2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
8.1基本立体图形
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（???
）
A.?10????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
2.下列命题正确的是（???
）
A.?底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.?斜棱柱的侧面中可能有矩形
C.?用一个平面去截圆锥，得到的一定是一个圆锥和一个圆台
D.?在圆柱的上?下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
3.一个几何体恰有6个顶点，则这个几何体可能是（???
）
A.?四棱柱????????????????????????????????B.?四棱台????????????????????????????????C.?五棱锥????????????????????????????????D.?五棱台
4.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有（????
）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
5.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是（???
）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?90°
6.一个圆锥的母线长为l，母线与轴的夹角为
，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
7.下列命题正确的是（?
）
A.?棱柱的侧面都是长方形???????????????????????????????????????B.?棱柱的所有面都是四边形
C.?棱柱的侧棱不一定相等???????????????????????????????????????D.?—个棱柱至少有五个面
8.圆台的上、下底面面积分别为
和
，则这个圆台的高和截得圆台的原圆锥的高的比是（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
9.已知空间四边形
中，
分别是
的中点，则下列判断正确的是（
??）
A.???????????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????????D.?
10.如图所示的简单组合体的结构特征是(
??)
A.?由两个四棱锥组合成的???????????????????????????????????????B.?由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的
C.?由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的??????????????????D.?由一个四棱锥和一个四棱台组合成的
11.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为(
??)
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
12.如图所示的平面结构，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(??
)
A.?一个球体?????????B.?一个球体中间挖去一个圆柱?????????C.?一个圆柱?????????D.?一个球体中间挖去一个棱柱
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知长方体的三个不同侧面的面积分别为2、5、10，则长方体的体对角线长是________
14.如图，已知三棱锥
，点P是
的中点，且
，过点P作一个截面，使截面平行于
和
，则截面的周长为________.
15.已知三棱锥
的三条侧棱
，
，
两两互相垂直且
，此三棱锥的外接球的表面积为
．设
，
，则
的最大值是________．
16.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.如图所示，正四棱台
的高是17cm，上、下两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.
18.如图，在长方体
中，
，P，Q分别为
与
中点.
???
??????
（1）经过P，Q作平面
，平面
与长方体
六个表面所截的截面可能是n边形，请根据
的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如
只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；
（2）若R为直线
上的一点，且
，求过
截面图形的周长.
19.如图所示，有一块矩形铁皮
，
，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面.试求：
（1）矩形铁皮
的长度；
（2）做成的圆锥体的体积.
20.如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为
m，制造这个塔顶需要多少铁板？
21.某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示，设
．(注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．)
（1）用
表示圆柱的高；
（2）实践表明，当球心O和圆柱底面圆周上的点D的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，试求出OD最大值，并求出此时
的值．
22.如图，在直角梯形ABCD中，∠DAB=∠CBA=90°，∠DCB=60°，AD=1，AB=
，在直角梯形内挖去一个以A为圆心，以AD为半径的四分之一圆，得到图中阴影部分，求图中阴影部分绕直线AB旋转一周所得旋转体的体积、表面积．2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
8.1基本立体图形
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（???
）
A.?10????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为
，
所以底面圆的半径为r=10，
所以圆锥的高为
.
故答案为：B
2.下列命题正确的是（???
）
A.?底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.?斜棱柱的侧面中可能有矩形
C.?用一个平面去截圆锥，得到的一定是一个圆锥和一个圆台
D.?在圆柱的上?下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
【答案】
B
【解析】A中，底面是正多边形，侧棱均相等的棱锥是正棱锥，故命题错误；
B中，长方体是直棱柱，沿着一组边的方向倾斜后变成斜棱柱，仍有两个侧面是矩形，故斜棱柱的侧面中可能有矩形，命题正确；
C中，用一个平行于底面的平面去截圆锥，得到的一定是一个圆锥和一个圆台，否则就不是一个圆锥和一个圆台，故命题错误；
D中，在圆柱的上?下底面的圆周上各取一点，两点连线，满足垂直底面的线才是圆柱的母线.
故答案为：B.
3.一个几何体恰有6个顶点，则这个几何体可能是（???
）
A.?四棱柱????????????????????????????????B.?四棱台????????????????????????????????C.?五棱锥????????????????????????????????D.?五棱台
【答案】
C
【解析】对于A，四棱柱是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意；
对于B，四棱台是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意；
对于C，五棱锥有6个顶点，满足题意；
对于D，五棱台是上下底面均为五边形，有10个顶点，不满足题意.
故答案为：C
4.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有（????
）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】
D
【解析】如图在正方体
中，
四棱锥
的四个侧面都是直角三角形，
故答案为：D.
5.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是（???
）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?90°
【答案】
C
【解析】若圆锥如下图所示，则侧面展开图半圆的半径
，底面半径
，
由题意知：
，即
，
∴轴截面对应等腰三角形的底角
，
∴
，
故答案为：C
6.一个圆锥的母线长为l，母线与轴的夹角为
，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】设半径为r，
由母线长为l，母线与轴的夹角为
，
得：
，
则底面圆的周长为：
，
所以该圆锥侧面展开图的圆心角大小为：
.
故答案为：D.
7.下列命题正确的是（?
）
A.?棱柱的侧面都是长方形???????????????????????????????????????B.?棱柱的所有面都是四边形
C.?棱柱的侧棱不一定相等???????????????????????????????????????D.?—个棱柱至少有五个面
【答案】
D
【解析】A不对，侧面都是平行四边形，不一定都是长方形；
B不对，三棱柱的底面是三角形；
C不对，棱柱的侧棱一定相等；
D对，三棱柱的面最少，三个侧面两个底面共5个面，其他棱柱都多余5个面,
故答案为：D.
8.圆台的上、下底面面积分别为
和
，则这个圆台的高和截得圆台的原圆锥的高的比是（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】由于圆台的上、下底面面积分别为
和
，所以上下底面的半径为2和3.设圆台的高为
，截得圆台的原圆锥的高为
，这
，即
.
故答案为：B
9.已知空间四边形
中，
分别是
的中点，则下列判断正确的是（
??）
A.???????????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】取AD中点E，连接ME，NE，
MN＜ME+EN=
BD+
AC．
故答案为：D．
10.如图所示的简单组合体的结构特征是(
??)
A.?由两个四棱锥组合成的???????????????????????????????????????B.?由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的
C.?由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的??????????????????D.?由一个四棱锥和一个四棱台组合成的
【答案】
A
【解析】这个8面体是由两个四棱锥组合而成，故A符合题意。
故选A
11.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为(
??)
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】截面图形应为图C所示的圆环面．故C符合题意。
故选C
12.如图所示的平面结构，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(??
)
A.?一个球体?????????B.?一个球体中间挖去一个圆柱?????????C.?一个圆柱?????????D.?一个球体中间挖去一个棱柱
【答案】
B
【解析】圆绕中间轴旋转一周得到的几何体是球，矩形绕中间轴旋转一周得到的几何体是圆柱则如图所示的平面结构，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为一个球体中间挖去一个圆柱，故B符合题意
故选B
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知长方体的三个不同侧面的面积分别为2、5、10，则长方体的体对角线长是________
【答案】
【解析】设长方体的三条棱长分别为
，
则
，解得
，∴对角线长为
．
故答案为：
．
14.如图，已知三棱锥
，点P是
的中点，且
，过点P作一个截面，使截面平行于
和
，则截面的周长为________.
【答案】
6
【解析】设AB、BC、VC的中点分别为D、E、F，连接DE、EF、PF、PD，如图所示
因为D、E分别为AB、BC的中点，所以
，
同理P、D分别为VA、AB的中点，所以
，
平面EFPD，
平面EFPD，
所以
平面EFPD，
平面EFPD，
所以截面EFPD就是所求平面，
因为
，所以
,
，
所以截面EFPD的周长为2+2+1+1=6，
故答案为：6
15.已知三棱锥
的三条侧棱
，
，
两两互相垂直且
，此三棱锥的外接球的表面积为
．设
，
，则
的最大值是________．
【答案】
【解析】因为三棱锥
的三条侧棱
，
，
两两互相垂直且
，
设
，
，
，
则在
中，由勾股定理得
，即
；①
在
中，由勾股定理得
，即
，
即
；②
在
中，由勾股定理得
，即
；③
由①+②+③，可得得
，
即
．④
因为易知三棱锥
的外接球即为以
，
，
过同一顶点三条棱的长方体的外接球，又因为此三棱锥的外接球的表面积为
，
设外接球的半径为
，则
，所以
且
，
代入④中，得
，即
，
由
，得
，即
，所以
，
当且仅当
时等号成立，所以
的最大值为
．
故答案为：
16.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
【答案】
【解析】解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于
，所以该多面体的体积为
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.如图所示，正四棱台
的高是17cm，上、下两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.
【答案】
解：设棱台两底面的中心分别是点O和
，
，BC的中点分别是
，E.连接
，
，
，OB，
，OE，则四边形
，
都是直角梯形，如图.
正方形ABCD中，∵
，
∴
，
.
在正方形
中，∵
，
∴
，
.
在直角梯形
中，
.
在直角梯形
中，
.
故这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为
.
【解析】根据题意作出辅助线由棱台的性质结合直角梯形以及正方形结合勾股定理计算出棱长以及高的值。
18.如图，在长方体
中，
，P，Q分别为
与
中点.
???
??????
（1）经过P，Q作平面
，平面
与长方体
六个表面所截的截面可能是n边形，请根据
的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如
只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；
（2）若R为直线
上的一点，且
，求过
截面图形的周长.
【答案】
（1）解：
（2）解：如图所示：
分别为
的中点，易知
，确定平面
，
易知
，
，
，
，
，
，故
，
.
，
，故周长为
.
【解析】（1）画出截面图得到答案.（2）画出截面图，计算线段长度得到周长.
19.如图所示，有一块矩形铁皮
，
，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面.试求：
（1）矩形铁皮
的长度；
（2）做成的圆锥体的体积.
【答案】
（1）解：如图所示：取半圆的圆心记作
点，圆面的圆心记作
，作
交
于点
，设圆锥底面半径为
，圆锥母线长为
，则：
，
在
中，由勾股定理可得：
（2）解：由（1）可得：圆锥的母线长
，底面半径
，
则圆锥的高为：
圆锥的体积为：
【解析】（1）取半圆的圆心记作
点，圆面的圆心记作
，作
交
于点
，求出圆锥底面半径
和母线长
，利用勾股定理，结合图形求出
的值；（2）由圆锥的母线长和底面半径求得圆锥的高，再计算圆锥的体积．
20.如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为
m，制造这个塔顶需要多少铁板？
【答案】
解：如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO．作SP⊥AB，连接OP．
在Rt△SOP中，SO＝
（m），OP＝
BC＝1（m），
所以SP＝2
（m），
则△SAB的面积是
×2×2
＝2
（
）．
所以四棱锥的侧面积是4×2
＝8
（
），
即制造这个塔顶需要8
铁板．
【解析】利用四棱锥的结构特征结合等腰三角形和直角三角形的结构特征，再利用三角形的面积公式结合四棱锥的侧面积公式，从而求出制造这个塔顶需要的铁板面积。
21.某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示，设
．(注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．)
（1）用
表示圆柱的高；
（2）实践表明，当球心O和圆柱底面圆周上的点D的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，试求出OD最大值，并求出此时
的值．
【答案】
（1）解：作
于点M
，
在直角三角形OAM中，
因为
，
所以
，?
又四边形ABCD是等边圆柱的轴截面，
所以四边形ABCD为正方形，
故
（2）解：由余弦定理可得：
因为
，所以
，
所以当
，即
时，
取得最大值
，
所以当
时，OD的最大值为
．
答：当
时，观赏效果最佳．
【解析】（1）由圆柱和球的位置关系，得出AB与球的半径OA的关系，即可求得圆柱的高.
（2）先由余弦定理将OD表示为的关系式，利用正弦函数图象即可得出结论.
22.如图，在直角梯形ABCD中，∠DAB=∠CBA=90°，∠DCB=60°，AD=1，AB=
，在直角梯形内挖去一个以A为圆心，以AD为半径的四分之一圆，得到图中阴影部分，求图中阴影部分绕直线AB旋转一周所得旋转体的体积、表面积．
【答案】解：∵直角梯形ABCD中，∠DAB=∠CBA=90°，∠DCB=60°，AD=1，AB=
，
∴CD=2，BC=2，
由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面，
S半球=
=2π，S圆台侧=π×2×2+π×1×2=6π，S圆台底=π×22=4π．
故所求几何体的表面积为：2π+6π+4π=12π．
由V圆台=
（22+12+2×1）=
π，
=
，
所以，旋转体的体积为：V=V圆台﹣V半球=
．
【解析】旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据可求其表面积和体积．
