学湘教版七年级下册第四章相交线与平行线 强化提升训练
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1. 下列说法正确的是（? ）
A.?同一平面内不相交的两线段必平行??????????????????????????B.?同一平面内不相交的两射线必平行
C.?同一平面内不相交的一条线段与一条直线必平行?????D.?同一平面内不相交的两条直线必平行
2. 观察图形，下列说法正确的个数是（? ）
（1）直线BA和直线AB是同一条直线；
（2）AB+BD＞AD；
（3）射线AC和射线AD是同一条射线；
（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
3. 平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（????? ）.
A.?7???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?4
4. 如图所示，由△ABC平移得到的三角形的个数是（? ????）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?15???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?6
5. 已知n（n≥3，且n为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当n=3时，共有2个交点；当n=4时，共有5个交点；当n=5时，共有9个交点；…依此规律，当共有交点个数为27时，则n的值为（???? ）

A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
6. 如图，长方形ABCD中，AB＝8，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移6个单位，得到长方形A1B1C1D1 ， 第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移6个单位，得到长方形A2B2C2D2 ， ……第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1的方向平移6个单位，得到长方形AnBn?nDn（n＞2），若ABn的长度为2018，则n的值为（?? ）
A.?334??????????????????????????????????????B.?335??????????????????????????????????????C.?336??????????????????????????????????????D.?337
7. 如图，AB∥EF，∠ABP＝ 14 ∠ABC，∠EFP＝ 14 ∠EFC，已知∠FCD＝60°，则∠P的度数为（?? ）
A.?60°??????????????????????????????????????B.?80°??????????????????????????????????????C.?90°??????????????????????????????????????D.?100°
8. 如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（　　）
①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＋∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°；④∠AOC－∠COD＝∠BOC.
A.?①②③????????????????????????????????B.?①②④????????????????????????????????C.?①③④????????????????????????????????D.?②③④
9. 如图 AD//BC, ，若 S1 表示三角形 ABC 的面积， S2 表示三角形 DBC 的面积，则下列结论正确的是（ ?）
A.?S1=S2??????????????????????????????B.?S1>S2??????????????????????????????C.?S110. ①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是(?? )
?? ???? ???
A.?、1个??????????????????????????????????????B.?2个??????????????????????????????????????C.?3个??????????????????????????????????????D.?4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。）
11. 有4条直线a、b、c、d以及3个交点A、B、C，在图中画出的部分可以数出________对同位角．
12. 如图，是一块从一个边长为20cm的正方形BCDM材料中剪出的垫片，经测得FG＝9cm，则这个剪出的图形的周长是________cm．
13. 已知∠A与∠B(∠A，∠B都是大于0°且小于180°的角)的两边一边平行，另一边垂直，且2∠A-∠B=18°，则∠A的度数为________。
14. 一副直角三角尺如图①叠放，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，要求两块三角尺的一组边互相平行.如图②，当∠BAD=15°时，有一组边BC∥DE，请再写出两个符合要求的∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）的度数________.
15. 在间一平面内，有2019条互不重合的直线，l1 ， l2 ， l3 ， …，l2019 ， 若l1⊥l2 ， l2∥l3 ， l3⊥l4 ， l4∥l5 ， 以此类推，则l1和l2019的位置关系是________.
16. ( 6分 ) 如图，已知直线m//n，A，B 为直线m上的两点，C，P 为直线n上的两点．
（1）请写出图中面积相等的各对三角形：________；
（2）如果A，B，C 为三个定点，点P 在直线n上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有________?．
理由是： ________．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。）
17. ( 本小题8分 ) 平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．
（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；
（2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；
（3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？
（4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？
18. ( 本小题5分 ) 如图 ，AB∥CD，且∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，判断∠P 与∠Q的数量关系，并说明理由．

19. (本小题 5分 ) 如图，将直角△ABC（AC为斜边）沿直角边AB方向平移得到直角△DEF，已知BE=6，EF=10，CG=3，求阴影部分的面积.
20. ( 本小题10分 ) 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上.
（1）画出△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的△A1B1C1；
画出△ABC的中线AD，标出点D；
画出△ABC的AC边上的高线BE所在直线，标出垂足E；（要求只能通过连接格点方式作图）.
（2）在（1）的条件下，线段AA1和CC1的关系是________.
（3）画一个△ABP（要求各顶点在格点上，P不与C点重合），________使其面积等于△ABC的面积.并回答，满足这样条件的点P共________个.
21. ( 本小题8分 ) 复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．
（1）如图1，直线 l1 ， l2 被直线 l3 所截，在这个基本图形中，形成了________对同旁内角．
（2）如图2，平面内三条直线 l1 ， l2 ， l3 两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有________对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成________对同旁内角．
（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成________对同旁内角．
22. ( 本小题7分 ) 已知：如图1，AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上一点．
（1）在AB，CD之间有一点M（点M不在线段EF上），连接ME，MF，试探究∠AEM，∠EMF，∠MFC之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明；
（2）如图2，在AB，CD之间有两点M，N，连接ME，MN，NF，请选择一个图形写出∠AEM，∠EMN，∠MNF，∠NFC 存在的数量关系（不需证明）．
23. (本小题 9分 ) 如图 ，已知直线l1 ， l2 ， 点P在直线l3上且不与点A、B重合．记∠AEP=∠1，∠BFP=∠2，∠EPF=∠3．
（1）如图 ，若直线l1//l2 ， 点P在线段AB（A、B两点除外）上运动时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．
（2）如图 ，若（1）中∠1、∠2、∠3之间的关系成立，你能不能反向推出直线l1//l2？若成立请说明理由．
（3）如图 ，若直线l1//l2 ， 若点P在A、B两点外侧运动时（不包括线段AB），请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
24. ( 本小题12分 ) 如图

（1）图中，∠ABC的两边和∠DEF的两边分别互相平行，既AB∥DE，BC∥EF，试说明∠ABC=∠DEF.
（2）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，除了图1中相等情形外，是否存在其他不相等情形，探究此情形下两个角的关系（画出图形，写出结论并说明理由）.
（3）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？（画出图形，直接写出结论）
（4）如果一个角的两边和另一个角的两边，其中一边互相平行，另一边互相垂直，则这两个角是什么关系？（画出图形，直接写出结论）
答案解析部分
一、单选题
1.D
考点：平面中直线位置关系
解：同一平面内不相交的两条直线必平行.可画图解答
分析：考查了直线（两方无限延伸），射线（一方无限延伸），线段是直线上两点间的部分（不向两方延伸）.
2. C
考点：直线、射线、线段，直线的性质：两点确定一条直线，线段的性质：两点之间线段最短，平面中直线位置关系
解：（1）直线BA和直线AB是同一条直线；正确，
（ 2）AB+BD＞AD；正确
（ 3）射线AC和射线AD是同一条射线；正确，
（ 4）三条直线两两相交时，一定有三个交点，还可能有一个，故不正确.
共3个说法正确.
故答案为：C.
分析：根据直线、射线、线段的表示法、三角形三边关系以及两条直线相交只有一个交点，逐项进行判断，找出正确的说法，即可求解.
3. B
考点：对顶角及其性质
解：每两条直线相交构成2对对顶角，三条直线两两相交构成 对对顶角，故选B．
分析：能够运用所学知识加以拓展，从而判断不同情况下对顶角的对数．
4.A
考点：平移、旋转变换，图形的平移
解：△ABC经过平移后得到的三角形有一个顶角向下，图中这样的三角形有5个，即得A．
分析：把握平移是沿直线方向的移动，图形的形状在某方向上不变，这是区分平移和旋转的重要方法．
5. C
考点：平面中直线位置关系
解： ∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n?1.即：
当n=3时，共有2个交点；
当n=4时，共有5个交点；
当n=5时，共有9个交点；
…，
∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n?1)= n2-n-22 个.
解方程 n2-n-22 =27，得n=8或?7(负值舍去).
分析：根据交点个数得出规律即可，n=3时，每增加1条直线，交点的个数就增加（n-1）个，即可得到n条直线的交点个数，当交点个数为27时，求出n的值即可。
6. B
考点：平移的性质
解：∵AB=8，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移6个单位，得到矩形A1B1C1D1 ，
第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移6个单位，得到矩形A2B2C2D2…，
∴AA1=6，A1A2=6，A2B1=A1B1﹣A1A2=8﹣6=2，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=6+6+2=14，
∴AB2的长为：6+6+8=20；
∵AB1=2×6+2=14，AB2=3×6+2=20，
∴ABn=（n+1）×6+2=2018，
解得：n=335．
故答案为：B．
分析：根据平移的性质得出AA1=6，A1A2=6，A2B1=A1B1﹣A1A2=8﹣6=2，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出ABn=（n+1）×6+2求出n即可．
7. A
考点：平行公理及推论，平行线的性质
解：过C作CQ∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CQ，
∴∠ABC＋∠BCQ＝180°，∠EFC＋∠FCQ＝180°，
∴∠ABC＋∠BCF＋∠EFC＝360°，
∵∠FCD＝60°，
∴∠BCF＝120°，
∴∠ABC＋∠EFC＝360°﹣120°＝240°，
∵∠ABP＝ 14 ∠ABC，∠EFP＝ 14 ∠EFC，
∴∠ABP＋∠PFE＝60°，
∴∠P＝60°.
故答案为：A.
分析：过C作CQ∥AB，利用平行线的判定与性质进行解答即可.
8.C
考点：垂线
解：由题意可知，OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°．同时，OB⊥OD，所以∠BOD＝90°，即∠COD＋∠BOC＝90°．依次，可以判定∠AOB＝∠COD，所以①正确．又因为不能推断出∠AOB与∠COD的具体角度，所以②不正确．∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD，所以∠BOC＋∠AOD＝∠BOC＋∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝90°＋90°＝180°．因为∠AOB＝∠COD，所以∠AOC－∠COD＝∠AOC－∠AOB＝∠BOC，所以④正确．为此，选C．
分析：在掌握两直线相互垂直，夹角为直角的基础上，学会角度转换，就能轻松找到正确答案．本题考查垂线．
9. A
考点：平行线之间的距离，三角形的面积
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如下图所示

由题意得：S1=12×BC×AE ， S2=12×BC×DF
∵AD∥BC
∴AE=DF
∴S1=S2
故答案为：A.
分析：本题不难发现两个三角形的底都是BC，要比较两个三角形的面积，就是比较高的大小，把两个三角形的高画出来，再根据平行，即可得到高相等，所以两个三角形的面积相等.
10. C
考点：平行线的判定与性质
解：
①如图1，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①不符合题意；
②如图2，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②符合题意；
③如图3，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③符合题意；
④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，
所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④符合题意；
故答案为：C.
分析：①过点E作EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得出结论；
②如图2，过点E作EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点E作EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质得出∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，据此判断即可；
④过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，根据三角形外角的性质及平行线的性质得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，据此判断即可.
二、填空题
11. 12
考点：同位角
解：直线a、b被直线d所截，有4对同位角；
直线a、c被直线d所截，有4对同位角；
直线b、c被直线d所截，有4对同位角，
所以共有12对同位角，
分析：同位角是由两条直线被第三条直线所截形成的两个角，它们在前两条直线的同旁，在第三条直线的同旁。
12.98
考点：生活中的平移现象
解：把EF平移到MN的位置，把AH平移到MK的位置，把GH平移到AN的位置，
这个垫片的周长：20×4＋9×2＝98（cm）．
答：这个垫片的周长为98cm．
故答案为：98．
分析：首先把EF平移到MN的位置，把AH平移到MK的位置，把GH平移到AN的位置，根据平移的性质可得这个垫片的周长等于正方形的周长加FG ．
13. 36°或96°
考点：平行线的性质
解：1)如图，当C为凸点时，过C作CF∥AD，则CF∥AD，
∴∠B+∠BCF=180°，∠ACF+∠A=180°，
即∠B+∠BCF+∠ACF+∠A=360°，
∵∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠A+∠B=270°，
∵2∠A-∠B=18°?
∴∠A+∠B+2∠A-∠B=270°+18° ，
∴3∠A=288°，
∴∠A= 96°
2）如图，当C为凹点时，过C作CF∥AD，则CF∥AD，
∴∠B=∠BCF，∠ACF=∠A，
∴∠B+∠A=∠BCF+∠ACF=90°，
∵2∠A-∠B=18°?，
∴∠B+∠A+2∠A-∠B=90°+18°，
∵3∠A=108°?，
∴∠A=36°。
故答案为： 36°或96°.?????
分析：本题分两种情况讨论，当C凸点或当C为凹点时，两种情况都是过C作BE的平行线，由平行线的性质定理得到，∠A和∠B之和为270°，或∠A和∠B之和为90°，再结合已知 2∠A-∠B=18°，组成方程组求解即可。
14. 45°，60，105°，135°
考点：平行线的判定
解：（1）当∠BAD=45°时，如图，
∵∠BAD=45°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠D=∠CAF=45°，
∴DE∥AC；
（ 2 ）当∠BAD=60°时，如图分类讨论：
当∠BAD=60°时，
∴∠B=∠BAD=60°，
∴BC∥AD；
（ 3 ）当∠BAD=105°时，如图，
即∠BAD=∠BAE+∠EAD=105°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°，
∴∠BAE=∠B=60°，
∴BC∥AE；
（ 4 ）当∠BAD=135°时，如图，
则∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°.
∴∠EAB=∠E=90°，
∴AB∥DE.综上所述，当∠BAD为： 45°，60，105°，135° 时， 两块三角尺的一组边互相平行 。
故答案为： 45°，60，105°，135°
分析：（1）当∠BAD=45°时，如图，根据学具的性质得出∠BAD=45°，∠BAC=90°，根据平角的定义得出∠CAF=45°，故∠D=∠CAF=45°，根据同位角相等，二直线平行得出DE∥AC；（2）当∠BAD=60°时，如图，根据学具的性质得出∠B=60°，故∠B=∠BAD=60°，根据内错角相等，二直线平行得出BC∥AD；（ 3 ）当∠BAD=105°时，如图，根据学具的性质及角的和差得出∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°，故∠BAE=∠B=60°，根据内错角相等，二直线平行得出BC∥AD；（ 4 ）当∠BAD=135°时，如图，根据学具的性质及角的和差得出∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°，故∠EAB=∠E=90°，根据内错角相等，二直线平行得出AB∥DE.
15. l1⊥l2019
考点：垂线，平行线的判定
解：l1与l2019的位置关系为：l1∥l2008.
理由：∵l1⊥l2 ， l2∥l3 ，
∴l1⊥l3 ，
∵l3⊥l4 ，
∴l1∥l4 ，
∵l4∥l5 ，
∴l1∥l5 ，
∵l5⊥l6 ，
∴l1⊥l6 ，
∵l6∥l7 ，
∴l1⊥l7 ，
∴可得规律为：l1⊥l2 ， l1⊥l3 ， l1∥l4 ， l1∥l5 ，
l1⊥l6 ， l1⊥l7 ， l1∥l8 ， l1∥l9 ，
…，
则 l1∥l4 ， l1∥l5 ， l1∥l8 ， l1∥l9 ， l1∥l12 ， l1∥l13 ， l1∥l16 ， l1∥l17…
l1⊥l2 ， l1⊥l3 ， l1⊥l6 ， l1⊥l7 ， l1⊥l10 ， l1⊥l11 ， l1⊥l14 ， l1⊥l15 ， …
∵2019÷4＝504…3
∴l1⊥l2019.
故答案为l1⊥l2019.
分析：首先根据题意判断l1与l2 ， l3 ， l4 ， l5 ， l6 ， l7的关系，即可得到规律：⊥，⊥，∥，∥，四个一循环，再求2019与4的商，即可求得l1与l2019的位置关系.
16. （1）△ACP 与 △BCP 、 △ABC 与 △ABP 、 △AOC 与 △BOP
（2）题（1）中三对面积相等的三角形；两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等
考点：平行线之间的距离
解：（1）设平行线m与n之间的距离为h
则 △ACP 和 △BCP 的边CP上高均为h， △ABC 和 △ABP 的边AB上高均为h
由同底等高得： △ACP 与 △BCP 的面积相等， △ABC 与 △ABP 的面积相等
又 ∵S△AOC=S△ACP-S△COP ， S△BOP=S△BCP-S△COP
∴S△AOC=S△BOP
即 △AOC 与 △BOP 的面积相等
故答案为： △ACP 与 △BCP 、 △ABC 与 △ABP 、 △AOC 与 △BOP ；（2）总有题（1）中三对面积相等的三角形
理由：两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等．
分析：（1）根据两平行线之间的距离处处相等、三角形的面积公式即可得；（2）根据两平行线之间的距离处处相等即可得．
三、解答题
17. （1）解：如图1所示；交点共有6个，
（2）解：如图2，3．
（3）解：当n=6时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4，
当n=21时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5，
当n=15时，如图6，
（4）解：当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：
①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这是交点最少，
②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多，
③设交点个数为n，则0≤n≤21，
考点：平行公理及推论
分析：从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出．
从画出的图形中归纳规律即可得到答案．
18. 解：作QR∥AB，PL∥AB，∴RQ∥CD∥AB，PL∥AB∥CD
∴∠RQM=∠BMQ，∠RQN=∠QND，∠MPL=∠BMP，∠NPL=∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND?，
∴∠PMB=3∠QMB?，∠PND=3∠QND?，
∵∠MQN=∠∠RQM+∠RQN=∠BMQ+∠QND，
∠MPN=∠MPL+∠NPL=∠BMP+∠PND，
∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q.
考点：角的运算，平行线的判定与性质
分析：作QR∥AB，PL∥AB，可得RQ∥CD∥AB，PL∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠RQM=∠BMQ，从而可得∠MQN=∠∠RQM+∠RQN=∠BMQ+∠QND，同理可得∠MPN=∠MPL+∠NPL=∠BMP+∠PND，结合已知即可求出结论.
19. 解：依题意可得：阴影部分的面积=梯形BEFG的面积
又BE=6，EF=10，CG=3
∴BG=BC-CG=EF-CG=10-3=7
∴梯形BEFG的面积是 12 (BG+EF)·BE
= 12×(7+10)×6
=51
即所求阴影部分的面积是51.
故答案为：51.
考点：平移的性质
分析：根据平移的性质可得△DEF≌△ABC，S△DEF=S△ABC ， 则阴影部分的面积=梯形BEFG的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案.
20. （1）解：如图，△A1B1C1、AD、BE即为所求；
（2）AA1//CC1 且 AA1=CC1
（3）；4
考点：三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，作图﹣平移
解：（ 2）线段AA1和CC1的关系为：平行且相等.
故答案为：平行且相等；
（3）解：如图，这样的点P有4个； 故答案为4.
分析：（1）根据平移的性质即可画出△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的△A1B1C1；根据网格即可画出△ABC的中线AD；根据网格即可画出△ABC的高BE所在直线，标出垂足E；（2）结合（1）的条件，即可得线段AA1和CC1的关系;（3）根据同底等高面积相等作出△ABP，与点C不重合的点P有4个.
21. （1）2
（2）6
（3）24
（4）n(n-1)(n-2)
考点：同旁内角
解：（1）如图
其中同旁内角有 ∠CAB 与 ∠EBA ， ∠DAB 与 ∠ABF ，共2对
（2）如图
其中同旁内角有 ∠BAC 与 ∠BCA ， ∠BAC 与 ∠ABC ， ∠ABC 与 ∠BCA ， ∠DAB 与 ∠ABE ， ∠FBC 与 ∠BCI ， ∠ACJ 与 ∠CAK ，共6对， 6=3×2×1
（3）如图
其中的同位角有 ∠BAC 与 ∠BCA ， ∠BAC 与 ∠ABC ， ∠ABC 与 ∠BCA ， ∠CAF 与 ∠AFE ， ∠CAF 与 ∠ACE ， ∠AFE 与 ∠CEF ， ∠ACE 与 ∠CEF ， ∠CED 与 ∠CDE ， ∠CDE 与 ∠CDE ， ∠DCE 与 ∠CED ， ∠IBC 与 ∠BCD ， ∠BCD 与 ∠CDJ ， ∠KDE 与 ∠DEP ， ∠PEF 与 ∠EFM ， ∠AFN 与 ∠FAG ， ∠BAG 与 ∠ABH ， ∠BFE 与 ∠FBE ， ∠FBE 与 ∠BEF ， ∠DAF 与 ∠ADF ， ∠AFD 与 ∠ADF ， ∠IBE 与 ∠JEB ， ∠MFD 与 ∠FDK ， ∠HBM 与 ∠BFN ， ∠IAD 与 ∠ADJ 共24对， 24=4×3×2
（4）根据以上规律，平面内 n 条直线两两相交，最多可以形成 n(n-1)(n-2) 对同旁内角
分析：根据同旁内角的定义，再结合图片求解即可。
22. （1）解：∠EMF＝∠AEM＋∠MFC
证明：过点M作MP∥AB
∵AB∥CD，
∴MP∥CD
∴∠4＝∠3
∵MP∥AB，?
∴∠1＝∠2
∵∠EMF＝∠2＋∠3，
∴∠EMF＝∠1＋∠4
∴∠EMF＝∠AEM＋∠MFC
∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°
证明：过点M作MQ∥AB
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD.
∴∠CFM＋∠1＝180°
∵MQ∥AB，
∴∠AEM＋∠2＝180°.
∴∠CFM＋∠1+∠AEM＋∠2＝360°
∵∠EMF＝∠1＋∠2
∴∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°

（2）解：第一图数量关系：∠EMN＋∠MNF－∠AEM－∠NFC＝180°
第二图数量关系：∠EMN－∠MNF＋∠AEM＋∠NFC＝180°
考点：平行线的性质
分析：（1）分点M在EF的左侧和右侧两种情况，当点M在EF的左侧时，如图，∠EMF＝∠AEM＋∠MFC，过点M作MP∥AB，可得AB∥CD∥MP， 根据平行线的性质可得∠4＝∠3，? ∠1＝∠2，即可证得∠EMF＝∠AEM＋∠MFC；当点M在EF的右侧时，类比左侧的方法即可证得∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°；（2）类比（1）的方法作平行线，利用平行线的性质即可解决．
23. （1）解：过P作PQ∥l1∥l2 ，
由两直线平行，内错角相等，可得：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠3＝∠QPE＋∠QPF，
∴∠3＝∠1＋∠2．
（2）解：可以反推直线l1//l2.理由具体如下：
过点P作PQ1平行l1 ， 如下图（2）所示：
因为PQ1平行l1 ， 所以∠1＝∠Q1PE；又因为∠3＝∠Q1PE＋∠Q1PF，且∠3＝∠1＋∠2，所以可得∠2＝∠QPF，则根据平行线的判定法则：内错角相等，两直线平行可知PQ1平行l2；又由于PQ1平行l1 ， PQ1平行l2 ， 所以l1//l2.故反推成立.
（3）解：当点P在A点上方时，过点P作PQ2∥l1∥l2 ， 如下图所示：
则：∠1＝∠Q2PE、∠2＝∠Q2PF；
∵∠3＝∠Q2PF?∠Q2PE，
∴∠3＝∠2?∠1．
当点P在B点下方时，过点P作PQ3∥l1∥l2 ， 如下图所示：
根据题意我们设∠1＝∠PEA、∠2＝∠PFB、∠3＝∠EPF；则有图可知：∠1＝∠Q3PE、∠2＝∠Q3PF；
∵∠3＝∠Q3PE ?∠Q3PF，
∴∠3＝∠1?∠2．
考点：角的运算，平行线的判定与性质
分析：（1）过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF，然后结合这些等角和∠3的位置关系，即可∠1、∠2、∠3的数量关系；
（2）过点P作PQ1平行l1 ， 由PQ1平行l1 ， 得到∠1＝∠Q1PE；又由∠3＝∠Q1PE＋∠Q1PF，且∠3＝∠1＋∠2，得到∠2＝∠QPF，再根据平行线的判定法则进行求解即可得到答案.
（3）本题分两种情况讨论：当点P在A点上方时，过点P作PQ2∥l1∥l2 ， 结合题意可得∠1＝∠Q2PE、∠2＝∠Q2PF；又由∠3＝∠Q2PF?∠Q2PE，可得∠3＝∠2?∠1．当点P在B点下方时，过点P作PQ3∥l1∥l2 ， 则有图可知：∠1＝∠Q3PE、∠2＝∠Q3PF；根据∠3＝∠Q3PE ?∠Q3PF，可得∠3＝∠1?∠2．
24. （1）∵ AB∥DE，∴∠E=∠EOB,∵BC∥EF ,∴∠EOB=∠B,∴ ∠ABC=∠DEF;
（2）如图，
∵ AB∥DC，∴∠1=∠DMB,∵BE∥FD ,∴∠BMD+∠2=180°,∴ ∠2+∠1=180°；
（3）此题分两种情况，
如图①? ∵PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠PEO=∠PFO=90°,∴∠P＋∠O=360°-∠PEO-∠PFO=180°;
如图② ∵PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠PEO=∠PFO=90°，∴∠P=∠O；综上所述： 一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补；
（4）如图所示，
①∵AB∥EH,∴∠ABC=∠BDE,∵BC⊥EG,∴∠CFE=90°,∴∠BDE＋∠E=90°,∴∠E＋∠ABC=90°;②∵BC⊥EG,∴∠CFE=90°,∵AB∥EH∴∠MBC=∠HDB,∵∠HDB=∠E＋∠CFE=∠E＋90°,∴∠MBC=∠E＋90°,即∠MBC-∠E=90°，综上所述， 如果一个角的两边和另一个角的两边，其中一边互相平行，另一边互相垂直，则这两个角是 和为90°，或差为90°。
考点：垂线，平行线的性质
分析：（1）根据二直线平行内错角相等得出∠E=∠EOB,∠EOB=∠B，故∠ABC=∠DEF;
（2）根据二直线平行内错角相等得出∠1=∠DMB，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BMD+∠2=180°,故∠2+∠1=180°；
（3）①根据垂直的定义得出∠PEO=∠PFO=90°，根据四边形的内角和得出∠P＋∠O=360°-∠PEO-∠PFO=180°;②根据垂直的定义得出，∠PEO=∠PFO=90°，根据等角的余角相等得出∠P=∠O，综上所述： 一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补；
（4）①根据二直线平行，内错角相等得出∠ABC=∠BDE,根据垂直的定义得出∠CFE=90°,根据直角三角形的两锐角互余得出∠BDE＋∠E=90°，故∠E＋∠ABC=90°;②根据垂直的定义得出∠CFE=90°,根据二直线平行，内错角相等得出∠MBC=∠HDB,根据三角形外角定理得出∠HDB=∠E＋∠CFE=∠E＋90°,故∠MBC=∠E＋90°,即∠MBC-∠E=90°，综上所述， 如果一个角的两边和另一个角的两边，其中一边互相平行，另一边互相垂直，则这两个角是 和为90°，或差为90°。