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第3章因式分解复习
湘教版
七年级下
教学目标
1.掌握因式分解的概念，知道与整式乘法的联系和区别
2.掌握提公因式法的要点及因式分解的步骤
3.能识别可用平方差公式、完全平方公式因式分解的
多项式，能套用公式正确地进行因式分解
4.熟悉一些需要变形或两步以上的因式分解
5.能运用因式分解解决一些求代数式的值的问题
要点回顾
1.
什么是因式分解？
因式分解就是把一个多项式分解成几个多项式的积
2.
什么叫做提公因式法？
把多项式各项的公因式提到括号外面，其它因式连同各项的符号放到括号里面，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
提公因式法的步骤是：一提，二放。
要点回顾
3.
如何运用平方差公式因式分解？
运用公式a?-b?=(a+b)(a-b)，先把多项式写成两数的平方的差，再写成这两数的和×差.
4.
如何运用完全平方公式因式分解？
运用公式a?+2ab+b?=(a+b)?，a?-2ab+b?=(a-b)?，先把多项式写成两数的平方的和，加或减这两数的积的2倍，再写成这两数和的平方或差的平方.
注：这里的数也可以是字母或式子.
要点回顾
5.
因式分解还有哪些需要注意的地方？
确定公因式：取各项系数的公约数、相同字母或式子的最低次幂的积，作为要提取的公因式.
有公因式先提公因式，无公因式考虑公式法，每个因式都要分解彻底.
考点突破
?考点一
因式分解的概念
例1
下列变形不是因式分解的是
（
）
A.
a?-3ab+a=a(a-3b+1)
B.
x?+10x+25=(x+5)?
C.
-6(x-1)?=-6x?+12x-6
D.
a?-2a-8=(a+2)(a-4)
C
解析：因式分解是把一个多项式表示成几个多项式的积。C是整式乘法，不是因式分解。
考点突破
例2
把下列多项式因式分解，正确的是
（
）
A.
2a?-7ab=2a(a-7b)
B.
b?-4b+16=(b-4)?
C.
m?-3mn+n?=m(m-3n)+n?
D.
x?-9y?=(x+3y)(x-3y)
D
解析：A提取的公因式错误.
B不是完全平方式，不能用完全平方公式分解.
C没有把整个多项式因式分解.
D因式分解x?-9y?=x?-(3y)?=(x+3y)(x-3y)，正确。
考点突破
1.因式分解是把一个多项式变形成几个多项式的积。要根据概念判断是否为因式分解，把因式分解与整式乘法区别开来。
2.因式分解是否正确，可以从①提的公因式是否正确；②提公因式后放到括号里面的多项式是否正确；③是否符合乘法公式的结构特征等方面进行判断。还可以计算多项式的乘法检验因式分解的正确性。
考点突破
?考点二
提公因式法
例3
9a?b?-12ab?+6ab是的公因式是
，提出公因式后另一个因式是
。
解析
多项式中系数9、12、6的公约数是3，字母a、b的次数都是1，故公因式为3ab。提出公因式后，各项剩下的因式分别是3ab?、-4b、2，故放到括号内的因式为3ab?-4b+2.
3ab
3ab?-4b+2
考点突破
例4
因式分解-4a(x-y)?+16a(x-y)=
。
解析：
多项式第一项系数为负数时，负号要连同公因式提到括号外面，放到括号里面的每一项都要改变符号。
-4a(x-y)(x-y-4)
考点突破
例5
因式分解2a(m-n)-6bm+6bn。
解：2a(m-n)-6bm+6bn
=2a(m-n)-6b(m-n)
=2(m-n)·a-2(m-n)·3b
=2(m-n)(a-3b).
先把-6bm+6bn
因式分解
再用提公因式法因式分解
考点突破
1.提公因式法，先要确定公因式。取各项系数的公约数、各项都有的字母或式子的最低次幂的积作要提取的公因式。
2.提公因式法，就是把公因式提到括号外面，把各项的其它因式连同符号放到括号里面。
3.多项式第一项前面有“－”，则把公因式连同“－”提到括号外面，放到括号里面的各项都要变号。
考点突破
?考点三
公式法
例6
把多项式49m?-81n?因式分解。
解
49m?-81n?
=(7m)?-(9n)?
=(7m+9n)(7m-9n).
写成两数的平方的差.
写成这两数的和乘差.
考点突破
?考点三
公式法
例7
把多项式x?-18x+81因式分解
解
x?-18x+81
=x?-2·x·9+9?
=(x-9)?
写成两数的平方和，减积的2倍.
用完全平方公式分解.
要点回顾
例8
因式分解：
(x+y)?-4(x+y-1)
解：(x+y)?-4(x+y-1)
=(x+y)?-4(x+y)+4
=(x+y)?-2·(x+y)·2+2?
=(x+y-2)?.
把-4(x+y-1)拆成两项后可用公式法。
考点突破
1.公式法是把乘法公式倒过来使用，进行因式分解。
2.用平方差公式因式分解，先要把多项式写成两个数或式子的平方的差，再把多项式写成这两数或式的和乘差。
3.用完全平方公式因式分解，先要把多项式写成两数的平方和，加它们的积的2倍，再把多项式写成这两数的和或差的平方。
要点回顾
例9
因式分解：
(x?-x)+(x-1)
解：
(x?-x)+(x-1)
=x(x?-1)+(x-1)
=x(x+1)(x-1)+(x-1)
=(x-1)[x(x+1)+1]
=(x-1)(x?+x+1).
?考点四
两步或两步以上的因式分解
先把多项式的某一部分因式分解，再把整个多项式因式分解。
要点回顾
例10
因式分解：
y?-(x?-10x+25).
解：
y?-(x?-10x+25)
=y?-(x-5)?
=(y+x-5)(y-x+5).
先用完全平方公式，再用平方差公式。
考点突破
认真观察多项式，先看多项式的各项或某几项是否有公因式，再看整个多项式或多项式的某部分，是否具有两数平方差，或完全平方式的特征。分解一步，考虑下一步，一直分解每个因式不能再分解为止。
简单地说，就是：提一提，套一套，做彻底。
考点突破
例11
已知a-b=9，ab=-20，求a?b-ab?的值。
解：a?b-ab?=ab(a-b)=9×(-20)=-180.
?考点五
因式分解的应用—求值问题
点拨：通过因式分解解决一些整体代入求值问题。
考点突破
例12
已知2x-1=3，求代数式(x-3)?-2(x-3)+1的值.
解：(x-3)?-2(x-3)+1
=(x-3)?-2·(x-3)·1+1?
=(x-3-1)?
=(x-4)?
由2x-1=3，得x=2，所以，原式=(2-4)?=4.
点拨：有时将多项式因式分解化简，求值比较简单。
考点突破
例13
已知a?+b?-2a+8b+17=0，求a-b的值.
解：a?+b?-2a+8b+17
=a?-2a+1+b?+8b+16-1-16+17
=(a-1)?+(b+4)?.
∵
(a-1)?+(b+4)?=0，
∴
a-1=0，且b+4=0，即a=1，b=-4.
点拨：将多项式的某部分因式分解，利用非负数的性质解决求值问题。
∴
a-b=1-(-4)=5.
考点突破
对一些多项式通过因式分解，可以找到多项式与已知条件的关系，或者把多项式转化成一个简单式子的平方，或者变形后能发现一个规律或性质，从而把一个复杂的求值问题，转化为较为简单的问题。
考点突破
例14
计算：199.8?-200.2?
解：
199.8?-200.2?
?考点六
因式分解的应用—简便运算问题
点拨：把一个数拆成整数或整十、整百数与另一个数的和差，再运用平方差公式因式分解。
=(200-0.2)?-(200+0.2)?
=[(200-0.2)+(200+0.2)]×[(200-0.2)-(200+0.2)]
=400×(-0.4)
=-160.
考点突破
例15
计算：37?+37×26+13?
解：
37?+37×26+13?
点拨：运用完全平方公式因式分解，把算式转化为求整数或整十、整百数的平方。
=37?+2×37×13+13?
=(37+13)?
=50?
=2500.
考点突破
对一些数字为小数或分数、按常规运算顺序计算比较困难的运算，如果仔细观察，运用乘法公式进行恰当的因式分解，有时会找到简便的方法。
知识拓展
利用公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，先找出两个数a，b，使ab=常数项，a+b=一次项的系数，再把二次三项式写成(x+a)(x+b)的形式，即可完成因式分解。
例如：x?-7x+6。通过观察，两个负数-1，-6相乘得常数项6，而相加得-7，则x?-7x+6=(x-1)(x-6).
?考点七
用“找数法”分解二次三项式
用“找数法”直接因式分解a?+3a-18=
.
(a-3)(a+6)
作业布置
1.
因式分解：
（1）3x?+xy+4x
（2）2a(a-5)-6b(5-a)
（3）4m?-16n?
（4）9x?y-6y+y
点拨：(2)题中-6b(5-a)=+6b(a-5)，(3)、(4)题要先提公因式，再继续下一步的分解。
作业布置
2.
因式分解：
（1）ax+bx-ay
-by
（2）(x-2)-(x?-4x
)
（2）-m?(a+b)+4mn(a+b)-4n?(a+b)
点拨：
(1)题先把多项式分成两部分进行因式分解。(2)题先把(x?-4x
)分解。(3)题先把-(a+b)提到括号外面。每道题都要注意分解到每个因式不能再分解为止。
作业布置
3.
已知m-n=8，求
的值
。
点拨：
作业布置
4.
已知|a-2b|+b?+2b+1=0，求a、b的值
。
点拨：先因式分解b?+2b+1=(b+1)?，再利用非负数的性质—几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0，进行解答。
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第3章因式分解小结与复习教案
主备人：
审核人：
本章课时序号：6
课
题
因式分解小结与复习
课型
新授课
教学目标
1、
掌握因式分解的概念，知道与整式乘法的联系和区别2、
掌握提公因式法的要点及因式分解的步骤3、
能识别可用平方差公式、完全平方公式因式分解的多项式，能套用公式正确地进行因式分解4、
熟悉一些需要变形或两步以上的因式分解5、
能运用因式分解解决一些求代数式的值的问题
教学重点
1、
因式分解的方法2、
梳理知识要点，熟悉考试题型，提高解题能力
教学难点
1、
需要将多项式变形的因式分解，两步以上的因式分解2、
利用因式分解解决求值、简便计算等问题
教
学
活
动
一、要点复习1、
提问：什么是因式分解？学生回答，教师用ppt展示：因式分解就是把一个多项式分解成几个多项式的积2、
提问：什么叫做提公因式法？（1）学生回答，教师用ppt展示：把多项式各项的公因式提到括号外面，其它因式连同各项的符号放到括号里面，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
（2）教师用ppt展示：提公因式法的步骤是：一提，二放。3、
提问：如何运用平方差公式因式分解？学生回答，教师用ppt展示：运用公式a?-b?=(a+b)(a-b)，先把多项式写成两数的平方的差，再写成这两数的和×差.4、
提问：如何运用完全平方公式因式分解？学生回答，教师用ppt展示：运用公式a?+2ab+b?=(a+b)?，a?-2ab+b?=(a-b)?，先把多项式写成两数的平方的和，加或减这两数的积的2倍，再写成这两数和的平方或差的平方.5、
因式分解还有哪些需要注意的地方？（1）学生交流后回答，教师用ppt展示：确定公因式：取各项系数的公约数、相同字母或式子的最低次幂的积，作为要提取的公因式.。（2）有公因式先提公因式，无公因式考虑公式法，每个因式都要分解彻底。（设计说明：用提问方式，引导学生回顾、梳理知识要点，把学生置于主体地位。通过师生互动，学生不但梳理了知识要点，而且有了对所学知识的再认知。）二、考点突破?考点一
因式分解的概念例1
下列变形不是因式分解的是（
）
A.
a?-3ab+a=a(a-3b+1)
B.
x?+10x+25=(x+5)?
C.
-6(x-1)?=-6x?+12x-6
D.
a?-2a-8=(a+2)(a-4)【答案】C【解析】因式分解是把一个多项式表示成几个多项式的积。C是整式乘法，不是因式分解。例2
把下列多项式因式分解，正确的是（
）
A.
2a?-7ab=2a(a-7b)
B.
b?-4b+16=(b-4)?
C.
m?-3mn+n?=m(m-3n)+n?
D.
x?-9y?=(x+3y)(x-3y)【答案】D【解析】A提取的公因式错误.
B不是完全平方式，不能用完全平方公式分解.
C没有把整个多项式因式分解.
D因式分解x?-9y?=x?-(3y)?=(x+3y)(x-3y)，正确。【方法小结】1、
因式分解是把一个多项式变形成几个多项式的积。要根据概念判断是否为因式分解把因式分解与整式乘法区别开来。2、
因式分解是否正确，可以从①提的公因式是否正确；②提公因式后放到括号里面的多项式是否正确；③是否符合乘法公式的结构特征等方面进行判断。还可以计算多项式的乘法检验因式分解的正确性。?考点二
提公因式法例3
9a?b?-12ab?+6ab是的公因式是
，提出公因式后另一个因式是
。【答案】3ab，3ab?-4b+2【解析】多项式中系数9、12、6的公约数是3，字母a、b的次数都是1，故公因式为3ab。提出公因式后，各项剩下的因式分别是3ab?、-4b、2，故放到括号内的因式为3ab?-4b+2.例4
因式分解-4a(x-y)?+16a(x-y)=
。【答案】-4a(x-y)(x-y-4)【解析】多项式第一项系数为负数时，负号要连同公因式提到括号外面，放到括号里面的每一项都要改变符号。例5
因式分解2a(m-n)-6bm+6bn。解：
2a(m-n)-6bm+6bn=2a(m-n)-6b(m-n)
（先把-6bm+6bn因式分解）=2(m-n)·a-2(m-n)·3b=2(m-n)(a-3b).
（再用提公因式法因式分解）【方法小结】1、
提公因式法，先要确定公因式。取各项系数的公约数、各项都有的字母或式子的最低次幂的积作要提取的公因式。2、
提公因式法，就是把公因式提到括号外面，把各项的其它因式连同符号放到括号里面。
3、
多项式第一项前面有“－”，则把公因式连同“－”提到括号外面，放到括号里面的各项都要变号。?考点三
公式法例6
把多项式49m?-81n?因式分解。解
49m?-81n?
=(7m)?-(9n)?
（第一步：写成两数的平方的差）
=(7m+9n)(7m-9n).
（第二步：写成这两数的和乘差.）例7
把多项式x?-18x+81因式分解解
x?-18x+81
=x?-2·x·9+9?
（第一步：写成两数的平方和，减积的2倍.）
=(x-9)?
（第二步：写成这两数的和或差的平方.）例8
因式分解：
(x+y)?-4(x+y-1)
解：
(x+y)?-4(x+y-1)
=(x+y)?-4(x+y)+4
（把-4(x+y-1)拆成两项后可用公式法）
=(x+y)?-2·(x+y)·2+2?=(x+y-2)?.【方法小结】1、
公式法是把乘法公式倒过来使用，进行因式分解。2、
用平方差公式因式分解，先要把多项式写成两个数或式子的平方的差，再把多项式写成这两数或式的和乘差。
3、
用完全平方公式因式分解，先要把多项式写成两数的平方和，加它们的积的2倍，再把多项式写成这两数的和或差的平方。
?考点四
两步或两步以上的因式分解例9
因式分解：
(x?-x)+(x-1)解：
(x?-x)+(x-1)=x(x?-1)+(x-1)=x(x+1)(x-1)+(x-1)=(x-1)[x(x+1)+1]=(x-1)(x?+x+1).（先把多项式的某一部分因式分解，再把整个多项式因式分解。）例10
因式分解：
y?-(x?-10x+25).解：
y?-(x?-10x+25)=y?-(x-5)?=(y+x-5)(y-x+5).（先用完全平方公式，再用平方差公式。）【方法小结】认真观察多项式，先看多项式的各项或某几项是否有公因式，再看整个多项式或多项式的某部分，是否具有两数平方差，或完全平方式的特征。分解一步，考虑下一步，一直分解每个因式不能再分解为止。简单地说，就是：提一提，套一套，做彻底。?考点五
因式分解的应用—求值问题例11
已知a-b=9，ab=-20，求a?b-ab?的值。解：a?b-ab?=ab(a-b)=9×(-20)=-180.【点拨】通过因式分解解决一些整体代入求值问题。例12
已知2x-1=3，求代数式(x-3)?-2(x-3)+1的值.解：
(x-3)?-2(x-3)+1=(x-3)?-2·(x-3)·1+1?=(x-3-1)?=(x-4)?由2x-1=3，得x=2，所以，原式=(2-4)?=4.【点拨】有时将多项式因式分解化简，求值比较简单。例13
已知a?+b?-2a+8b+17=0，求a-b的值.
解：
a?+b?-2a+8b+17=a?-2a+1+b?+8b+16-1-16+17=(a-1)?+(b+4)?.
∵
(a-1)?+(b+4)?=0，∴
a-1=0，且b+4=0，即a=1，b=-4.∴
a-b=1-(-4)=5.【点拨】将多项式的某部分因式分解，利用非负数的性质解决求值问题。【方法小结】对一些多项式通过因式分解，可以找到多项式与已知条件的关系，或者把多项式转化成一个简单式子的平方，或者变形后能发现一个规律或性质，从而把一个复杂的求值问题，转化为较为简单的问题。?考点六
因式分解的应用—简便运算问题例14
计算：199.8?-200.2?
解：
199.8?-200.2?
=(200-0.2)?-(200+0.2)?=[(200-0.2)+(200+0.2)]×[(200-0.2)-(200+0.2)]=400×(-0.4)=-160.【点拨】运用完全平方公式因式分解，把算式转化为求整数或整十、整百数的平方。例15
计算：37?+37×26+13?解：
37?+37×26+13?=37?+2×37×13+13?=(37+13)?=50?=2500.【点拨】运用完全平方公式因式分解，把算式转化为求整数或整十、整百数的平方。【方法小结】对一些数字为小数或分数、按常规运算顺序计算比较困难的运算，如果仔细观察，运用乘法公式进行恰当的因式分解，有时会找到简便的方法。
三、知识拓展?考点七
用“找数法”分解二次三项式利用公式：x?+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，先找出两个数a，b，使ab=常数项，a+b=一次项的系数，再把二次三项式写成(x+a)(x+b)的形式，即可完成因式分解。例如：x?-7x+6。通过观察，两个负数-1，-6相乘得常数项6，而相加得-7，则x?-7x+6=(x-1)(x-6).用“找数法”直接因式分解a?+3a-18=
.【答案】(a-3)(a+6)四、作业布置1.
因式分解：
（1）3x?+xy+4x
（2）2a(a-5)-6b(5-a)
（3）4m?-16n?
（4）9x?y-6y+y【点拨】(2)题中-6b(5-a)=+6b(a-5)，(3)、(4)题要先提公因式，再继续下一步的分解。2.
因式分解：
（1）ax+bx-ay
-by
（2）(x-2)-(x?-4x
)
（2）-m?(a+b)+4mn(a+b)-4n?(a+b)【点拨】(1)题先把多项式分成两部分进行因式分解。(2)题先把(x?-4x
)分解。(3)题先把-(a+b)提到括号外面。每道题都要注意分解到每个因式不能再分解为止。3.
已知m-n=8，求的值。【解析】
4.
已知|a-2b|+b?+2b+1=0，求a、b的值。【点拨】先因式分解b?+2b+1=(b+1)?，再利用非负数的性质—几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0，进行解答。
板书设计
第3章因式分解小结与复习1、
因式分解的概念
2、
因式分解的方法：提公因式法、公式法3、
因式分解的求值问题、简便计算问题。
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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