2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.对于空间中的两条不同直线
，
和一个平面
，下列命题正确的是（???
）
A.?若
，
，则
??????????????????????????????????B.?若
，
，则
C.?若
，
，则
????????????????????????????????D.?若
，
，则
2.“YouBike微笑自行车”是一项惠民、利民、亲民的社会公共服务项目，当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（???
）
A.?三点确定一平面??????????????????????????????????????????????????B.?两条相交直线确定一平面
C.?不共线三点确定一平面???????????????????????????????????????D.?两条平行直线确定一平面
3.若
，则l与a的位置关系一定是（???
）
A.?平行???????????????????????????????B.?相交???????????????????????????????C.?异面???????????????????????????????D.?l与a没有公共点
4.下列命题正确的是（???
）
A.?三点确定一个平面??????????????????????????????????????????????B.?一条直线和一个点确定一个平面
C.?梯形可确定一个平面???????????????????????????????????????????D.?圆心和圆上两点确定一个平面
5.准确表达“0是自然数，直线a在平面
内”的是（???
）
A.?
，
??????????????B.?
，
??????????????C.?
，
??????????????D.?
，
6.如图，在四面体中，若直线
和
相交，则它们的交点一定（???
）
A.?在直线
上?????????????????????B.?在直线
上?????????????????????C.?在直线
上?????????????????????D.?都不对
7.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（?
）
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
8.如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧棱
平面
，
，
，点
在线段
上，且
，则当
的面积最小时，线段
的长度为(??
)
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????D.?
9.如图，在正方体
中，
分别是
的中点，则下列判断错误的是(
??)
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
10.下列命题正确的是（??
）
A.?如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
B.?如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面
C.?如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面
D.?如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
11.如图，圆锥的高
，底面圆O的直径
，C是圆上一点，且
，则直线PC和平面AOC所成角的正弦值为
?
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
12.已知正方体
中，
，
分别是它们所在线段的中点，则满足
平面
的图形个数为（???
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.如图，在正方体
中，点
为线段
的中点.设直线
与平面
成的角为
，则
?________．
14.AB，AD?α，CB，CD?β，E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA，若直线EH与FG相交于点P，则点P必在直线________上.
15.设平面α与平面β相交于直线l
，
直线a?α
，
直线b?β
，
a∩b＝M
，
则点M与l的位置关系为________．
16.如图，正方体
的棱长为
1，
为
的中点，
为线段
上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为
.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①当
时，
为四边形；②当
时，
为等腰梯形；③当
时，
为六边形；④当
时，
的面积为
.
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.??（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形：
①直线
在平面
内；
②直线m不在平面
内；
③直线m与平面
交于点A；
④直线l不经过点A.
（2）如图，在长方体
中，
为棱
的中点，F为棱
的三等分点，画出由
三点所确定的平面
与平面
的交线.(保留作图痕迹)
18.（1）已知某圆柱的体积为
，侧面积为
，求该圆柱的高与表面积；
（2）如图，
，
与
、
分别交于A、B两点，
与
、
分别交于C、D两点，
，证明：A、B、C、D、E五点共面.
19.在四面体ABCD中，过棱AB的上一点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H
（1）求证：截面EFGH为平行四边形
（2）若P、Q在线段BD、AC上，
，且P、F不重合，证明：PQ∥截面EFGH
20.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．
21.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1
，
O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C1O∥面AB1D1；
（2）A1C⊥面AB1D1
．
22.如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，
，E为棱PC上不与点C重合的点．
（1）求证：平面
平而PAC；
（2）若
，且二面角
的平面角为45°，求三棱锥
的体积．2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.对于空间中的两条不同直线
，
和一个平面
，下列命题正确的是（???
）
A.?若
，
，则
??????????????????????????????????B.?若
，
，则
C.?若
，
，则
????????????????????????????????D.?若
，
，则
【答案】
D
【解析】对于A，若
，
，则
可能平行，相交或者异面，所以不正确；
对于B，若
，
，则
或者
，所以不正确；
对于C，若
，
，则
或者
，所以不正确；
对于D，垂直于同一平面的两直线平行，所以正确.
故答案为：D
2.“YouBike微笑自行车”是一项惠民、利民、亲民的社会公共服务项目，当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（???
）
A.?三点确定一平面??????????????????????????????????????????????????B.?两条相交直线确定一平面
C.?不共线三点确定一平面???????????????????????????????????????D.?两条平行直线确定一平面
【答案】
C
【解析】自行车两个车轮与地面的切点，以及撑脚与地面的交点，组成不共线的三点，不共线的三点确定一平面.
故答案为：C.
3.若
，则l与a的位置关系一定是（???
）
A.?平行???????????????????????????????B.?相交???????????????????????????????C.?异面???????????????????????????????D.?l与a没有公共点
【答案】
D
【解析】因为
所以直线
与平面
无公共点，又
，所以l与a没有公共点.
故答案为：D
4.下列命题正确的是（???
）
A.?三点确定一个平面??????????????????????????????????????????????B.?一条直线和一个点确定一个平面
C.?梯形可确定一个平面???????????????????????????????????????????D.?圆心和圆上两点确定一个平面
【答案】
C
【解析】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，A选项错误.
对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，B选项错误.
对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.
对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.
故答案为：C
5.准确表达“0是自然数，直线a在平面
内”的是（???
）
A.?
，
??????????????B.?
，
??????????????C.?
，
??????????????D.?
，
【答案】
B
【解析】0是自然数是元素与集合的关系，所以
；直线a在平面
内是集合与集合的关系，
所以
.
故答案为：B
6.如图，在四面体中，若直线
和
相交，则它们的交点一定（???
）
A.?在直线
上?????????????????????B.?在直线
上?????????????????????C.?在直线
上?????????????????????D.?都不对
【答案】
A
【解析】依题意有：由于交点在
上，故在平面
上，同理由于交点在
上，故在平面
上，故交点在这两个平面的交线
上.
故答案为：A
7.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（?
）
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
【答案】
D
【解析】在A图中：分别连接PS，QR，
则PS∥QR，∴P，S，R，Q共面．
在B图中：过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面．
在C图中：分别连接PQ，RS，则PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．
在D图中：PS与RQ为异面直线，∴P，Q，R，S四点不共面．
故答案为：D．
8.如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧棱
平面
，
，
，点
在线段
上，且
，则当
的面积最小时，线段
的长度为(??
)
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】由题意，设
，
，则
.
因为
平面
，
平面
，
所以
，又
，
，所以
平面
，则
.
易知
，
，
在
中，
，即
，化简得
.
在
中，
，
，
所以
，
当且仅当
时，取等号，此时
.
【分析】首先根据题意设
，
，进而得出
平面
，
，在
中得出
，
再利用基本不等式的应用得出BC的长度。
9.如图，在正方体
中，
分别是
的中点，则下列判断错误的是(
??)
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
【答案】
D
【解析】连接
，可知
为
中点
又
为
中点，可知
选项：
平面
，
平面
???
又
，所以
，可知
正确；
选项：
，
，
???
平面
又
，所以
平面
，可知
正确；
选项：
，
平面
???
平面
，可知
正确；
选项：
，
，
，可知
与
不平行，即
错误.
故答案为：
10.下列命题正确的是（??
）
A.?如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
B.?如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面
C.?如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面
D.?如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
【答案】
D
【解析】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或相交，或异面，A不符合题意；
如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线不一定垂直于这个平面，B不符合题意；
如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面，但平面内直线不满足条件，C不符合题意；
果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，D符合题意；
故答案为：D
11.如图，圆锥的高
，底面圆O的直径
，C是圆上一点，且
，则直线PC和平面AOC所成角的正弦值为
?
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】
圆锥的高
，底面圆O的直径
，C是圆上一点，且
，
平面
，
，
是直线
与平面
所成角，
直线
和平面
所成角的正弦值为：
，
故答案为：B．
12.已知正方体
中，
，
分别是它们所在线段的中点，则满足
平面
的图形个数为（???
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
【答案】
B
【解析】②中，
，而
平面
，
平面
，故
平面
；
①中，平移
至
，知
与面
只有一个交点
，则
与面
不平行；
③中，同样平移
至
，知
与面
只有一个交点
，则
与面
不平行；
故答案为：B．
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.如图，在正方体
中，点
为线段
的中点.设直线
与平面
成的角为
，则
?________．
【答案】
【解析】取截面
，设
的中点
，连接
交
于E点，
易知
到直线
的距离d即
到平面
的距离d，设AB=2
，
∴
故答案为：
14.AB，AD?α，CB，CD?β，E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA，若直线EH与FG相交于点P，则点P必在直线________上.
【答案】
BD
【解析】P∈EH，EH?α，故P∈α，同理P∈β，而α∩β=BD，所以P∈BD.
15.设平面α与平面β相交于直线l
，
直线a?α
，
直线b?β
，
a∩b＝M
，
则点M与l的位置关系为________．
【答案】
M∈l
【解析】因为a∩b＝M
，
a
α
，
b
β
，
所以M∈α
，
M∈β.又平面α与平面β相交于直线l
，
所以点M在直线l上，即M∈l.
16.如图，正方体
的棱长为
1，
为
的中点，
为线段
上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为
.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①当
时，
为四边形；②当
时，
为等腰梯形；③当
时，
为六边形；④当
时，
的面积为
.
【答案】
①②④
【解析】连接
并延长交
于
，再连接
，对于①，当
时，
的延长线交线线段
与点
，且
在
与
之间，连接
则截面为四边形
，①正确；
当
时，即
为
中点，此时可得
，故可得截面
为等腰梯形，故②正确；由上图当点
向
移动时，满足
，只需
上取点
满足
，即可得截面为四边形
，故①正确；③当
时，只需点
上移即可，此时的截面形状是下图所示的
，显然为五边形，故③不正确；
④当
时，
与
重合，取
的中点
，连接
，可证
，且
，可知截面为
为菱形，故其面积为
，故正确，故答案为①②④.
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.??（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形：
①直线
在平面
内；
②直线m不在平面
内；
③直线m与平面
交于点A；
④直线l不经过点A.
（2）如图，在长方体
中，
为棱
的中点，F为棱
的三等分点，画出由
三点所确定的平面
与平面
的交线.(保留作图痕迹)
【答案】
（1）解：
；
；
；
；示意图如下：
（2）解：如图，直线IL即为所求.
【解析】（1）根据题意，作出示意图即可；（2）根据题意，作出示意图即可.
18.（1）已知某圆柱的体积为
，侧面积为
，求该圆柱的高与表面积；
（2）如图，
，
与
、
分别交于A、B两点，
与
、
分别交于C、D两点，
，证明：A、B、C、D、E五点共面.
【答案】
（1）解：设圆柱的底面半径为
，高为
，则
，解得
.
故该圆柱的表面积为
（2）解：因为
，所以
，
可以确定一个平面
.
因为
，
，所以
，
，所以
，又
，所以
.
因为
，
，所以
，
，
从而A、B、C、D、E五点都在平面
内，即A、B、C、D、E五点共面.
【解析】（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，根据题意建立关于r、h的方程组，解出这两个量，即可计算出圆柱的表面积；（2）由两平行直线确定一个平面，可得出A、B、C、D共面，然后证明
也在这个平面内，即可证明出A、B、C、D、E五点共面.
19.在四面体ABCD中，过棱AB的上一点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H
（1）求证：截面EFGH为平行四边形
（2）若P、Q在线段BD、AC上，
，且P、F不重合，证明：PQ∥截面EFGH
【答案】
（1）证明：∵AD∥平面EFGH，平面ADB
平面EHGH=EF，AD
平面ABD，
∴AD∥EF?
∵AD∥平面EHGH，平面ADC
平面EHGH=GH，AD
平面ADC，.
∴AD∥GH
由平行公理可得EF∥GH
同理可得EH∥FG
∴四边形EFGH为平行四边形
（2）解：如图在CD上取点M，使
，连接MQ
则PM∥BC∥FG，
，则QM∥AD∥HG
PM
QM=M∴平面PMQ∥平面EHGH
∵PQ
平面PMQ
∴PQ∥截面EFGH
【解析】（1）根据题意得出
AD∥EF
，
AD∥GH
进而得出
EF∥GH
，同理也可得出
EH∥FG
，根据平行四边形的判定即证。
（2）首先
在CD上取点M，使
，连接MQ
，故有
PM∥BC∥FG
，结合已知条件得出
QM∥AD∥HG
，进而得出
平面PMQ∥平面EHGH
，即证。
20.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．
【答案】
证明：如图，连接BD．
因为FG是△CBD的中位线，
所以FG∥BD，FG=BD
又因为EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，EH=BD．
根据公理4，FG∥EH，且FG=EH．
所以四边形EFGH是平行四边形．
【解析】要证四边形EFGH是平行四边形，只需证明FG∥EH，且FG=EH即可．依据是平行公理四：和同一条直线平行的直线平行即可．
21.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1
，
O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C1O∥面AB1D1；
（2）A1C⊥面AB1D1
．
【答案】
证明：（1）连接A1C1
，
设A1C1∩B1D1=O1
，
连接AO1
，
∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，
∴A1ACC1是平行四边形，
∴A1C1∥AC且A1C1=AC，
又O1
，
O分别是A1C1
，
AC的中点，
∴O1C1∥AO且O1C1=AO，
∴AOC1O1是平行四边形，
∴C1O∥AO1
，
AO1?面AB1D1
，
C1O?面AB1D1
，
∴C1O∥面AB1D1；
（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!
，
又∵A1C1⊥B1D1
，
∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1
，
∵A1B⊥AB1
，
BC⊥AB1
，
又A1B∩BC=B，
AB1⊥平面A1BC，又A1C?平面A1BC，
∴A1C⊥AB1
，
又D1B1∩AB1=B1
，
∴A1C⊥面AB1D1
【解析】（1）欲证C1O∥面AB1D1
，
根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C1O与面AB1D1内一直线平行，连接A1C1
，
设A1C1∩B1D1=O1
，
连接AO1
，
易得C1O∥AO1
，
AO1?面AB1D1
，
C1O?面AB1D1
，
满足定理所需条件；
（2）欲证A1C⊥面AB1D1
，
根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与面AB1D1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A1C⊥B1D1
，
同理可证A1C⊥AB1
，
又D1B1∩AB1=B1
，
满足定理所需条件．
22.如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，
，E为棱PC上不与点C重合的点．
（1）求证：平面
平而PAC；
（2）若
，且二面角
的平面角为45°，求三棱锥
的体积．
【答案】
（1）证明：
又
，
，
,
（2）解：AC与BD交于点O，连接EO，
过E作
垂足为F，则
即为
的平面角，
【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明线面平行，即可得到面面垂直；
（2）根据二面角的平面角，求出线段的长度，即可得到相应三棱锥的体积.
