曲线运动
一、考点热点
考点一：曲线运动
1．合力方向与轨迹的关系
曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧．
2．合力方向与速率变化的关系
（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力改变速度的大小，沿径向的分力改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）
考点二：运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
等时性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
3．合运动性质的判断
4．两个直线运动的合运动性质的判断
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
考点三：小船渡河
小船渡河的两类问题、三种情景
渡河时间最短
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos
θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
渡河位移最短
如果v船考点四：关联体模型
(1)模型特点：绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．
(2)模型分析
①合运动→绳拉物体的实际运动速度v
②分运动→
(3)解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见实例如下：
情景图示
(注：A沿斜面下滑)
分解图示
定量结论
vB＝vAcos
θ
vAcos
θ＝v0
vAcos
α＝vBcos
β
vBsin
α＝vAcos
α
基本思路
确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
(4)解题思路
典型例题
【典例1.1】(多选)关于物体做曲线运动的条件，下列说法中正确的是( )
A．物体受变力作用才可能做曲线运动
B．物体受恒力作用也可能做曲线运动
C．物体所受合力为零时不可能做曲线运动
D．物体只要受到合外力作用就一定做曲线运动
解析： 物体做曲线运动的条件是合外力不为零且与速度不共线，与合外力是变力还是恒力无关，选项A错误，B正确；若物体所受合外力为零，则物体静止或做匀速直线运动，选项C正确；物体做匀变速直线运动时，也是受到合外力作用，选项D错误。
答案： BC
【典例1.2】如图所示，“嫦娥一号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小。在此过程中探月卫星所受合力的方向可能的是（
）
【解析】C卫星运动的速度方向沿其轨迹的切线方向，由于速度逐渐减小，则合力方向与速度方向间的夹角大于，由轨迹的弯曲方向知，合力必指向其弯曲方向．故选C。
【典例2.1】质量为2
kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度为5
m/s
B．质点所受的合外力为3
N，做匀加速曲线运动
C．2
s末质点速度大小为6
m/s
D．2
s内质点的位移大小约为12
m
【答案】ABD
【解析】.由x方向的速度图象可知，在x方向的加速度为1.5
m/s2，受力Fx＝3
N，由y方向的位移图象可知在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4
m/s，受力Fy＝0.因此质点的初速度为5
m/s，A选项正确；受到的合外力为3
N，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，B选项正确；2
s末质点速度应该为v＝
m/s＝2
m/s，C选项错误；2
s内x方向上位移大小x＝vxt＋at2＝9
m，y方向上位移大小y＝8
m，合位移大小l＝＝
m≈12
m，D选项正确．
【典例2.2】一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是
( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线
D．物体运动的轨迹是一条曲线
【答案】BC
【解析】对应位移时间公式x＝v0t＋at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度：v0x＝－4
m/s，v0y＝6
m/s；加速度：ax＝－4
m/s2，ay＝6
m/s2；物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误．
【典例3.1】一小船渡河，河宽d＝180
m，水流速度v1＝2.5
m/s.
(1)若船在静水中的速度为v2＝5
m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度为v2＝5
m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)若船在静水中的速度为v2＝1.5
m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
【答案】(1)船头垂直于河岸 36
s；90m
(2)船头与上游河岸成60°角；24s；180
m
(3)船头与上游河岸成53°角；150
s；300
m
【解析】将船实际的速度(合速度)分解为垂直于河岸方向和平行于河岸方向的两个分速度，垂直于河岸的分速度影响渡河的时间，而平行于河岸的分速度只影响船在平行于河岸方向的位移.
(1)若v2＝5
m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应垂直于河岸方向，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直于河岸的分速度为v2＝5
m/s.
v合＝
x＝v合t＝90m.
(2)若v2＝5
m/s，欲使船渡河的航程最短，合速度应沿垂直于河岸方向，船头应朝图乙中的v2方向.垂直于河岸过河则要求v∥＝0，有v2sin
θ＝v1，得θ＝30°.所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短.
x＝d＝180
m
(3)若v2＝1.5
m/s，与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝
.欲使航程最短，需α最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度方向，欲使v合与河岸下游方向的夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2.
由sin
α＝，得α＝37°
所以船头应朝与上游河岸成53°角方向.
v合＝v1cos
α＝2
m/s
x＝v合t＝300
m.
【典例4.1】(多选)如图所示,物体P、Q经无摩擦的定滑轮用细绳连在一起,此时Q在竖直方向匀速上升,P物体在水平力F的作用下沿水平粗糙地面向右运动,则下列说法正确的是
( )
A.P做减速运动
B.细绳对P的作用力逐渐增大
C.P所受摩擦力逐渐增大
D.细绳对滑轮的作用力大小不变
【答案】AC
【解析】设细绳与水平方向的夹角为θ,则vPcosθ=vQ,因为Q在竖直方向匀速上升,则随着θ角的减小,vP逐渐减小,即P做减速运动,A项正确;由于物体Q做匀速运动,故细绳的拉力不变,即细绳对P的作用力大小不变,B项错误;P所受摩擦力Ff=μ(mPg-FTsinθ),则随着θ角的减小,P所受摩擦力逐渐增大,C项正确;两边细绳对滑轮的拉力大小不变,但是两绳的夹角逐渐变大,故由力的合成知识可知,细绳对滑轮的作用力逐渐减小,D项错误。
【典例4.2】(多选)如图,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g。则
( )。
A.a落地前,轻杆对b一直做正功
B.a落地时速度大小为
C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于g
D.a落地前,当a的速度最大时,b对地面的压力大小为mg
【答案】BD
【解析】首先,把a、b看成一个系统,运动中机械能守恒,b先加速后减速,a到达地面时b的速度为0,故杆对b先做正功后做负功,A项错误;根据系统机械能守恒可知,a的重力势能的减少量等于a动能的增加量,即mgh=mv2,得v=,B项正确;a下落过程,有一段受杆沿杆向下的拉力,故a的加速度有时大于g,C项错误;a刚开始的一段下落过程中杆对a做负功,a的机械能减少,a的机械能最小时杆对a的作用力为0,此时杆对b也没有力的作用,故此时b对地面的压力大小为mg,D项正确。
三、课堂作业
1．质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F1时，物体可能做的运动形式是(
)
A．匀加速直线运动；
B．匀减速直线运动；
C．匀变速曲线运动；
D．变加速(特指加速度改变的运动)曲线运动。
【解析】当撤去F1时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F1，方向与F1方向相反。
若物体原来静止，物体一定做与F1相反方向的匀加速直线运动。
若物体原来做匀速运动，若F1与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A、B正确。
若F1与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故C正确，D错误。
正确答案为：A、B、C。
2．双人滑运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN.vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的
( )
A．F1
B．F2
C．F3
D．F4
【答案】 C
【解析】 根据图示物体由M向N做曲线运动，物体在vM方向的速度减小，同时在vN方向的速度增大，故合外力的方向指向F2方向下方，故F3的方向可能是正确的，C正确，A、B、D错误．
3．济南武警消防大队举行了消防演练，在其中的灭火抢险的演练过程中，消防队员借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业．为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子(与消防车的角度固定不变)匀速向上运动，如图所示．在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是( )
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动
解析：消防队员相对梯子匀速向上运动，当消防车匀速前进时，由两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动可知，消防队员一定做匀速直线运动，选项A错误，B正确；当消防车匀加速前进时，由不在同一直线上的匀速直线运动和匀变速直线运动的合运动一定是匀变速曲线运动可知，消防队员一定做匀变速曲线运动，选项C正确，D错误．
答案：BC
4．如图为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是( )
A.质点经过C点的速率比D点的大
B.质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C.质点经过D点时的加速度比B点的大
D.质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
答案 A
解析 质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变；由于在D点速度方向与加速度方向垂直，则在C点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，所以质点由C到D速率减小，在C点的速率比D点大.
5．如图，图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v-t图象如图乙所示．人顶杆沿水平地面运动的s-t图象如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法中正确的是（ ）
A．猴子的运动轨迹为直线
B．猴子在2s内做匀变速曲线运动
C．t=0时猴子的速度大小为8m/s
D．t=2s时猴子的加速度为4m/s2
【答案】BD
【解析】竖直方向为初速度、加速度的匀减速直线运动，水平方向为速度的匀速直线运动，初速度大小为，方向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，故选项B正确，选项A错误；t=2s时，，则合加速度为，选项C错误，选项D正确。
6．小船在200
m宽的河中横渡，水流速度为2
m/s，船在静水中的速度为4
m/s.
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船渡河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5
m/s，船在静水中的速度是3
m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？
【答案】见解析
【解析】(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动．因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即t＝＝
s＝50
s
小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50
m＝100
m
即船将在正对岸下游100
m处靠岸．
(2)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图甲所示，则
cos
θ＝＝＝，故θ＝60°
即船的航向与上游河岸成60°，渡河时间t＝＝
s＝
s.
(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角θ，如图乙所示．船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin
θ，故小船渡河的时间为t＝.当θ＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝50
s.
(4)因为v船＝3
m/sm/s，所以船不可能垂直河岸横渡，不论航向如何，总被水流冲向下游．如图丙所示，设船头(v船)与上游河岸成θ角，合速度v与下游河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂向下游的距离x′越短．以v水的矢尖为圆心，以v船的大小为半径画圆，当合速度v与圆相切时，α角最大．
则cos
θ＝＝，故船头与上游河岸的夹角θ＝53°
又＝＝eq
\f(\r(v－v),v船)，代入数据解得x′≈267
m.
7．如图所示，某河段两岸平行，越靠近中央水流速度越大，一条小船保持船头垂直于河岸的方向匀速航行。现沿水流方向及垂直于河岸方向建立直角坐标系xOy，则该小船渡河的大致轨迹是( )
【答案】C
【解析】小船垂直于河岸方向航行的速度不变，但水流速度越靠近中央越大，因此小船过河过程中先具有向下游的加速度，后具有向上游的加速度，结合曲线运动的轨迹特点可知，加速度方向应指向轨迹的凹侧，故只有选项C正确。
8．(多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图乙所示，则
( )
A．船渡河的最短时间60
s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5
m/s
【答案】BD
【解析】当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，由乙图可知河宽为d＝300
m，t＝＝100
s，故A错误，B正确．由于随水流方向的分速度不断变化，故合速度的大小和方向也不断变化，船做曲线运动，故C错误；当河水的流速取最大值4
m/s时，合速度最大，船在河水中的最大速度是v＝
m/s＝5
m/s，故D正确．
9．有甲、乙两只船,它们在静水中航行的速度分别为v1和v2,现在两船从同一渡口向河对岸开去,已知甲船想用最短时间渡河,乙船想以最短航程渡河,结果两船抵达对岸的地点恰好相同。则甲、乙两船渡河所用时间之比为( )。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当v1与河岸垂直时,甲船渡河时间最短;乙船船头斜向上游开去,才有可能航程最短,由于甲、乙两只船到达对岸的地点相同(此地点并不在河正对岸),可见乙船在静水中的速度v2比水的流速v0要小,为满足题意,则如图所示。由图可得=·sinθ
cosθ=,tanθ=
联立解得=sinθ
=。
10．人用绳子通过定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速率是( )
A．v0cos
θ
B．
C．v0sinθ
D．
【答案】B
【解析】物体A的运动是由绳的运动和垂直绳子方向的转动合成的，如图，则v＝，故选B。
11．如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙与水平地面滑动．当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2
B．v1＝v2cos
θ
C．v1＝v2tan
θ
D．v1＝v2sin
θ
【答案】C
【解析】.将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，由于AB不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同，则有v1∥＝v1cos
θ，v2∥＝v2sin
θ，由v1∥＝v2∥，得v1＝v2tan
θ，选项C正确．
12．如图所示，人在岸上拉船，不计绳与轮之间的摩擦，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时
( )
A．人拉绳行走的速度为vcos
θ
B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
【答案】 AC
【解析】 将船的速度进行分解如图所示，人拉绳行走的速度v人＝vcos
θ，A对，B错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcos
θ－f＝ma，得a＝，C对，D错．
13．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则
( )
A．v2＝v1
B．v2>v1
C．v2≠0
D．v2＝0
【答案】D
【解析】如图所示，分解A上升的速度v，v2＝vcos
α，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，α＝90°，故v2＝0，即B的速度为零，D正确．
14．一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角为θ＝30°，B球的速度大小为v2，则( )
A．v2＝v1
B．v2＝2v1
C．v2＝v1
D．v2＝v1
【答案】C
【解析】.球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin
30°＝v1，球B此时速度方向与杆夹角α＝60°，因此v21＝v2cos
60°＝v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确．
15．[多选]如图所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前( )
A．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动
B．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动
C．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vtan
θ
D．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vsinθ
【答案】BC
【解析】O点向右运动，O点的运动使杆AO绕A点逆时针转动的同时，沿杆OA方向向上推动A点；竖直杆的实际运动(A点的速度)方向竖直向上，使A点绕O点逆时针转动的同时，沿OA方向(弹力方向)与OA杆具有相同的速度。速度分解如图所示，对O点，v1＝vsin
θ，对于A点，vAcos
θ＝v1，解得vA＝vtan
θ，O点(半圆柱体)向右匀速运动时，杆向上运动，θ角减小，tan
θ减小，vA减小，但杆不做匀减速运动，A错误，B正确；由vA＝vtan
θ可知C正确，D错误。曲线运动
一、考点热点
考点一：曲线运动
考点二：运动的合成与分解
两个直线运动的合运动性质的判断
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
考点三：小船渡河
小船渡河的两类问题、三种情景
渡河时间最短
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos
θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
渡河位移最短
如果v船考点四：关联体模型
常见实例如下：
情景图示
(注：A沿斜面下滑)
分解图示
定量结论
vB＝vAcos
θ
vAcos
θ＝v0
vAcos
α＝vBcos
β
vBsin
α＝vAcos
α
基本思路
确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
典型例题
【典例1.1】(多选)关于物体做曲线运动的条件，下列说法中正确的是( )
A．物体受变力作用才可能做曲线运动
B．物体受恒力作用也可能做曲线运动
C．物体所受合力为零时不可能做曲线运动
D．物体只要受到合外力作用就一定做曲线运动
【典例1.2】如图所示，“嫦娥一号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小。在此过程中探月卫星所受合力的方向可能的是（
）
【典例2.1】质量为2
kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度为5
m/s
B．质点所受的合外力为3
N，做匀加速曲线运动
C．2
s末质点速度大小为6
m/s
D．2
s内质点的位移大小约为12
m
【典例2.2】一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是
( )
物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线
D．物体运动的轨迹是一条曲线
【典例3.1】一小船渡河，河宽d＝180
m，水流速度v1＝2.5
m/s.
(1)若船在静水中的速度为v2＝5
m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度为v2＝5
m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)若船在静水中的速度为v2＝1.5
m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
【典例4.1】(多选)如图所示,物体P、Q经无摩擦的定滑轮用细绳连在一起,此时Q在竖直方向匀速上升,P物体在水平力F的作用下沿水平粗糙地面向右运动,则下列说法正确的是
( )
A.P做减速运动
B.细绳对P的作用力逐渐增大
C.P所受摩擦力逐渐增大
D.细绳对滑轮的作用力大小不变
【典例4.2】(多选)如图,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g。则
( )。
A.a落地前,轻杆对b一直做正功
B.a落地时速度大小为
C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于g
D.a落地前,当a的速度最大时,b对地面的压力大小为mg
【答案】BD
【解析】首先,把a、b看成一个系统,运动中机械能守恒,b先加速后减速,a到达地面时b的速度为0,故杆对b先做正功后做负功,A项错误;根据系统机械能守恒可知,a的重力势能的减少量等于a动能的增加量,即mgh=mv2,得v=,B项正确;a下落过程,有一段受杆沿杆向下的拉力,故a的加速度有时大于g,C项错误;a刚开始的一段下落过程中杆对a做负功,a的机械能减少,a的机械能最小时杆对a的作用力为0,此时杆对b也没有力的作用,故此时b对地面的压力大小为mg,D项正确。
三、课堂作业
1．质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F1时，物体可能做的运动形式是(
)
A．匀加速直线运动；
B．匀减速直线运动；
C．匀变速曲线运动；
D．变加速(特指加速度改变的运动)曲线运动。
2．双人滑运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN.vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的
( )
A．F1
B．F2
C．F3
D．F4
3．济南武警消防大队举行了消防演练，在其中的灭火抢险的演练过程中，消防队员借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业．为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子(与消防车的角度固定不变)匀速向上运动，如图所示．在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是( )
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动
4．如图为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是( )
A.质点经过C点的速率比D点的大
B.质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C.质点经过D点时的加速度比B点的大
D.质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
5．如图，图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v-t图象如图乙所示．人顶杆沿水平地面运动的s-t图象如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法中正确的是（ ）
A．猴子的运动轨迹为直线
B．猴子在2s内做匀变速曲线运动
C．t=0时猴子的速度大小为8m/s
D．t=2s时猴子的加速度为4m/s2
6．小船在200
m宽的河中横渡，水流速度为2
m/s，船在静水中的速度为4
m/s.
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船渡河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5
m/s，船在静水中的速度是3
m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？
7．如图所示，某河段两岸平行，越靠近中央水流速度越大，一条小船保持船头垂直于河岸的方向匀速航行。现沿水流方向及垂直于河岸方向建立直角坐标系xOy，则该小船渡河的大致轨迹是( )
8．(多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图乙所示，则
( )
A．船渡河的最短时间60
s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5
m/s
9．有甲、乙两只船,它们在静水中航行的速度分别为v1和v2,现在两船从同一渡口向河对岸开去,已知甲船想用最短时间渡河,乙船想以最短航程渡河,结果两船抵达对岸的地点恰好相同。则甲、乙两船渡河所用时间之比为( )。
A. B. C. D.
10．人用绳子通过定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速率是( )
A．v0cos
θ
B．
C．v0sinθ
D．
11．如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙与水平地面滑动．当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2
B．v1＝v2cos
θ
C．v1＝v2tan
θ
D．v1＝v2sin
θ
12．如图所示，人在岸上拉船，不计绳与轮之间的摩擦，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时
( )
A．人拉绳行走的速度为vcos
θ
B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
13．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则
( )
A．v2＝v1
B．v2>v1
C．v2≠0
D．v2＝0
14．一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角为θ＝30°，B球的速度大小为v2，则( )
A．v2＝v1
B．v2＝2v1
C．v2＝v1
D．v2＝v1
15．[多选]如图所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前( )
A．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动
B．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动
C．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vtan
θ
D．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vsinθ
