2020-2021学年高中数学必修第二册同步测试卷（人教A版2019）
8.6节空间直线、平面的垂直
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.“直线
与平面
内无数条直线垂直”是“直线
与平面
垂直”的（???
）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不必要也不充分条件
【答案】
B
【解析】设命题
：直线
与平面
内无数条直线垂直，
命题
：直线
与平面
垂直，
则
，但
，所以
是
的必要不充分条件.
故答案为：B
2.已知m，
n是两条不同的直线，
α，
β，
γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（???
）
A.?若m⊥α，
n⊥β，则α⊥β???????????????????????????????
????B.?若m//α，
m//β，则α//
β
C.?若m⊥α，
n//α，则m⊥n???????????????????????????
???????D.?若m//α，
n//α，
n⊥β，则m⊥β
【答案】
C
【解析】对于A，若m⊥α，
n⊥β，则平面α、β的位置关系无法确定，A不符合题意；
对于B，若m//α，
m//β，则α//β或平面α、β相交，B不符合题意；
对于C，若n//α，则平面α内存在直线c使得n//c，因为m⊥α，所以m⊥c，所以m⊥n，C符合题意；
对于D，若m//α，
n//α，
n⊥β，则m//n不一定成立，故m⊥β不一定成立，D不符合题意.
故答案为：C.
3.已知直线
平面
，直线
，则（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.?
异面???????????????????????????D.?
相交而不垂直
【答案】
A
【解析】根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此
，
故答案为：A
4.正方体
中与
垂直的平面是（
????）
A.?平面
??????????????????B.?平面
??????????????????C.?平面
??????????????????D.?平面
【答案】
D
【解析】
,
故答案为：D.
5.在正方体
中，直线
（与直线BB1不重合）⊥平面A1C1,则有（?
?）
A.?B1B⊥l????????????????????????????B.?B1B∥l????????????????????????????C.?B1B与l异面????????????????????????????D.?B1B与l相交
【答案】
B
【解析】因为B1B⊥平面A1C1
，
l⊥平面A1C1
，
所以l∥B1B.
故答案为:B.
6.在四棱锥
中，
底面
，底面
为矩形，
，
是
上一点，若
，则
的值为(???
)
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?4
【答案】
C
【解析】因为
底面
，所以
，
又
，故
平面
，故
，此时，
，则
.
因为
，所以
，即
.
7.在正三棱锥
中，点
，
，
分别在棱
，
，
上，
，
，
，则（???
）
A.?平面
平面
???????????B.?平面
平面
???????????C.????????????D.?
【答案】
B
【解析】取
的中点为
，连接
、
，
，
，
，
三棱锥
为正三棱锥，所以
，
，
因此
，
，
又
，
平面
，
平面
，
所以
平面
；因为
平面
，所以平面
平面
；
又因为
，
，
，
所以
，
，则
平面
，
平面
，
又
，所以平面
平面
；所以平面
平面
；即B符合题意；
因为平面
与平面
相交，所以平面
与平面
相交；即A不符合题意；
因为
与
相交，所以
与
异面；即C不符合题意；
因为
，则
，若
，根据
，
平面
，
平面
，可得
平面
，又
平面
，所以平面
平面
，这与该几何体是正三棱锥矛盾（正三棱锥的侧面不与底面垂直），所以
和
不垂直，D不符合题意；
故答案为：B.
8.如图所示，平面
平面
与两平面
所成的角分别为45°、30°，过
，
分别作两平面交线的垂线，垂足分别为
，则
（
??）
A.?2:1????????????????????????????????????????B.?3:1????????????????????????????????????????C.?3:2????????????????????????????????????????D.?4:3
【答案】
A
【解析】如图，连接
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
，
故
平面
，
，同理
平面
.
设
，则
.
则在
中，由勾股定理可得
.
故答案为：A.
9.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于
(???
)
A.?直线AC???????????????????????????B.?直线A1A???????????????????????????C.?直线A1D1???????????????????????????D.?直线B1D1
【答案】
D
【解析】解：如图，直线
垂直于直线
事实上，
为正方体，
为正方形，连结
，
又
为为
的中点，
．
，
面
，
，
又
，
面
，而
面
，
直线
垂直于直线
故答案为：D．
10.若
是
所在平面外点,
,
,
两两垂直,且
平面
于点
,则
是
的(???
)
A.?内心?????????????????????????????????????B.?外心?????????????????????????????????????C.?重心?????????????????????????????????????D.?垂心
【答案】
D
【解析】连结
并延长交
与
,连结
并延长交
于
,
?
,
,
?
面
又
面
?
,
?
面
?
?
面
故
,即
同理:
;
根据三角形垂心定义可知:
是
的垂心.
故答案为：D.
11.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，
垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（???
）﹒
A.?
平面PAC???????????????B.????????????????C.????????????????D.?平面
平面PBC
【答案】
C
【解析】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而
底面圆面，则
，
又由圆的性质可知
，且
，
则
平面PAC.所以A符合题意；
对于B，由A可知
，由题意可知
，且
，所以
平面
，而
平面
，所以
，所以B符合题意；
对于C，由B可知
平面
，因而
与平面
不垂直，所以
不成立，所以C不符合题意.
对于D，由A、B可知，
平面PAC，
平面
，由面面垂直的性质可得平面
平面PBC.所以D符合题意；
综上可知，C为错误选项.
故答案为：C.
12.在三棱锥
中，已知
，
，
，
，且平面
平面
，三棱锥
的体积为
，若点
都在球O的球面上，则球O的表面积为(??
)
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】解：取
中点O，连接
，设球半径为R，因为
，
，
，
所以
，
，
，
，
因为
，
，所以
，则
,
因为平面
平面
，所以
平面
，即
，
所以
，
，
球的表面积为
.
故答案为：A.
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.如图，在四棱锥
中，侧面
为正三角形，底面
为正方形，侧面
底面
，
为底面
内的一个动点，且满足
，则点
在正方形
内的轨迹为________．（填序号）
【答案】
①
【解析】符合条件的轨迹为线段
的垂直平分面与平面
的交线，③④不正确
根据题意可知
，
则点
符合“
为底面
内的一个动点，
且满足
”，设
的中点为
，连接
、
，
取
的中点
，连接
，所以
，
因为平面
底面
，
，
所以
平面
，所以
，
因为
，
，
所以
，
，
点
也符合“
为底面
内的一个动点，且满足
”，
且
，所以
平面
，
当
点在线段DN上运动时，都有
，且
是中点，总有
，
所以点
在正方形
内的轨迹是线段
,所以①正确②不正确.
故答案为：①.
14.正四棱锥
底面边长为
，高为
，
是边
的中点，动点
在四棱锥表面上运动，并且总保持
，则动点
的轨迹的周长为________．
【答案】
【解析】如图所示，取
，
的中点
，
，
则
，
，由线面判定定理可知：
平面
，
平面
，而
，所以平面
平面
，设
是底面正方形的中心，所以正四棱锥
的高为
，则
，则有
，而
，所以
平面
，所以
平面
，因为
，所以有
，则动点
在四棱锥表面上运动的轨迹为△
，
，
，
则动点
的轨迹的周长为
．
故答案为：
15.在四棱锥
中，底面四边形
为矩形，
平面
，
，
分别是线段
的中点，点
在线段
上，若
，
，
，则
________.
【答案】
【解析】取
的中点
，连接
，则
因为
平面
，
平面
，所以
，
又
，
，所以
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
.
又
，
，
平面
,
所以
平面
，因为
平面
，所以
.
因为
分别为
的中点，所以
，所以
,
在直角
中，
，所以
，
所以
.
故答案为：
16.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a
，
，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．
【答案】
5
【解析】由勾股定理逆定理得PA⊥AD
，
PA⊥AB
，
∴PA⊥面ABCD
，
PA⊥CD
，
PA⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面PAB⊥平面PAD
，
平面PAB⊥平面ABCD
，
平面PAB⊥平面PBC
，
平面PAD⊥平面ABCD
，
平面PAD⊥平面PCD.
答案：5.
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17（10分）.如图，在三棱台
中，面
平面
，
，
，点
是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
.
【答案】
（1）证明：取
中点
，连接
，
且
，
又∵
且
，
是平行四边形，因此
平面
，
又∵
平面
平面
（2）证明：取
中点
，连接
由
，
因为平面
面
，平面
面
，
所以
平面
平面
因此
，
∵
四边形
是平行四边形，
又∵
平行四边形
是菱形，
由
平面
，
可得
平面
，
平面
，因此
【解析】（1）
取??中点??，?根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）
取??中点?
，根据三角形的性质，面面垂直的性质，结合线面垂直的性质进行证明即可。
18（10分）.如图，在三棱柱
中，
平面
，侧面
为矩形，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求四棱锥
的体积.
【答案】
（1）证明：∵
平面
，
平面
，∴
，
又四边形
为矩形，∴
.
又∵
，
平面
，
平面
，∴
平面
，
又
平面
，∴平面
平面
（2）解：由（1）知
平面
，∴
，
则
，从而
，
在
中，过点
作
于点
，
由于平面
平面
，平面
平面
，
∴
平面
，
由
可得
，
∴四棱锥
的体积为
【解析】（1）里面线面垂直的定义证出线线垂直，所以
，
再利用四边形
为矩形，所以
，再利用线线垂直证出线面垂直，所以
平面
，
再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面
平面
。
（2）
由（1）知
平面
，从而利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以
，再利用直角三角形的勾股定理BC的长，进而求出
的长，
在
中，过点
作
于点
，
由于平面
平面
，
所以利用面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以
平面
，
再利用三角形的面积公式结合等面积法，再结合已知条件求出CD的长，再利用四棱锥的体积公式，进而求出四棱锥
的体积。
19（10分）.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．
【答案】
（1）证明：因为
，
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
.
（2）证明：因为
，
为
中点，所以
，
由（I）知，
，所以
平面
.
所以平面
平面
.
（3）解：因为
平面
，平面
平面
，
所以
.
因为
为
的中点，所以
，
.
由（I）知，
平面
，所以
平面
.
所以三棱锥
的体积
.
【解析】（1）
因为
，
，
再利用线面垂直的判定定理，从而推出线面垂直，即
平面
，
再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即
PA⊥BD。
（2）
因为
，
为
中点，所以
，由（I）知，
，从而由线面垂直的判定定理，从而证出线面垂直，再利用面面垂直的判定定理，从而证出面面垂直，即平面BDE⊥平面PAC。
（3）利用线面平行的性质定理证出线线平行，即
，因为
为
的中点，所以
，
，由（I）知，
平面
，所以
平面
，再利用三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥E－BCD的体积。
?20（10分）.如图1，C，D是以AB为直径的圆上两点，且
，
，将
所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD上的射影E在BD上，如图2．
（1）求证：平面
平面BCD；
（2）在线段AB上是否存在点F，使得
平面CEF？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）证明：∵AB是圆的直径，∴
．
∵
平面ABD，
平面ABD，∴
．
又∵
，
平面ABD，
∴
平面BCD．
∵
平面ACD，
∴平面
平面BCD．
（2）解：∵
平面ABD，
平面ABD，
∴
，
．
在
和
中，由
得
，
在
中，由
，得
，
∴
，
∴在
中，
，
∴E是BD的三等分点，且
．
在线段AB上存在点F，使得
，则有
．
∵
平面CEF，
平面CEF，
∴
平面CEF．
故在线段AB上存在点F，使得
平面CEF，此时
．
【解析】（1）要证平面??平面BCD，只要证平面
经过平面BCD的一条垂线AD即可，由D是以AB为直径的圆上的点得到
，由CE垂直于底面得到EC垂直于AD，利用线面垂直的判定得到证明；
（2）在线段AB上存在点F，且
，
则
?平面CEF，利用平面几何的性质求得
，
即可得出结论。
21（15分）.在等腰梯形
中，
，
，将它沿着两条高
，
折叠成如图所示的四棱锥
（
，
重合）．
（1）求证：
；
（2）设点
为线段
的中点，试在线段
上确定一点
，使得
平面
．
【答案】
（1）证明：∵
，
∴
，
．
又∵
，
∴
平面
，
∴
．
结合已知，四棱锥
中，
，
，
∴
，即
．
又∵
，
∴
平面
，
∴
．
（2）解：取
的中点
，
的中点
，连接
，
，
，则
，
，
∴
平面
，
平面
．
∵
，
∴面
面
．
∵
平面
，
∴
平面
，
故当点
为
中点时满足条件．
【解析】（1）根据线面垂直的判定证出
?平面??，再有线面垂直的性质定理证出
?；
（2）
取??的中点??，??的中点??，
由面面平行判定理可证出
面??面?
，
?由面面平行性质定理可得
?平面?
，
进而可知点?的位置。
22（15分）.如图，在平面四边形DACB中，
，
，
，现将
沿AB翻折至
，记二面角
的大小为
.
（1）求证：
；
（2）当
时，求直线
与平面ABC所成的角的正弦值.
【答案】
（1）证明：
，
，将
沿AB翻折至
，
，
和
均为等腰三角形，
取
的中点M，连接AM，BM，
，
又
平面
，且
平面
又
平面
，
（2）解：
，
，
，
和
是两个全等的直角三角形，
作
，连接
，则
，且
则
为二面角
的大小，即
，
又
，
是等边三角形，
取
的中点O，连接
,
，则
由（1）知
，且
，
平面
，
又
平面
，
又
，
平面ABC
所以直线
与平面ABC所成的角为
【解析】（1）利用已知条件结合折叠的方法，再利用等腰三角形的定义，推出
和
均为等腰三角形，
再利用中点作中线的方法结合等腰三角形三线合一证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直。
（2）
，
，
，
和
是两个全等的直角三角形，作
，连接
，则
，且
，
则
为二面角
的大小，即
，又
，
是等边三角形，取
的中点O，连接
,
，再利用中点作中线的方法结合等腰三角形三线合一证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，进而结合线面角的求解方法求出直线
与平面ABC所成的角，再利用正弦函数的定义求出直线
与平面ABC所成的角的正弦值。
?2020-2021学年高中数学必修第二册同步测试卷（人教A版2019）
8.6节空间直线、平面的垂直
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.“直线
与平面
内无数条直线垂直”是“直线
与平面
垂直”的（???
）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不必要也不充分条件
2.已知m，
n是两条不同的直线，
α，
β，
γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（???
）
A.?若m⊥α，
n⊥β，则α⊥β???????????????????????????????
????B.?若m//α，
m//β，则α//
β
C.?若m⊥α，
n//α，则m⊥n???????????????????????????
???????D.?若m//α，
n//α，
n⊥β，则m⊥β
3.已知直线
平面
，直线
，则（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.?
异面???????????????????????????D.?
相交而不垂直
4.正方体
中与
垂直的平面是（
????）
A.?平面
??????????????????B.?平面
??????????????????C.?平面
??????????????????D.?平面
5.在正方体
中，直线
（与直线BB1不重合）⊥平面A1C1,则有（?
?）
A.?B1B⊥l????????????????????????????B.?B1B∥l????????????????????????????C.?B1B与l异面????????????????????????????D.?B1B与l相交
6.在四棱锥
中，
底面
，底面
为矩形，
，
是
上一点，若
，则
的值为(???
)
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?4
7.在正三棱锥
中，点
，
，
分别在棱
，
，
上，
，
，
，则（???
）
A.?平面
平面
???????????B.?平面
平面
???????????C.????????????D.?
8.如图所示，平面
平面
与两平面
所成的角分别为45°、30°，过
，
分别作两平面交线的垂线，垂足分别为
，则
（
??）
A.?2:1????????????????????????????????????????B.?3:1????????????????????????????????????????C.?3:2????????????????????????????????????????D.?4:3
9.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于
(???
)
A.?直线AC???????????????????????????B.?直线A1A???????????????????????????C.?直线A1D1???????????????????????????D.?直线B1D1
10.若
是
所在平面外点,
,
,
两两垂直,且
平面
于点
,则
是
的(???
)
A.?内心?????????????????????????????????????B.?外心?????????????????????????????????????C.?重心?????????????????????????????????????D.?垂心
11.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，
垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（???
）﹒
A.?
平面PAC???????????????B.????????????????C.????????????????D.?平面
平面PBC
12.在三棱锥
中，已知
，
，
，
，且平面
平面
，三棱锥
的体积为
，若点
都在球O的球面上，则球O的表面积为(??
)
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.如图，在四棱锥
中，侧面
为正三角形，底面
为正方形，侧面
底面
，
为底面
内的一个动点，且满足
，则点
在正方形
内的轨迹为________．（填序号）
14.正四棱锥
底面边长为
，高为
，
是边
的中点，动点
在四棱锥表面上运动，并且总保持
，则动点
的轨迹的周长为________．
15.在四棱锥
中，底面四边形
为矩形，
平面
，
，
分别是线段
的中点，点
在线段
上，若
，
，
，则
________.
16.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a
，
，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17（10分）.如图，在三棱台
中，面
平面
，
，
，点
是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
.
18（10分）.如图，在三棱柱
中，
平面
，侧面
为矩形，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求四棱锥
的体积.
19（10分）.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．
?20（10分）.如图1，C，D是以AB为直径的圆上两点，且
，
，将
所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD上的射影E在BD上，如图2．
（1）求证：平面
平面BCD；
（2）在线段AB上是否存在点F，使得
平面CEF？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
21（15分）.在等腰梯形
中，
，
，将它沿着两条高
，
折叠成如图所示的四棱锥
（
，
重合）．
（1）求证：
；
（2）设点
为线段
的中点，试在线段
上确定一点
，使得
平面
．
22（15分）.如图，在平面四边形DACB中，
，
，
，现将
沿AB翻折至
，记二面角
的大小为
.
（1）求证：
；
（2）当
时，求直线
与平面ABC所成的角的正弦值.
