第八章
立体几何初步
8.6.3平面与平面垂直(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.下列命题正确的是
( )
A.过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直
B.过平面外一点有无数个平面与这个平面平行
C.过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直
D.过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行
2．在边长为1的菱形中，，把菱形沿对角线折起，使折起后，则二面角的余弦值为（
）
A.
B.
C.
D.
3．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，下列命题为假命题的是(
)
A.
过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B.
过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C.
过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D.
过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
4．已知平面和直线，则下列说法正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5.己知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为(
)
A.
若，，，则
B.
若，，则
C.
若，，
，则
D.
若，，，，则
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知平面，，直线l，m，且有，，下列结论正确的有（
）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
7．如图直角梯形中，，，，为中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且则（
）
A．平面平面
B．
C．二面角的大小为
D．与平面所成角的正切值为
8．如图，在三棱柱中，底面，，点是上的动点.下列结论错误的是（
）
B．存在点，使得∥平面
C．不存在点，使得平面平面
D．三棱锥的体积是定值
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面β，则直线l与平面α的位置关系为______________．
10．如图，所在的平面，是的直径，是上的一点，分别是点在上的射影，给出下列结论：
①；②；③；④面．
其中正确命题的序号是
．
11．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，．
平面与平面的位置关系是________；平面和平面所成的二面角的正弦值________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E、F分别是A1C1、BC的中点.
(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:C1F∥平面ABE.
13．如图，在直三棱柱中，，，为中点，与交于点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
14．已知在四凌锥中，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．第八章
立体几何初步
8.6.3平面与平面垂直(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.下列命题正确的是
( )
A.过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直
B.过平面外一点有无数个平面与这个平面平行
C.过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直
D.过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行
【答案】C
【解析】过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,∴A错;过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行,∴B错;∵过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,而过这条直线的平面有无数个,∴由平面与平面垂直的判定定理,知这无数个平面都与已知平面垂直,∴C正确;过平面外一点有无数条直线与这个平面平行,∴D错，故选：C.
2．在边长为1的菱形中，，把菱形沿对角线折起，使折起后，则二面角的余弦值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】取的中点为，连接，如下图所示
在等腰和等腰中，
由二面角的定义可知，为二面角的平面角
为等边三角形，即
则二面角的余弦值为，
故选：B
3．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，下列命题为假命题的是(
)
A.
过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B.
过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C.
过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D.
过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
【答案】B
【解析】由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确．过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确．根据面面垂直的性质定理知，C，D正确．故选：B.
4．已知平面和直线，则下列说法正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】对于选项A，若，则或相交，故A错误；
对于选项B，若，则或相交，故B错误；
对于选项C，若，则，为面面垂直的判定定理，故C正确；
对于选项D，若，则，故D错误；故选：C.
5.己知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为(
)
A.
若，，，则
B.
若，，则
C.
若，，
，则
D.
若，，，，则
【答案】D
【解析】对于选项A，当，，时，m，n有可能平行，故A错误；
对于选项B，当，时，因为直线m，n的位置未知，所以α，β不一定平行，故B错误；
对于选项C，当，，时，m，n有可能异面，故C错误；
对于选项D，满足面面垂直的性质定理，故D正确；
故选：D
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知平面，，直线l，m，且有，，下列结论正确的有（
）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【答案】AB
【解析】对于选项A，因为，，所以，又，所以，故A正确；
对于选项B，因为，，所以，又，所以，故B正确；
对于选项C，因为，，所以与可能平行或异面，故C错误；
对于选项D，因为，，所以或，所以不一定成立，故D错误；
故选：AB.
7．如图直角梯形中，，，，为中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且则（
）
A．平面平面
B．
C．二面角的大小为
D．与平面所成角的正切值为
【答案】ABD
【解析】如图，连接，则，又，，
所以中有，所以.
对于选项A，由题意可得，又，，平面
所以平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，故A正确；
对于选项B，由A得平面，又，由三垂线定理可得（平面内一条线和射影垂直，就和斜线垂直），故B正确；
对于选项C，由A得平面，根据二面角定义可得就是二面角的平面角，易得，故C不正确；
对于选项D，由A得平面，所以就是斜线与平面所成的角，易得，，故D正确，
故选：ABD
8．如图，在三棱柱中，底面，，点是上的动点.下列结论错误的是（
）
B．存在点，使得∥平面
C．不存在点，使得平面平面
D．三棱锥的体积是定值
【答案】C
【解析】如下图
由底面，知，又，所以平面
故，故A正确；
连接与交于，取中点D，连接，则，平面
所以∥平面，故B正确；
当时，因为，底面，所以，
，所以平面，故平面平面，故C不正确；
，因为四边形面积一定，
点D到平面的距离一定，所以三棱锥的体积是定值，故D正确.
故选:C
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面β，则直线l与平面α的位置关系为__________________．
【答案】平行或直线l在平面α内
【解析】平面α⊥平面β，直线l⊥平面β，直线l与平面α
平行或直线l在平面α内
故答案为:
平行或直线l在平面α内
10．如图，所在的平面，是的直径，是上的一点，分别是点在上的射影，给出下列结论：
①；②；③；④面．
其中正确命题的序号是
．
【答案】①②③
【解析】，，那么平面，
则，
又，则平面，可得，那么①③正确；同理②也正确，
易知④错误．故答案为:
①②③
11．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，．
平面与平面的位置关系是________；平面和平面所成的二面角的正弦值________．
【答案】垂直
【解析】连结．
因为四边形是菱形，，
∴是等边三角形，
∵是的中点，∴，∴．
∵平面，平面，∴，
又平面，平面，，
∴平面，
又平面，∴平面平面．
延长、相交于点，连结，过点作于，
由（1）知平面平面，所以平面．平面，则，
在中，因为，所以．
在等腰中，取的中点，连接，
则，连结．，平面，平面，
所以平面，所以，
所以是平面和平面所成的二面角的平面角（锐角）．
在等腰中，，
在中，，
所以，在中，，
故平面和平面所成的二面角的正弦值为．
故答案为:
垂直
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E、F分别是A1C1、BC的中点.
(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:C1F∥平面ABE.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明 (1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵BB1⊥底面ABC,∴BB1⊥AB,又AB⊥BC,BB1∩BC=B,∴AB⊥平面B1BCC1,又AB?平面ABE,∴平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)取AB的中点G,连接EG,FG.
∵E、F、G分别是A1C1、BC、AB的中点,
∴FG∥AC,且FG=AC,EC1=A1C1.
∵AC∥A1C1,且AC=A1C1,
∴FG∥EC1,且FG=EC1,
∴四边形FGEC1是平行四边形,
∴C1F∥EG,又EG?平面ABE,C1F?平面ABE,∴C1F∥平面ABE.
13．如图，在直三棱柱中，，，为中点，与交于点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）如下图所示，连接，
在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，
为的中点，则为的中点，同理可知，点为的中点，，
平面，平面，因此，平面；
（2）在直三棱柱中，平面，且，
所以四边形为平行四边形，
，所以，平行四边形为菱形，则，
平面，平面，，
，，平面，
平面，，
，平面，
平面，因此，平面平面.
14．已知在四凌锥中，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为，，，所以平面．
又，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）解法一：由（1）知平面，又平面，所以．
在中，，，所以．
在中，
由余弦定理得，所以．
过点作，交于点，则，
且，
因为面，平面，所以，
又，所以平面．
如图，过点作交的延长线于点，连接，
则平面，所以为直线与平面所成的角．
因为，，，所以．
在中，，所以，
故直线与平面所成角的正弦值为
