2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
6.4平面向量的应用
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，
，
，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
2.在
中，
，
，
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?
3.
的内角
的对边分别为
，若
，
，则
（???
）．
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4.△
中，
对应的边分别为
，
，
，三角形
的面积为
，则边
的长为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????D.?49
5.在
中，已知
，
，
，则
的面积为（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
6.如图所示，在四面体ABCD中，
为等边三角形，
，
，
，
，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
7.在
中，
的面积为S，
，
，且满足
，则该三角形的外接圆的半径R为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?2
8.某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为
，小高层底部的俯角为
，那么这栋小高层的高度为（???
）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
9.如图，在正方体
中，
（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
10.为了测量河对岸两地A、B之间的距离，先在河这岸选择一条基线CD，测得CD=a米，再测得∠ACD=90°，∠BCD=30°，∠ADC=45°，∠CDB=105°，据此计算A、B两地之间的距离是（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
11.海伦公式是利用三角形的三条边的边长
直接求三角形面积S的公式，表达式为：
；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为
的
满足
，则用以上给出的公式求得
的面积为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?12
12.如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（??
）
A.?2?????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，若满足
，
的
有且仅有一个，则边
的取值范围是________.
14.如图，在
中，
，
，
，点
是边
（端点除外）上的一动点.若将
沿直线
翻折，能使点
在平面
内的射影
落在
的内部（不包含边界），且
.设
，则的取值范围是________.
15.在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，
，
的平分线交
于点
，且
，若
的面积为
，则
________；
________．
16.在
中，若面积
，则
________.
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.如图，
是直角
斜边
上一点，
．
（1）若
，求角
的大小；
（2）若
，且
求
的长．
18.
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos
A＋
a＝c.
（1）求cos
B；
（2）如图，D为
外一点，若在平面四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，BC＝
，求AB的长．
19.已知a，b，c分别是
内角A，B，C的对边，且满足
.
（1）求角A的大小；
（2）设
，S为
的面积，求
最大值.
20.在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
（1）若
的面积S满足
，求
的值；
（2）若边
上的中线为
，求
长的最小值.
21.在
中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量
和向量
互相垂直.
（1）求角C的大小；
（2）若
外接圆的半径是1，面积是
，求
的周长.
22.已知函数
．
（1）求函数
在
上的单调递减区间；
（2）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，已知
，求
的周长．2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
6.4平面向量的应用
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，
，
，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】因为
，
，
，
所以由正弦定理可得
，
则
，
故答案为：A.
2.在
中，
，
，
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】在
中，由正弦定理可得：
，即
，
所以
，
故答案为：B.
3.
的内角
的对边分别为
，若
，
，则
（???
）．
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】由题意得，
，
∴
，
故答案为：C
4.△
中，
对应的边分别为
，
，
，三角形
的面积为
，则边
的长为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????D.?49
【答案】
C
【解析】由
，
，则
，解得
，
在△
中，由余弦定理可得：
，
解得
.
故答案为：C
5.在
中，已知
，
，
，则
的面积为（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】
中，
，
，
，
，
即
，
解得
，
又
，
，
，
，
的面积为
．
故答案为：A．
6.如图所示，在四面体ABCD中，
为等边三角形，
，
，
，
，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】解：方法一：依题意，
，
因为
为等边三角形，
，
，
，
，
所以
，
故答案为：D．
方法二：
，
，
，
∴
，
，即
，
∵
，
，
，
。
故答案为：D．
7.在
中，
的面积为S，
，
，且满足
，则该三角形的外接圆的半径R为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?2
【答案】
B
【解析】由
，
得
，
利用余弦定理得：
，
即
，
又
，
得
；
由题意，因为
，
所以
．
由余弦定理得：
.
又因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
故答案为：B.
8.某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为
，小高层底部的俯角为
，那么这栋小高层的高度为（???
）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
【答案】
B
【解析】依题意作图所示：
，仰角
，俯角
，
在等腰直角
中，
，
在直角
中，
，
，
小高层的高度为
．
故答案为：B．
9.如图，在正方体
中，
（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】∵
，而
，
∴
，
故答案为：B
10.为了测量河对岸两地A、B之间的距离，先在河这岸选择一条基线CD，测得CD=a米，再测得∠ACD=90°，∠BCD=30°，∠ADC=45°，∠CDB=105°，据此计算A、B两地之间的距离是（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】由题意，在△
中，
，
，
，所以
，
在△
中，
，
，
，所以
，
由正弦定理，得：
，即
，解得
，
在△
中，
，
由余弦定理，得：
，
所以
，
故答案为：B.
11.海伦公式是利用三角形的三条边的边长
直接求三角形面积S的公式，表达式为：
；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为
的
满足
，则用以上给出的公式求得
的面积为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?12
【答案】
C
【解析】在
中，因为
，
由正弦定理可得：
，
设
，
，
，且
，
∴
，解得
，
即
，
，
，且
，
∴
.
故答案为：C.
12.如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（??
）
A.?2?????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】将
翻折到与四边形
同一平面内，
的最小值为
，在
中
，由余弦定理可得
。
故答案为：D
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，若满足
，
的
有且仅有一个，则边
的取值范围是________.
【答案】
【解析】由正弦定理，
,
所以
，
因为
有且仅有一个，
所以
或
，
即
或
，
故答案为：
14.如图，在
中，
，
，
，点
是边
（端点除外）上的一动点.若将
沿直线
翻折，能使点
在平面
内的射影
落在
的内部（不包含边界），且
.设
，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】依题意知
平面
，又
，
，
则
，
，在
中
，
当
与
重合时，
，因为
落在
的内部，则
；
当
落在
上时，
则
，
，又
所以
，
，由
，
在
中，由余弦定理得
整理得
，解得
所以
的取值范围为
.
故答案为：
15.在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，
，
的平分线交
于点
，且
，若
的面积为
，则
________；
________．
【答案】
；
【解析】如图所示，
由内角平分线定理可得
，
,即
,
由
的面积为
，
由余弦定理得
∴
，
，
;
，即
，
∴
，
故答案为：
；
.
16.在
中，若面积
，则
________.
【答案】
【解析】解：在
中，由余弦定理可知
，
所以
，由
，可得
，即
，因为
，
所以
，即
，所以
.
故答案为：
.
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.如图，
是直角
斜边
上一点，
．
（1）若
，求角
的大小；
（2）若
，且
求
的长．
【答案】
（1）解：在
中，由正弦定理得：
，
由题意得：
，
∵
，
∴
，
∴
（2）解：
，∴在
中，
∴
，
在
中，由余弦定理得：
【解析】（1）
在??中，由正弦定理可求
?值，结合
，
?可求
，进而可求
角?的值；
（2）由题意可求
，利用勾股定理可求
，
?的值，然后在
?中，由余弦定理可求得值。
18.
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos
A＋
a＝c.
（1）求cos
B；
（2）如图，D为
外一点，若在平面四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，BC＝
，求AB的长．
【答案】
（1）解：在
中，由正弦定理得
sin
Bcos
A＋
sin
A＝sin
C，
又C＝π－(A＋B)，
所以sin
Bcos
A＋
sin
A＝sin
(A＋B)，
故sinBcos
A＋
sin
A＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
所以sin
Acos
B＝
sin
A，
又A∈(0，π)，所以sin
A≠0，Cos
B＝
.
（2）解：因为D＝2B，所以cos
D＝2cos2B－1＝
，
又在
中，AD＝1，CD＝3，
所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos
D
＝1＋9－2×3×
＝12，
所以AC＝
，
在
中，BC＝
，AC＝
，cos
B＝
，
所以由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos
B，
即12＝AB2＋6－2·AB×
×
，化简得AB2－
AB－6＝0，
解得AB＝
.
AB的长为
.
【解析】（1）利用正弦定理，边角互化后，再利用三角恒等变换求
cosB的值，
（2）根据（1）的结果求
cosD，再根据余弦定理求AC，
?
中利用余弦定理求AB的长。
19.已知a，b，c分别是
内角A，B，C的对边，且满足
.
（1）求角A的大小；
（2）设
，S为
的面积，求
最大值.
【答案】
（1）解：
由正弦定理知：
因为A、B、C是三角形内角，
所以
，即
.
（2）解：因为
，
所以
，
，
所以
.
【解析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形的性质可求；（2）利用面积公式和正弦定理把
化简为
，然后结合三角函数的性质可求.
20.在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
（1）若
的面积S满足
，求
的值；
（2）若边
上的中线为
，求
长的最小值.
【答案】
（1）解：因为
，
所以
，
.
，
，
又
，
.
（2）解：在
和
中，分别由余弦定理可得
，
，
，
整理得
，
，
即
，当且仅当
时，取等号，
即
长的最小值为
.
【解析】（1）利用余弦定理可得
，
再根据
?
，
求出角A，进而求出
?的；
（2）
由余弦定理可得??，??，求得?
?
，进而求得
?长的最小值。
21.在
中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量
和向量
互相垂直.
（1）求角C的大小；
（2）若
外接圆的半径是1，面积是
，求
的周长.
【答案】
（1）解：因为
，
互相垂直，
所以
，
即
，
由余弦定理得，
.
因为
，所以
.
（2）解：因为
，
所以
.
因为
外接圆的半径是1，
所以由正弦定理可得
所以
就是
，
即
，
因此
，
.
故
的周长是
.
【解析】（1）通过向量垂直的条件：数量积为0，结合余弦定理求解C即可；
（2）通过正弦定理以及余弦定理，转化求解三角形的周长即可。
22.已知函数
．
（1）求函数
在
上的单调递减区间；
（2）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，已知
，求
的周长．
【答案】（1）解：
，
函数
单调递减，则
，
，
，
在
上的单调递减区间
和
（2）解：由（1）知：
且
为锐角三角形，
，
，
∴
的周长为
．
【解析】(1)首先由二倍角的公式以及两角和的余弦公式整理化简函数的解析式得到f(x)
，
再由余弦函数的单调性利用整体思想即可得出函数f(x)
在
上
的单调递减区间，
(2)根据题意首先由(1)的结论即可得出
，
再由已知条件即可得到把数值代入到余弦公式即可计算出即由此即可计算出三角形的周长。
