第八章
立体几何初步
8.6.3平面与平面垂直(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有
( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.5对
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴DA⊥AB.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥DA.又AB∩PA=A,∴DA⊥平面PAB.同理,BC⊥平面PAB.又易证AB⊥平面PAD,DC⊥平面PAD,∴平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.
故选:D
2．在三棱锥中，若，，那么必有（
）
A．平面平面
B．平面平面
C．平面平面
D．平面平面
【答案】A
【解析】，，且，平面.
对于选项A，平面，所以，平面平面，故A正确；
对于选项B，若平面平面，过点在平面内作，如下图所示：
由于平面平面，平面平面，，平面，平面，
又平面，过点作平面的直线有且只有一条，假设不成立，故B错误；
对于选项C，若平面平面，平面平面，，平面，平面，
平面，则，而与是否垂直未知，故C错误；
对于选项D，过点在平面内作，垂足为点，
若平面平面，平面平面，，平面，
所以，平面，
平面，，
，，平面，
平面，，但与是否垂直未知，故D错误.
故选：A.
3．设为直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】对于选项A，若，则与相交或平行，故A错误；
对于选项B，若，则，故B
错误；
对于选项C，若，则，故C正确；
对于选项D，若，则与的位置关系为平行、相交或在面内，故D错误.
故选：C.
4．在等腰直角中，，M为的中点，沿把折成二面角，折后A与C的距离为，则二面角C—BM—A的大小为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为为等腰直角三角形，且，M为的中点，
所以折之前，,
折之后，，
所以是二面角的平面角，
在中，由余弦定理得,
因,所以,故选：A.
5.设?为两条直线，?为两个平面，则下列命题中假命题是（
）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【解析】对于选项A，若，，，相当于两平面的法向量垂直，两个平面垂直，故A正确；
对于选项B，若，，则，又，则平面内存在直线，所以，所以，故B正确；
对于选项C，若，，，则可能相交，可能平行，故C错误；
对于选项D，若，，，则的法向量平行，所以，故D正确．
故选：C．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则下列命题中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【解析】，则，A正确；
，，则或，又，则，B正确；
，，则或，C错误；
，则内存在直线，且，又，则，由此得，D正确．
故答案为：ABD．
7．如图垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆上异于，的任一点，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．平面
C．平面平面
D．平面平面
【答案】AD
【解析】是圆直径，在圆上，则，
平面，平面，则，
，∴平面，又平面，
∴，A正确；
又平面，∴平面平面．D正确；
若平面，则，而平面，则，重合，矛盾，B错；
若平面平面，作于，∵平面平面，∴平面，而平面，∴，，∴平面，于是平面与平面重合．矛盾，C错．
故选：AD．
8．如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（
）
A．与平面BCD所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角的大小为时，
D．存在某个位置，使得到平面的距离为
【答案】BC
【解析】对于A中，取的中点，连接，
则，
由题意可知和均为正三角形，
由对称性可知，在翻折的过程中，与平面所成的角为，
当时，为等边三角形，此时，所以A错误；
对于B中，当点在平面内的投影为的重心点时，
有平面，，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，所以B正确；
对于C中，当二面角的大小为时，平面平面，
因为，所以，
因为平面平面，所以平面，所以,
又，所以为直角三角形，
所以，所以C正确；
对于D中，因为点到的距离为，点到的距离为，
所以若点到平面的距离为，则平面平面，平面平面，
则有平面，可得，所以是等边三角形，所以D不正确.
故选：BC.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F、G分别是线段AE、BC的中点,则CD与GF所成角的余弦值为___________
【答案】
【解析】连接AG,如图所示.
∵四边形ACDE为正方形,
∴AE⊥AC,AE∥CD.
∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,AE?平面ACDE,
∴AE⊥平面ABC,∵AG?平面ABC,
∴AE⊥AG.
∵AC=BC=2,∠ACB=90°,F、G分别是线段AE、BC的中点,
∴AG==,AF=1,
∴FG==.
∴cos∠AFG==.
∵AE∥CD,∴CD与GF所成角的余弦值为.
故答案为:.
10．如图，已知棱长为2的正方体中，点在线段上运动，给出下列结论：
①异面直线与所成的角范围为；
②平面平面；
③点到平面的距离为定值；
④存在一点，使得直线与平面所成的角为.
其中正确的结论是___________.
【答案】②③
【解析】对于①，当在点时，，
异面直线与所成的角最大为，
当在点时，异面直线与所成的角最小为，
所以异面直线与所成的角的范围为，故①错误；
对于②，如图，因为平面,所以,同理,又因为平面,所以平面，所以平面平面，故②正确；
对于③，因为平面,平面,所以平面，所以点到平面的距离为定值，且等于的，即，故③正确；
对于④，直线与平面所成的角为，，
当时，最小，最大，最大值为，故④不正确，
故答案为：②③.
11．如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，,则平面ACD与平面的位置关系为__________；设长为点为的中点，则点到平面的距离为______________.
【答案】垂直
.
【解析】取的中点连接.
是等边三角形，
与中，
是直角三角形，是斜边，
,
又
平面.
又平面
平面平面.
设是的中点，是等边三角形，边长为，
，
，
点到平面的距离,
故答案为:
垂直
.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．
已知四棱锥的底面是菱形.若，平面平面，，判断是否为等腰三角形？并说明理由.
【答案】不可能等腰三角形，理由见解析.
【解析】不可能为等腰三角形，理由如下：
作交于点，连接
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面.
所以
因为，，平面
所以平面
因为平面，所以.
所以，且.
所以.所以.
在菱形中，若，所以等边三角形.
所以为的中点，所以，
∴
即.
所以不可能为等腰三角形.
13．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为的中点，为线段上的点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：平面，．
又底面为正方形，．
平面平面，
平面．
平面，．
为中点．
平面平面，
平面．又平面，
平面平面．
（2）解：，
．又，
．
，
∴四棱锥的高，
∴点到平面的距离为．
14．如图甲，在平面四边形中，已知，，，，现将四边形沿折起，使平面平面（如图乙），设点、分别为棱、的中点.
（1）求证：平面；
（2）设，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】（1）由题意，图甲中，因为且，
所以，，即，
在图乙中，因为平面平面，且平面平面，
所以底面，
又由底面，所以，
又，所以，且，
所以平面.
（2）因为、分别为、的中点，所以，
又由（1）知，平面，
可得平面，所以，
在图甲中，因为，所以，，
由，得，，，
所以，可得，
所以.第八章
立体几何初步
8.6.3平面与平面垂直(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有
( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.5对
2．在三棱锥中，若，，那么必有（
）
A．平面平面
B．平面平面
C．平面平面
D．平面平面
3．设为直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．在等腰直角中，，M为的中点，沿把折成二面角，折后A与C的距离为，则二面角C—BM—A的大小为（
）
A.
B.
C.
D.
5.设?为两条直线，?为两个平面，则下列命题中假命题是（
）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则下列命题中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．如图垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆上异于，的任一点，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．平面
C．平面平面
D．平面平面
8．如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（
）
A．与平面BCD所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角的大小为时，
D．存在某个位置，使得到平面的距离为
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F、G分别是线段AE、BC的中点,则CD与GF所成角的余弦值为___________
10．如图，已知棱长为2的正方体中，点在线段上运动，给出下列结论：
①异面直线与所成的角范围为；
②平面平面；
③点到平面的距离为定值；
④存在一点，使得直线与平面所成的角为.
其中正确的结论是___________.
11．如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，,则平面ACD与平面的位置关系为__________；设长为点为的中点，则点到平面的距离为______________.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．
已知四棱锥的底面是菱形.若，平面平面，，判断是否为等腰三角形？并说明理由.
13．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为的中点，为线段上的点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
14．如图甲，在平面四边形中，已知，，，，现将四边形沿折起，使平面平面（如图乙），设点、分别为棱、的中点.
（1）求证：平面；
（2）设，求三棱锥的体积.
