2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
6.2平面向量的运算
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（???
）
A.???????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】设
，若点
与点
共面，则
，
只有D满足.
故答案为：D.
2.在平行六面体
中，
与
的交点为
，设
，
，
，则下列向量中与
相等的向量是（???
）
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
【答案】
D
【解析】
?
?
故答案为：D
3.若
是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（?
?）
A.??????????B.??????????C.??????????D.?
【答案】
B
【解析】根据平面向量减法运算的“三角形”法则可知
＝
-
，
只有选项B符合题意，
故答案为：B.
4.设
是两个不共线的向量，且
与
共线，则实数λ＝（???
）
A.?－1????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】由
共线，知：
，
为实数，
∴
，即
，
故答案为：D。
5.在平行六面体
中，
为
与
的交点.若
，
，
，则下列向量中与
相等的向量是（?
?）
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
【答案】
A
【解析】由题意，
；
故答案为：A．
6.如图，在直角梯形
中，
，
为
边上一点，
，
为
的中点，则
＝（???
）
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
【答案】
C
【解析】解：
故答案为：C.
7.在
中，
为
的中点，
为线段
上一点，且满足
，若
，则
（???
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】由
知，点
是线段
上靠近点
的三等分点
则
则
故答案为：B
8.已知四边形
中，
，
，
为平面上一点，且满足
，则四边形
的面积为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?4
【答案】
B
【解析】由
得出
，且
则四边形
为菱形
即四边形
为
故答案为：B
9.设
，
是非零向量，若对于任意的
，都有
成立，则（
??）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】由题意，得向量
是所有向量
中模长最小的向量，如图，
当
，即
时，
最小，满足
，对于任意的
，
故答案为：D.
10.一艘船从点A出发以4
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船在水流的作用下实际行驶的速度为8
km/h，则江水的流速的大小为
(?
???)
A.?2
km/h???????????????????????????B.?4
km/h???????????????????????????C.?3
km/h???????????????????????????D.?
?km/h
【答案】
B
【解析】根据题目信息，?
表示船行驶速度，表示船实际航行速度，则表示水流速度，
??????????
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
以为邻边作平行四边形ABCD，
根据题意=43√km/h，=8km/h，
所以=
所以河水的流速的大小为4km/h.
故答案为：B.
11.在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD的中点，若
?
则
?(????
)
A.?2???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】∵
,
,
∴
，又
,
∴
，解得
，
故答案为：D.
12.已知
，
，
和
为空间中的4个单位向量，且
，则
不可能等于（??
）
A.?3????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】因为
而
，
所以
因为
，
，
，
是单位向量，且
，
所以
不共线，
所以
，
故答案为：A.
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1
，
F2
，
且F1
，
F2与水平夹角均为45°，
，则物体的重力大小为________．
【答案】
20
【解析】如图，∵
，
∴
，
∴物体的重力大小为20．
故答案为：20．
14.已知
，
，
，且
，则m+n=________．
【答案】
【解析】解：∵
，
，
，
∴
∴
解得
∴m+n=
故答案为
15.在△ABC中，∠ACB为钝角，AC=BC=1，
且x+y=1，函数
的最小值为
，则
的最小值为________．
【答案】
【解析】解：在△ABC中，∠ACB为钝角，AC=BC=1，函数f（m）的最小值为
．
∴函数
=
=
，
化为4m2﹣8mcos∠ACB+1≥0恒成立．
当且仅当m=
=cos∠ACB时等号成立，代入得到
，∴
．
∴
=
=
=x2+（1﹣x）2﹣x（1﹣x）=
，
当且仅当x=
=y时，
取得最小值
，
∴
的最小值为
．
故答案为：
．
16.如图所示,O是正三角形ABC的中心;四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量
相等的向量有________;与向量
共线的向量有________;与向量
的模相等的向量有________.(填图中所画出的向量)
【答案】??；??；??
【解析】∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC,∴结合相等向量及共线向量定义可知:与
相等的向量有
;与
共线的向量有
；与
的模相等的向量有
.
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.三棱柱
中，
分别是
、
上的点，且
，
.设
，
，
.
（1）试用
表示向量
；
（2）若
，
，
，求MN的长.
【答案】
（1）解：
=
=
.
（2）解：
=
，
即
，
所以
.
【解析】(1)由空间向量的运算法则结合三棱柱的空间结构特征可得
.(2)由题意计算可得
，结合(1)的结论可知
.
18.如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段
的一个靠近点B的三等分点,设
.
（1）用向量
与
表示向量
;
（2）若
,求证:C,D,E三点共线.
【答案】
（1）解：∵
,
,
∴
,
.
（2）解：
,
∴
与
平行,
又∵
与
有共同点C,
∴
，
，
三点共线.
【解析】（1）根据题意，利用向量的加法与减法的几何意义，得出
，
，即可用
、
表示；（2）由
，只需找到
与
的关系，即可得证.
19.如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若
，
，
，证明：
．
【答案】解：∵O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，
，
，
，
∴
+
﹣
=
+
+
=
+
+
=
+
=
，
∴
?
成立
【解析】利用平行四边形ABCD的性质找出相等的向量，再利用向量的运算性质：
+
=
?和
=﹣
，化简等式的左边．
20.已知O是正方形ABCD对角线的交点,在以O,A,B,C,D这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出:
（1）与
相等的向量;
（2）与
长度相等的向量;
（3）与
共线的向量.
【答案】
（1）解：画出图形,如图所示.
易知BC∥AD,BC=AD,所以与
相等的向量为
（2）解：由（1）图像得：O是正方形ABCD对角线的交点知OB=OD=OA=OC,所以与
长度相等的向量为
.
（3）解：由（1）图像得：与
共线的向量为
.
【解析】本题主要考查了平共线向量、相等向量的有关概念，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件进行正确作图，然后观察所求向量即可.
21.设两个非零向量
与
不共线.
（1）如果
,
,
,求证：
、
、
三点共线；
（2）试确定实数
的值，使
和
共线.
【答案】
（1）证明：
,
∴A、B、D共线.
（2）解：要使
和
共线，只需存在实数
，使
.
于是,
.∴
.
由于
与
不共线，所以只有
,
.
【解析】（1）由已知得到
，
即可证明
A、B、D三点共线；
（2）由已知
和
共线，得到
，由
与
不共线列式，即可求出k的值.
22.在平行四边形
中，
为
的中点，
.
（1）设
用
表示
和
；
（2）求实数
的值，使得
与
共线.
【答案】
（1）解：
（2）解：
，
，
与
共线，
存在
使得
，即
，
又
不共线，
，解得
【解析】（1）利用向量的加法和数乘运算计算；（2）将
和
都用向量
表示出来，再根据向量共线定理列方程求解.2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
6.2平面向量的运算
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（???
）
A.???????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????D.?
2.在平行六面体
中，
与
的交点为
，设
，
，
，则下列向量中与
相等的向量是（???
）
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
3.若
是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（?
?）
A.??????????B.??????????C.??????????D.?
4.设
是两个不共线的向量，且
与
共线，则实数λ＝（???
）
A.?－1????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
5.在平行六面体
中，
为
与
的交点.若
，
，
，则下列向量中与
相等的向量是（?
?）
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
6.如图，在直角梯形
中，
，
为
边上一点，
，
为
的中点，则
＝（???
）
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
7.在
中，
为
的中点，
为线段
上一点，且满足
，若
，则
（???
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
8.已知四边形
中，
，
，
为平面上一点，且满足
，则四边形
的面积为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?4
9.设
，
是非零向量，若对于任意的
，都有
成立，则（
??）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
10.一艘船从点A出发以4
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船在水流的作用下实际行驶的速度为8
km/h，则江水的流速的大小为
(?
???)
A.?2
km/h???????????????????????????B.?4
km/h???????????????????????????C.?3
km/h???????????????????????????D.?
?km/h
11.在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD的中点，若
?
则
?(????
)
A.?2???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
12.已知
，
，
和
为空间中的4个单位向量，且
，则
不可能等于（??
）
A.?3????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1
，
F2
，
且F1
，
F2与水平夹角均为45°，
，则物体的重力大小为________．
14.已知
，
，
，且
，则m+n=________．
15.在△ABC中，∠ACB为钝角，AC=BC=1，
且x+y=1，函数
的最小值为
，则
的最小值为________．
16.如图所示,O是正三角形ABC的中心;四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量
相等的向量有________;与向量
共线的向量有________;与向量
的模相等的向量有________.(填图中所画出的向量)
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.三棱柱
中，
分别是
、
上的点，且
，
.设
，
，
.
（1）试用
表示向量
；
（2）若
，
，
，求MN的长.
18.如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段
的一个靠近点B的三等分点,设
.
（1）用向量
与
表示向量
;
（2）若
,求证:C,D,E三点共线.
19.如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若
，
，
，证明：
．
20.已知O是正方形ABCD对角线的交点,在以O,A,B,C,D这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出:
（1）与
相等的向量;
（2）与
长度相等的向量;
（3）与
共线的向量.
21.设两个非零向量
与
不共线.
（1）如果
,
,
,求证：
、
、
三点共线；
（2）试确定实数
的值，使
和
共线.
22.在平行四边形
中，
为
的中点，
.
（1）设
用
表示
和
；
（2）求实数
的值，使得
与
共线.
