2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
7.1复数的概念
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知
是虚数单位，复数
的虚部为（???
）
A.?-2?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?1
【答案】
A
【解析】复数
的虚部为-2.
故答案为：A.
2.已知
(
，
为虚数单位)，则实数a+b的值为（???
）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?8
【答案】
D
【解析】
，故
则
故答案为：D
3.若复数
满足
，则下列说法正确的是（???
）
A.?
的虚部为
??????????????????????????B.?
为实数??????????????????????????C.???????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】由
，知：
；
∴
的虚部为1，
，
；
故答案为：C
4.在复平面内，复数
，
对应的点分别为
，
.若
为线段
的中点，则点
对应的复数是（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】因为复数
，
对应的点分别为
，
，所以在复平面内点
的坐标为
，
点
的坐标为
，又因为
为线段
的中点，所以点
的坐标为
，所以点
对应的复数是
.
故答案为：C
5.已知复数
满足
（其中
为虚数单位），则
（???
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】
，
，因此，
.
故答案为：B.
6.复数
对应的向量
与
共线，对应的点在第三象限，且
，则
（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】设
，
则复数
对应的向量
，
因为向量
与
共线，
所以
，
又
，
所以
，
解得
或
，
因为复数
对应的点在第三象限，
所以
，
所以
，
，
故答案为：D。
7.复数
满足
，则
在复平面上对应的点位于（???
）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
【答案】
B
【解析】设复数
，
由
得
，
所以
，解得
，
因为
时，不能满足
，舍去；
故
，所以
，其对应的点
位于第二象限，
故答案为：B.
8.在复平面内，复数
对应的点为
，若
，则（???
）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】因为复数
对应的点为
，所以
，
满足
则
故答案为：B
9.据记载，欧拉公式
是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当
时，得到一个令人着迷的优美恒等式
，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率
，虚数单位
，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z=
的共轭复数为
，则
（???
）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
【答案】
A
【解析】欧拉公式
，
则
，
根据共轭复数定义可知
，
故答案为：A.
10.设
为复数,则下列命题中一定成立的是(???
)
A.?如果
,那么
?????????????????????????????B.?如果
,那么
C.?如果
,那么
??????????????????????????????????D.?如果
,那么
【答案】
C
【解析】对于A,取
,
时,
,即
,但虚数不能比较大小,
,故A错误;
对于B,由
,可得
,不能得到
,故B错误;
对于C,因为
,所以
,故C正确;
对于D,取
,
,满足
,但是
,故D错误.
故选:C.
11.如果x﹣1+yi与i﹣3x是共轭复数（x，y是实数），则x+y=（??
）
A.?﹣1????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?﹣
【答案】D
【解析】解：∵x﹣1+yi与i﹣3x是共轭复数（x，y是实数），
∴x﹣1=﹣3x，y=﹣1，
解得x=
，y=﹣1．
则x+y=﹣
．
故选：D．
12.给出下面三个类比结论：①向量
，有
；类比复数
，有
；
②实数
、
有
；类比向量
，有
；
③实数
、
有
，则
；类比复数
，有
，则
.其中类比结论正确的命题个数为
（??
）
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】逐一考查的说法：①
时，
不成立；对于②向量的运算满足完全平方公式，故对；对于③,例如z1=i，z2=1满足
，但z1≠z2≠0，故错.
故答案为：B.
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.化简：
________.
【答案】
-1-i
【解析】
，
，
所以原式
.
故答案为：-1-i.
14.若
是方程
的一个根，则
________.
【答案】
38
【解析】假设另外一个根为
，
是方程
的一个根，
则
???
①
由
，可知
是
的共轭复数，
所以
??
②
把②代入①可知
所以
故答案为：38
15.已知
，且
，则
________．
【答案】
【解析】由复数相等得：
解得：
故答案为
16.已知复数
，若复数
满足
，则
的最大值为________
【答案】
【解析】
设
?
则
?
?
当
时，
?取得最大值
?
从而得到
的最大值为
．
故答案为
．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.已知平行四边形OABC的三个顶点
对应的复数为
.
（1）求点B所对应的复数
；
（2）若
，求复数
所对应的点的轨迹.
【答案】
（1）解：由已知得
，
∴
，
∴点
对应的复数
．
（2）解：设复数
所对应的点
，
∵
，
∴点
到点
的距离为1，
∴复数
所对应的点Z的轨迹为以
为圆心，1为半径的圆，
且其方程为
.
【解析】（1）根据复数加法的几何意义，求得
的坐标即可得到点B对应的复数．（2）根据复数模的意义可得复数z所对应的点的轨迹为圆，并可求得其方程．
18.已知复数
.
（1）当实数m取什么值时，复数z是1；
（2）复平面内第一、三象限角平分线上的点对应的复数.
【答案】
（1）解：
.
当
即
时，z为1.
（2）解：当
，即
或
时，
为复平面内第一、三象限角平分线上的点对应的复数
【解析】（1）根据实部为1，虚部为零可求m的值；（2）根据实部和虚部相等可求
的值.
19.已知复数
在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时，
（1）z为实数？z为纯虚数？
（2）A位于第三象限？
【答案】
（1）解：复数
当m2﹣9m+18＝0，解得
m＝3或m＝6，故当
m＝3或m＝6时，z为实数．
当
，解得m＝5，故当m＝5时，z为纯虚数；
（2）解：当
???即
，即3＜m＜5时，对应点在第三象限．
【解析】（1）当复数的虚部等于0时，复数z为实数；当复数的实部等于0，且虚部不等于0时，复数z为纯虚数；（2）当复数的实部和虚部都小于0时，复数对应点在第三象限，解不等式组求出实数m的取值范围即可．
20.
为何实数时，复数
?
在复平面内所对应的点
（1）在实轴上；
（2）在虚轴上；
（3）位于第四象限．
【答案】
（1）解：若复数所对应的点在实轴上则
，则
（2）解：若复数所对应的点在虚轴上则
，则
；
（3）解：若复数所对应的点在第四象限
【解析】（1）由复数所对应的点在实轴上，得虚部等于0，即可求出m的值.
（2）由复数所对应的点在虚轴上，得实部等于0，即可求出m的值.
（3）由复数所对应的点在第四象限，得实部大于0虚部小于0，即可求出m的取值范围.
21.已知
为复数，若
在复平面上对应的点在第四象限的角平分线上，且
．
（1）求复数
；
（2）若复数
满足
，求
的最小值．
【答案】
（1）解：依题意设
，因为
，所以
，
则
又
，所以
，故
（2）解：由（1）知
，设
，因为
，所以
，
又
=
，故
的最小值为原点到圆
上的点距离的最小值，因为原点到点
的距离为
，圆的半径
，原点在圆外，
所以
的最小值即为
【解析】(1)结合条件设出复数的代数形式,由条件得到关于a的方程求解.
(2)结合设出复数的代数形式,由条件得到关于x,y的方程组求解.
22.实数m分别取什么数值时，复数z=（m+2）+（3﹣2m）i
（1）与复数12+17i互为共轭；
（2）复数的模取得最小值，求出此时的最小值．
【答案】
（1）解：根据共轭复数的定义得：
，解得：m=10；
（2）解：|z|=
=
，
当m=
时，复数的模取最小值
．
【解析】（1）根据共轭复数的定义得到关于
m的方程组，解出即可；（2）根据二次函数的性质求出|z|的最小值即可．2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
7.1复数的概念
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知
是虚数单位，复数
的虚部为（???
）
A.?-2?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?1
2.已知
(
，
为虚数单位)，则实数a+b的值为（???
）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?8
3.若复数
满足
，则下列说法正确的是（???
）
A.?
的虚部为
??????????????????????????B.?
为实数??????????????????????????C.???????????????????????????D.?
4.在复平面内，复数
，
对应的点分别为
，
.若
为线段
的中点，则点
对应的复数是（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
5.已知复数
满足
（其中
为虚数单位），则
（???
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
6.复数
对应的向量
与
共线，对应的点在第三象限，且
，则
（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
7.复数
满足
，则
在复平面上对应的点位于（???
）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
8.在复平面内，复数
对应的点为
，若
，则（???
）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
9.据记载，欧拉公式
是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当
时，得到一个令人着迷的优美恒等式
，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率
，虚数单位
，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z=
的共轭复数为
，则
（???
）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
10.设
为复数,则下列命题中一定成立的是(???
)
A.?如果
,那么
?????????????????????????????B.?如果
,那么
C.?如果
,那么
??????????????????????????????????D.?如果
,那么
11.如果x﹣1+yi与i﹣3x是共轭复数（x，y是实数），则x+y=（??
）
A.?﹣1????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?﹣
12.给出下面三个类比结论：①向量
，有
；类比复数
，有
；
②实数
、
有
；类比向量
，有
；
③实数
、
有
，则
；类比复数
，有
，则
.其中类比结论正确的命题个数为
（??
）
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.化简：
________.
14.若
是方程
的一个根，则
________.
15.已知
，且
，则
________．
16.已知复数
，若复数
满足
，则
的最大值为________
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.已知平行四边形OABC的三个顶点
对应的复数为
.
（1）求点B所对应的复数
；
（2）若
，求复数
所对应的点的轨迹.
18.已知复数
.
（1）当实数m取什么值时，复数z是1；
（2）复平面内第一、三象限角平分线上的点对应的复数.
19.已知复数
在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时，
（1）z为实数？z为纯虚数？
（2）A位于第三象限？
20.
为何实数时，复数
?
在复平面内所对应的点
（1）在实轴上；
（2）在虚轴上；
（3）位于第四象限．
21.已知
为复数，若
在复平面上对应的点在第四象限的角平分线上，且
．
（1）求复数
；
（2）若复数
满足
，求
的最小值．
22.实数m分别取什么数值时，复数z=（m+2）+（3﹣2m）i
（1）与复数12+17i互为共轭；
（2）复数的模取得最小值，求出此时的最小值．
