2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
7.2复数的四则运算
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.设复数
，则
（???
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.已知
是虚数单位，则复数
的实部和虚部分别为（??
）
A.?7，
????????????????????????????????B.?-7，3????????????????????????????????C.?-7，
????????????????????????????????D.?7，-3
3.若复数z为纯虚数，且
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?-2?????????????????????????????????????????D.?2
4.设复数
，则复数
在复平面内对应的点位于（???
）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
5.已知复数
，
，则
为（???
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?
6.已知
(其中a，
，i是虚数单位)，则a+b的值为（???
）
A.?-2??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?-4
7.已知复数
，则下列说法正确的是（?
?）
A.?复数
的实部为3???????????????????????????????????????????????B.?复数
的虚部为
C.?复数
的共轭复数为
??????????????????????????D.?复数的模为1
8.已知复数
在复平面内对应的点在第三象限，则实数
的取值范围是（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
9.若
（
）与
互为共轭复数，则
的值为（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
10.复数
与复数
在复平面上的对应点分别是
、
，则
等于(??
)
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
11.已知两非零复数
，若
，则一定成立的是（?
?）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
12.
+
=（??
）
A.?﹣1﹣i????????????????????????????????????B.?1+i????????????????????????????????????C.?﹣1+i????????????????????????????????????D.?1﹣i
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.设O是原点，向量
对应的复数分别为
那么，向量
对应的复数是________．
14.已知复数
（
，
为常数，
）是复数
的一个平方根，那么复数
的两个平方根为________.
15.已知互异复数
，集合
，则
________．
16.设复数a+bi（a，b∈R）的模为
，则（a+bi）（a﹣bi）=________．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.设
是虚数，
是实数，且
.
（1）求
的值以及
的实部的取值范围；
（2）若
，求证
为纯虚数；
（3）在（2）的条件下，求
的最小值.
18.计算:
（1）
;
（2）
.
19.已知复数
，
.
（1）求
及
并比较大小；
（2）设
，满足条件
的点
的轨迹是什么图形？
20.（1）已知
，且
，求
；
（2）已知
是关于
的方程
的一个根，求实数
的值.
21.已知复数Z1
，
Z2在复平面内对应的点分别为A（﹣2，1），B（a，3）．
（1）若|Z1﹣Z2|=
，求a的值．
（2）复数z=Z1?Z2对应的点在二、四象限的角平分线上，求a的值．
22.在复平面中，已知A，B，C三点分别对应复数2+i，4+3i，3+5i，又知点D与这三点构成平行四边形，求点D对应的复数．2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
7.2复数的四则运算
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.设复数
，则
（???
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】
，
所以
，
故答案为：D．
2.已知
是虚数单位，则复数
的实部和虚部分别为（??
）
A.?7，
????????????????????????????????B.?-7，3????????????????????????????????C.?-7，
????????????????????????????????D.?7，-3
【答案】
D
【解析】由题得
，所以复数z的实部和虚部分别为7和-3.
故答案为：D
3.若复数z为纯虚数，且
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?-2?????????????????????????????????????????D.?2
【答案】
D
【解析】由题意，复数
，
因为复数
为纯虚数，所以
，解得
.
故答案为：D.
4.设复数
，则复数
在复平面内对应的点位于（???
）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
【答案】
A
【解析】由题意，复数
，
所以复数
对应点为
位于第一象限.
故答案为：A.
5.已知复数
，
，则
为（???
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】由题意，复数
，
可得
，
则
。
故答案为：C.
6.已知
(其中a，
，i是虚数单位)，则a+b的值为（???
）
A.?-2??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?-4
【答案】
C
【解析】因为
，所以
，所以
.
故答案为：C．
7.已知复数
，则下列说法正确的是（?
?）
A.?复数
的实部为3???????????????????????????????????????????????B.?复数
的虚部为
C.?复数
的共轭复数为
??????????????????????????D.?复数的模为1
【答案】
C
【解析】
，
所以
的实部为
，虚部为
，
的共轭复数为
，模为
，
故答案为：C.
8.已知复数
在复平面内对应的点在第三象限，则实数
的取值范围是（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】
，
若复数在复平面内对应的点在第三象限，
则
，解得
，
所以
的取值范围是
，
故答案为：B.
9.若
（
）与
互为共轭复数，则
的值为（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】
?
，
又
与
互为共轭复数，
，
，则
.
故答案为：A.
10.复数
与复数
在复平面上的对应点分别是
、
，则
等于(??
)
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】∵
复数
∴复数
在复平面上的对应点
∵复数
在复平面上的对应点是
∴
∴
∵
，
∴
∴
∴
故答案为：B
11.已知两非零复数
，若
，则一定成立的是（?
?）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】利用排除法：
当
时，
，而
，选项A错误，
，选项B错误，
当
时，
，而
，选项C错误，
故答案为：D.
12.
+
=（??
）
A.?﹣1﹣i????????????????????????????????????B.?1+i????????????????????????????????????C.?﹣1+i????????????????????????????????????D.?1﹣i
【答案】C
【解析】解：
+
=
=
．
故选：C．
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.设O是原点，向量
对应的复数分别为
那么，向量
对应的复数是________．
【答案】
5-5i
【解析】解：因为
=（2+3,
-3-2）=（5,-5），所以向量
对应的复数是5-5i。
14.已知复数
（
，
为常数，
）是复数
的一个平方根，那么复数
的两个平方根为________.
【答案】
ai-b,-ai+b
【解析】由题
,故
,
即
,故复数
的两个平方根为
与
故答案为：
,
15.已知互异复数
，集合
，则
________．
【答案】
-1
【解析】
，
①或
②.
，
由①得
（舍），
由②两边相减得，
，
故答案为
.
16.设复数a+bi（a，b∈R）的模为
，则（a+bi）（a﹣bi）=________．
【答案】3
【解析】解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为
，
所以a2+b2=
=3，则（a+bi）（a﹣bi）=a2+b2=3；
故答案为：3．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.设
是虚数，
是实数，且
.
（1）求
的值以及
的实部的取值范围；
（2）若
，求证
为纯虚数；
（3）在（2）的条件下，求
的最小值.
【答案】
（1）解：由
是虚数，设
，则
，
因为
为实数，所以
且
，所以
所以
，
此时
，
因为
，所以
，得
（2）解：因为
，且
，
所以
，
因为
，
，所以
为纯虚数
（3）解：
，
由
，得
，
故当且仅当
，即
时，
有最小值1
【解析】（1）设出复数
，写出
的表示式，进行复数的运算，把
整理成最简形式，再根据所给
的范围，得到
的虚部为0，实部属于这个范围，得到
的实部的范围；（2）根据设出的
，整理
的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长为1，得到
是一个纯虚数；（3）
，再利用基本不等式即可求得结果。
18.计算:
（1）
;
（2）
.
【答案】
（1）解：
（2）解：
.
【解析】（1）先计算
，再计算
得到答案.（2）化简得到
，再计算得到答案.
19.已知复数
，
.
（1）求
及
并比较大小；
（2）设
，满足条件
的点
的轨迹是什么图形？
【答案】
（1）解：
，
，
∴
.
（2）解：由
及（1）知
.
因为
的几何意义就是复数
对应的点到原点的距离，所以
表示
所表示的圆外部所有点组成的集合，
表示
所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以
为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），如图所示．
【解析】（1）利用复数的模的计算公式求出
、
即可解答.（2）根据
的几何意义及（1）中所求的模
、
可知
的轨迹.
20.?
?????????????????????????
（1）已知
，且
，求
；
（2）已知
是关于
的方程
的一个根，求实数
的值.
【答案】
（1）解：由
，得
，所以
（2）解：由于
是方程
一根，则
即：
，所以，
，
解得，
.
【解析】（1）根据题目中所给的条件的特点，利用复数代数形式的混合运算即可得出；
（2）利用实系数一元二次方程虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．
21.已知复数Z1
，
Z2在复平面内对应的点分别为A（﹣2，1），B（a，3）．
（1）若|Z1﹣Z2|=
，求a的值．
（2）复数z=Z1?Z2对应的点在二、四象限的角平分线上，求a的值．
【答案】
（1）解：由复数的几何意义可知：Z1=﹣2+i，Z2=a+3i．
∵|Z1﹣Z2|=
，∴|﹣a﹣2﹣2i|=
=
．
解得a=﹣3或﹣1
（2）解：复数z=Z1?Z2=（﹣2+i）（a+3i）=（﹣2a﹣3）+（a﹣6）i对应的点在二、四象限的角平分线上，
依题意可知点（﹣2a﹣3，a﹣6）在直线y=﹣x上
∴a﹣6=﹣（﹣2a﹣3），解得a=﹣9
【解析】（1）利用复数的几何意义和模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则和几何意义即可得出．
22.在复平面中，已知A，B，C三点分别对应复数2+i，4+3i，3+5i，又知点D与这三点构成平行四边形，求点D对应的复数．
【答案】
解：由于平行四边形对角线互相平分
故在复平面上，若平行四边形ABCD，则四个顶点满足：
A、C两顶点的和等于C、D两个顶点的和
即：2+i+3+5i=4+3i+Z
故Z=1+3i
若平行四边形ABDC，则四个顶点满足：
A、D两顶点的和等于B、C两个顶点的和
即：2+i+Z=4+3i+3+5i
故Z=5+7i
若平行四边形ADBC，则四个顶点满足：
A、B两顶点的和等于D、C两个顶点的和
即：2+i+4+3i=Z+3+5i
故Z=3﹣i
点D对应的复数为3﹣i或1+3i或5+7i
【解析】该题应考虑三种情形，然后根据平行四边形对角线上两顶点的和相等建立等式，可求出点D对应的复数。
