2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
8.3简单几何体的表面积与体积
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.圆柱底面周长为
，高为4，则它的体积为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
2.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
3.已知正四棱锥
的高为
，且
，则正四棱锥
的侧面积为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
4.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为(???
)
A.?41π?????????????????????????????????????B.?42π?????????????????????????????????????C.?43π?????????????????????????????????????D.?44π
5.在长方体
中，
，
与平面
所成的角为
，则该长方体的体积为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
6.已知点
在同一个球的球表面上，
平面
，
，
，
，则该球的表面积为（?
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
7.如图，边长为
的正方形
中，点
、
分别是
、
的中点，将
、
、
分别沿
、
、
折起，使得
、
、
三点重合于点
，若四面体
的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（???
）．
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
8.日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为
，矩形的宽和正方形的边长均为
.若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为
，则
的最大值为（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.?32π?????????????????????????????????D.?
9.古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即
，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式
中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”，类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式
求体积（在正四面体中，D表示正四面体的棱长；在正方体中，D表示棱长），假设运用此体积公式求得球（直径为a）、正四面体（正四面体棱长为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为
，
，
，那么
的值为（???
）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
10.如图，在正四棱台
中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点
分别在
上，且
.过点
的平面
与此四棱台的下底面会相交，则平面
与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为（??
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
11.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
12.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱
．若侧面
水平放置时，液面恰好过
的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为（???
）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?4
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.如图所示，多面体
中对角面
是边长为6的正方形，
，
，且
，
到平面
的距离都是3，则该多面体的体积为________.
14.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1
，
S1
，
底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2
，
S2
，
若
＝
，则
的值为________.
15.在长方体
中，底面
是边长为4的正方形，侧棱
，
是
的中点，点
是侧面
内的动点（包括四条边上的点），且满足
，则三棱锥
的体积的最大值是________.
16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称粽子，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期的楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形组成的，将它沿虚线对折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为________
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.高二A班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务.已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要1300元，此桶装冰激凌桶内底面直径为25厘米，冰激凌净高20厘米.单球冰激凌的平均直径约为5厘米，一副一次性杯勺的成本约1元(其他成本忽略不计).根据前期调查，冰激凌球能全部售完.高二A班打算将每个单球冰激凌定价为15元，你认为这样的定价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由.
18.据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比；
（2）假设球半径
．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.
19.底面边长为2的正三棱锥
,其表面展开图是三角形
，如图，求△
的各边长及此三棱锥的体积
.
20.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.
21.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为
的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.
22.如图所示的几何体是一棱长为4
cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2
cm、深为1
cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
8.3简单几何体的表面积与体积
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.圆柱底面周长为
，高为4，则它的体积为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】设圆柱底面半径为
，
则
，解得
，
则该圆柱的体积为
.
故答案为：D.
2.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】由题意知：圆锥母线长为R，底面半径
，则它的高
，
∴根据圆锥体积公式
，
故答案为：A
3.已知正四棱锥
的高为
，且
，则正四棱锥
的侧面积为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】正四棱锥的底面边长为
，高为
，
则侧面的高为
，
所以侧面积为
.
故答案为：D
4.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为(???
)
A.?41π?????????????????????????????????????B.?42π?????????????????????????????????????C.?43π?????????????????????????????????????D.?44π
【答案】
A
【解析】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，
即为
，
∴该球形容器体积的最小值为：4
41π.
故答案为：A.
5.在长方体
中，
，
与平面
所成的角为
，则该长方体的体积为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】在长方体
中，连接
，
根据线面角的定义可知
，
因为
，所以
，从而求得
，
所以该长方体的体积为
。
故答案为：C.
6.已知点
在同一个球的球表面上，
平面
，
，
，
，则该球的表面积为（?
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是原三棱锥的外接球，它的直径为
，故球的表面积为
，
故答案为：B．
7.如图，边长为
的正方形
中，点
、
分别是
、
的中点，将
、
、
分别沿
、
、
折起，使得
、
、
三点重合于点
，若四面体
的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（???
）．
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】四面体
为底面为等腰
，顶点为
的三棱锥
，
则
，
，
，
，则
，
，
又
，则
为直角三角形，
，
以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
设四面体
的外接球的球心为
，则
，
由空间两点间距离公式知：
，
，
，
解得
，
，
，
所以半径为
，
所以该球的表面积为
.
故答案为：B
8.日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为
，矩形的宽和正方形的边长均为
.若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为
，则
的最大值为（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.?32π?????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】根据题意作出礼盒的直观图如下图所示：
由图可知该几何体为直三棱柱，
设等腰三角形的内切圆半径为
，又因为等腰三角形的高为
，
所以根据等面积法可知：
，所以
，
又因为正方形的边长为
，所以
，
所以球形硬糖的半径最大值为
，所以体积
的最大值为
，
故答案为：A.
9.古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即
，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式
中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”，类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式
求体积（在正四面体中，D表示正四面体的棱长；在正方体中，D表示棱长），假设运用此体积公式求得球（直径为a）、正四面体（正四面体棱长为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为
，
，
，那么
的值为（???
）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】
，
，
如图所示，设正四面体P-ABCD的棱长为a，PO为正四面体的高，
?
可知正四面体底面高
，则
，
由勾股定理可得正四面体的高
，
所以正四面体的体积
，
，
，
故答案为：B.
10.如图，在正四棱台
中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点
分别在
上，且
.过点
的平面
与此四棱台的下底面会相交，则平面
与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为（??
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】当斜面α经过点
时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为等腰梯形，上底为MN=4，下底为BC=8
此时作正四棱台
俯视图如下：
则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5
因为正四棱台
的高为5，所以截面等腰梯形的高为
所以截面面积的最大值为
故答案为：B
11.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】如图所示，在正方体
中，三棱锥
符合题目条件，且三棱锥
的四个侧面全为等边三角形，
设正方体的棱长为
，则三棱锥
的棱长为
，
所以正方体
的表面积为
，
，即三棱锥
的表面积为
，
则三棱锥
的表面积与正方体
的表面积之比为：
．
故答案为：B．
12.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱
．若侧面
水平放置时，液面恰好过
的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为（???
）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】
A
【解析】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，
设△ABC的面积为S，则S梯形＝
S，水的体积V水＝
S×AA1＝6S，
当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，
则有V水＝Sh＝6S，故h＝6.
故答案为：A．
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.如图所示，多面体
中对角面
是边长为6的正方形，
，
，且
，
到平面
的距离都是3，则该多面体的体积为________.
【答案】
108
【解析】由题意可知，
，则多面体
为直三棱柱
同理可证多面体
为直三棱柱
则该多面体的体积为
故答案为：108
14.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1
，
S1
，
底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2
，
S2
，
若
＝
，则
的值为________.
【答案】
【解析】不妨设V1＝27，V2＝9π，故V1＝a3＝27，即a＝3，所以S1＝6a2＝54.
如图所示，
又V2＝
h×πr2＝
πr3＝9π，即r＝3，所以l＝
r，
即S2＝
l×2πr＝
πr2＝9
π，所以
＝
＝
故答案为：
.
15.在长方体
中，底面
是边长为4的正方形，侧棱
，
是
的中点，点
是侧面
内的动点（包括四条边上的点），且满足
，则三棱锥
的体积的最大值是________.
【答案】
【解析】做
于
，
在长方体
中，
平面
，
平面
所以在
和
中，
，
因为
，
，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，又
于
，
所以可得
平面
，
设
，则
，
，
由
，得
即
，
整理得
，
开口向下，对称轴
，
所以在
单调减，
所以
时，
取最大值，为
所以
，
所以三棱锥
的体积的最大值为
.
故答案为
.
16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称粽子，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期的楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形组成的，将它沿虚线对折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为________
【答案】
【解析】由题意可知该六面体是由两个正四面体组合成的，如图，三棱锥
即为棱长为2的正四面体，
取
中点
，连接
，在
上取一点
，使
，连接
，
易知
，
，点
为
的中心，
为该三棱锥的高，
所以
，
，
所以
，
所以该六面体的体积为
.
故答案为：
.
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.高二A班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务.已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要1300元，此桶装冰激凌桶内底面直径为25厘米，冰激凌净高20厘米.单球冰激凌的平均直径约为5厘米，一副一次性杯勺的成本约1元(其他成本忽略不计).根据前期调查，冰激凌球能全部售完.高二A班打算将每个单球冰激凌定价为15元，你认为这样的定价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由.
【答案】
解：
，
，
每个单球冰激凌的成本价为
(元)，
定价为15元，利润率约为55%，较为合理
【解析】根据条件先求圆柱和单球冰激凌的体积，再计算每个单球冰激凌的成本，最后比较.
18.据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比；
（2）假设球半径
．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.
【答案】
（1）解：设球的半径为r，则圆柱底面半径为r，高为
圆柱的体积
球的体积
圆柱与球的体积比为：
（2）解：由题意可知：圆锥底面半径为
，高为
圆锥的母线长：
圆锥体积：
.
圆锥表面积：
.
【解析】（1）利用球和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的半径得出圆锥的底面半径以及高，进而得出母线长，再由圆锥的体积公式以及圆的面积公式，扇形的面积公式得出圆锥的体积和表面积.
19.底面边长为2的正三棱锥
,其表面展开图是三角形
，如图，求△
的各边长及此三棱锥的体积
.
【答案】
解：由题意
中
，
，
，所以
是
的中位线，因此
是正三角形，且边长为4．
即
，三棱锥
是边长为2的正四面体
∴如右图所示作图，设顶点
在底面
内的投影为
，连接
，并延长交
于
∴
为
中点，
为
的重心，
底面
∴
，
，
【解析】由于展开图是
，
分别是所在边的中点，根据三角形的性质，
是正三角形，其边长为4，原三棱锥的侧棱也是2，要求棱锥的体积需要求出棱锥的高，由于是正棱锥，顶点
在底面上的射影是底面
的中心，由相应的直角三角形可求得高，得到体积．
20.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.
【答案】
解：两半球的表面积为S1=4πr2=4π，圆柱的侧面积为S2=2πrl=2π×1×3=6π，故该组合体表面积为4π+6π=10π，两半球的体积为V1=
πr3=
π，圆柱的体积为V2=πr2·l=π×12×3=3π，故该几何体的体积为V1+V2=
π+3π=
π.
【解析】该组合体为两半球+圆柱，利用球与圆柱的表面积和体积，即可求解.
21.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为
的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.
【答案】
解：如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为
r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝
(
r)2·3r－
r3＝
r3
，
将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为
h，从而容器内水的体积为V′＝
2h＝
h3
，
由V＝V′，得h＝
r.
【解析】利用V＝V圆锥－V球
，
求出容器内水的体积，再利用圆锥的体积公式求解。
22.如图所示的几何体是一棱长为4
cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2
cm、深为1
cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)
【答案】
解：正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)，
圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)，
则挖洞后几何体的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm2)．
【解析】求出正方体的表面积、圆柱的侧面积，即可得出结论。
