2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
8.5空间直线、平面的平行
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知三条直线
，
，
满足：
与
平行，
与
异面，则
与
（?
?）
A.?一定异面?????????????????????????B.?一定相交?????????????????????????C.?不可能平行?????????????????????????D.?不可能相交
2.“平面α内存在无数条直线与直线
平行”是“直线
平面α“的（???
）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
3.两直线
与
是异面直线，
，则
、
的位置关系是（???
）
A.?平行或相交???????????????????B.?异面或平行???????????????????C.?异面或相交???????????????????D.?平行或异面或相交
4.过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（???
）
A.?4条??????????????????????????????????????B.?6条??????????????????????????????????????C.?8条??????????????????????????????????????D.?12条
5.下列条件中，能判断平面
与平面
平行的是（???
）
A.?
内有无穷多条直线都与
平行?????????????????????????B.?
与
同时平行于同一条直线
C.?
与
同时垂直于同一条直线????????????????????????????D.?
与
同时垂直于同一个平面
6.如图所示，平面
平面
，点
，点
，直线
.设过
三点的平面为
，则
（???
）
A.?直线
?????????????????????????B.?直线
?????????????????????????C.?直线
?????????????????????????D.?以上均不正确
7.如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（???
）
A.?MN∥PD?????????????????????????B.?MN∥PA?????????????????????????C.?MN∥AD?????????????????????????D.?以上均有可能
8.平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB=AE︰EC，如图，则BC与α的位置关系是(??
)
A.?平行?????????????????????????????????B.?相交?????????????????????????????????C.?平行或相交?????????????????????????????????D.?异面
9.如右图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是
(
??)
A.?平行????????????????????????????????????B.?相交????????????????????????????????????C.?异面????????????????????????????????????D.?不确定
10.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu
meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体
是一个刍甍，其中
是正三角形，
，则以下两个结论：①
；②
，（???
）
A.?①和②都不成立??????????B.?①成立，但②不成立??????????C.?①不成立，但②成立??????????D.?①和②都成立
11.已知正四棱柱
的底面边长为1，高为2，
为
的中点，过
作平面
平行平面
，若平面
把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
12.如图，正方体
中，
，
，
，
分别为棱
、
、
、
的中点，则下列各直线中，不与平面
平行的是（???
）
A.?直线
???????????????????????????B.?直线
???????????????????????????C.?直线
???????????????????????????D.?直线
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.下列四个正方体图形中，
，
为正方体的两个顶点，
，
，
分别为其所在的棱的中点，能得出
平面
的图形的序号是________
14.如图所示，是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
①点
与点
重合；②
与
垂直；③
与
所成角度是
；④
与
平行．其中正确命题的序号是________．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
15.如图，棱长为2的正方体
中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
16.如图，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是其四边上的点且共面，AC∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，
________.
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.如图，四棱锥
中，底面
为梯形，
，点
为
的中点，且
，点
在
上，且
.
（1）求证:
//平面
（2）若平面
平面
，
且
，求三棱锥
的体积.
?18.如图，
是边长为a的正方形，
平面
，
平面
，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）在
上是否存在一点G，使平面
将几何体
分成上下两部分的体积比为3∶11？若存在，求出G的位置；若不存在，说明理由；
19.在如图所示的多面体中，
平面
，
．
（1）在
上求作点
，使
平面
，请写出作法并说明理由；
（2）求三棱锥
的高．
20.直棱柱
中，底面
是直角梯形，
，
．若
为
的中点，求证：
平面
，且
平面
．
21.如图，在棱长为2的正方体
中，E
，
F
，
G
，
H分别是棱
的中点，直线AF与DH交于点P
，
直线BE与CG交于点S.
（1）求证：直线
平面ABCD；
（2）求四棱锥B-PDCS的体积.
22.如图所示，
是
的直径，点
在
上，
是
所在平面外一点，
是
的中点.
（1）.求证：
平面
；
（2）.若
是边长为6的正三角形，
，且
，求三棱锥
的体积.2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
8.5空间直线、平面的平行
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知三条直线
，
，
满足：
与
平行，
与
异面，则
与
（?
?）
A.?一定异面?????????????????????????B.?一定相交?????????????????????????C.?不可能平行?????????????????????????D.?不可能相交
【答案】
C
【解析】如图所示：
与
可能异面，也可能相交，不可能平行．用反证法证明一定不平行，假设
，又
，则
，这与已知
与
异面矛盾，所以假设不成立，故
与
不可能平行.
故答案为：C.
2.“平面α内存在无数条直线与直线
平行”是“直线
平面α“的（???
）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】
B
【解析】当直线l平行平面α内的无数条平行直线时，则直线a不一定平行于平面α，也可能l?α，
当直线
平面α，则平面α内存在无数条直线与直线1平行，
故“平面α内存在无数条直线与直线
平行”是“直线
平面α“的必要不充分条件，
故答案为：B．
3.两直线
与
是异面直线，
，则
、
的位置关系是（???
）
A.?平行或相交???????????????????B.?异面或平行???????????????????C.?异面或相交???????????????????D.?平行或异面或相交
【答案】
C
【解析】由题可得,
a、c的位置关系可以是异面或相交.
故答案为：C
4.过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（???
）
A.?4条??????????????????????????????????????B.?6条??????????????????????????????????????C.?8条??????????????????????????????????????D.?12条
【答案】
B
【解析】如图所示，取H，G，F，I分别为
的中点，
由面面平行的判定定理，可得平面
平面
可得符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，
即FI，FG，GH，HI，HF，GI符合题意，共有6条直线.
故答案为：B.
5.下列条件中，能判断平面
与平面
平行的是（???
）
A.?
内有无穷多条直线都与
平行?????????????????????????B.?
与
同时平行于同一条直线
C.?
与
同时垂直于同一条直线????????????????????????????D.?
与
同时垂直于同一个平面
【答案】
C
【解析】A.
内有无穷多条直线都与
平行,则
还可能和
相交，所以该选项错误；
B.
与
同时平行于同一条直线，则
还可能和
相交，所以该选项错误；
C.
与
同时垂直于同一条直线，则
和
平行，所以该选项正确；
D.
与
同时垂直于同一个平面，则
还可能和
相交，所以该选项错误.
故答案为：C
6.如图所示，平面
平面
，点
，点
，直线
.设过
三点的平面为
，则
（???
）
A.?直线
?????????????????????????B.?直线
?????????????????????????C.?直线
?????????????????????????D.?以上均不正确
【答案】
C
【解析】
，平面
平面
，
，
.又
三点确定的平面为
，
.又
是平面
和
的公共点，
.
故答案为：C
7.如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（???
）
A.?MN∥PD?????????????????????????B.?MN∥PA?????????????????????????C.?MN∥AD?????????????????????????D.?以上均有可能
【答案】
B
【解析】∵MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN?平面PAC，
∴MN∥PA.
故答案为：B.
8.平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB=AE︰EC，如图，则BC与α的位置关系是(??
)
A.?平行?????????????????????????????????B.?相交?????????????????????????????????C.?平行或相交?????????????????????????????????D.?异面
【答案】
A
【解析】因为AD︰DB=AE︰EC，所以DE∥BC，又DE?α，BC?α，所以BC∥α.
故答案为：A
9.如右图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是
(
??)
A.?平行????????????????????????????????????B.?相交????????????????????????????????????C.?异面????????????????????????????????????D.?不确定
【答案】
A
【解析】∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，∴A1D1∥E1F1
，
又A1D1?平面BCF1E1
，
E1F1?平面BCF1E1
，
∴A1D1∥平面BCF1E1.
又E1和E分别是A1B1和AB的中点，∴A1E1
BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，∴A1E∥BE1
，
又A1E?平面BCF1E1
，
BE1?平面BCF1E1
，
∴A1E∥平面BCF1E1
，
又A1E?平面EFD1A1
，
A1D1?平面EFD1A1
，
A1E∩A1D1＝A1
，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1,
故答案为：A.
10.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu
meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体
是一个刍甍，其中
是正三角形，
，则以下两个结论：①
；②
，（???
）
A.?①和②都不成立??????????B.?①成立，但②不成立??????????C.?①不成立，但②成立??????????D.?①和②都成立
【答案】
B
【解析】解：∵
，CD在平面CDEF内，AB不在平面CDEF内，
∴
平面CDEF，
又EF在平面CDEF内，
由AB在平面ABFE内，且平面
平面
，
∴
EF，故①对；
如图，取CD中点G，连接BG，FG，由AB＝CD＝2EF，易知
GF，且DE＝GF，
不妨设EF＝1，则
，
假设BF⊥ED，则
，即
，即FG＝1，但FG的长度不定，故假设不一定成立，即②不一定成立.
故答案为：B.
11.已知正四棱柱
的底面边长为1，高为2，
为
的中点，过
作平面
平行平面
，若平面
把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】解：设
为
的中点，
为
的中点，连接
，
，
，连接
，
在四棱柱
中，易证
，则
，
∵
为
的中点，
为
的中点，
∴
，∴
，
∵
平面
，
平面
，∴
平面
，
同理可证：
平面
，
平面
，
∵
，
，
平面
，∴平面
平面
，
即平面
为平面
，
∴体积较小的几何体为三棱锥
，
则体积
，
故答案为：C．
12.如图，正方体
中，
，
，
，
分别为棱
、
、
、
的中点，则下列各直线中，不与平面
平行的是（???
）
A.?直线
???????????????????????????B.?直线
???????????????????????????C.?直线
???????????????????????????D.?直线
【答案】
C
【解析】在正方体中，因为
，所以
平面
，故A正确.
因为
，所以
，所以
平面
故B正确.
因为
，所以
平面
，故D正确.
因为
与
相交，所以
与平面
相交，故C错误.
故选：C
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.下列四个正方体图形中，
，
为正方体的两个顶点，
，
，
分别为其所在的棱的中点，能得出
平面
的图形的序号是________
【答案】
①④
【解析】由题意得，
①中连接点
与点
上面的顶点，记为
，则易证平面
平面
，所以
平面
；④中
，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出
平面
；②③中，
均与平面
相交，
故答案为：①④．
14.如图所示，是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
①点
与点
重合；②
与
垂直；③
与
所成角度是
；④
与
平行．其中正确命题的序号是________．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
【答案】
①④
【解析】解：把展开图，折叠为正方体如图，①正确
②AE与BF成60
③
与
所成角度是60
④正确；
故答案为：①④
15.如图，棱长为2的正方体
中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
【答案】
【解析】在正方体
中，因为平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1
，
所以平面MCD1∩平面ABB1A1＝MN，且MN∥CD1
，
所以N为AB的中点（如图），所以该截面为等腰梯形MNC1D1；
因为正方体的棱长为2，所以MN＝
，CD1＝
，MD1＝
，
所以等腰梯形MNCD1的高MH＝
，
所以截面面积为
.
故答案为：
16.如图，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是其四边上的点且共面，AC∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，
________.
【答案】
【解析】由题意可得，
，
，则
，而EF＝FG，∴
，∴
.
故答案为：
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.如图，四棱锥
中，底面
为梯形，
，点
为
的中点，且
，点
在
上，且
.
（1）求证:
//平面
（2）若平面
平面
，
且
，求三棱锥
的体积.
【答案】
（1）证明：如图所示，取
的中点
，连结
、
，
因为点
为
的中点，且
，所以
且
，
因为
，所以
，所以
，
又因为
，所以
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，又
平面
，
平面
，所以
∥平面
；
（2）解：
，
，
，
平面
平面
，且平面
平面
，
，取
的中点
，连结
，则
平面
，
，
,
【解析】（1）
如图所示，取??的中点??，连结??、??，所以根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）
三棱锥
的体积为：
。
?18.如图，
是边长为a的正方形，
平面
，
平面
，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）在
上是否存在一点G，使平面
将几何体
分成上下两部分的体积比为3∶11？若存在，求出G的位置；若不存在，说明理由；
【答案】
（1）证明：∵
平面
，
平面
，∴
，∴
平面
，
∵
是正方形，
，∴
平面
，
∵
，
平面
，
平面
，
∴平面
平面
.
（2）解：假设存在一点
，过
作
交
于
，连接
，
，如图
，
设
，则
，
设
到
的距离为
，则
，
，
，
，
又因为
所以
，解得
或
（舍去），
即存在点
且
满足条件.
【解析】（1）由
?平面??，??平面?得出
，
由??平面
???，得出
平面??平面?；
（2）
假设存在一点??，过??作??交??于??，连接??，??，计算几何体
和
的体积，从而求得
?的值。?
19.在如图所示的多面体中，
平面
，
．
（1）在
上求作点
，使
平面
，请写出作法并说明理由；
（2）求三棱锥
的高．
【答案】
（1）解：取
的中点
，连结
，交
于
，连结
.此时
为所求作的点.
下面给出证明：
∵
，∴
，又
，∴四边形
是平行四边形，
故
即
.
又
平面
平面
，∴
平面
；
∵
平面
，
平面
，∴
平面
.
又∵
平面
平面
，
∴平面
平面
，
又∵
平面
，∴
平面
.
（2）解：在等腰梯形
中，∵
，
∴可求得梯形的高为
，从而
的面积为
.
∵
平面
，∴
是三棱锥
的高.
设三棱锥
的高为
.
由
，可得
，
即
，解得
，
故三棱锥
的高为
.
【解析】（1）?取??的中点??，连结??，交??于??，连结??.此时??为所求作的点，先推导出四边形
为平行四边形，从而
?平面?
，
再推导出
?平面?
，
进而
平面??平面?
，
由此得?平面?；
（2）推导出?是三棱锥??的高，
设三棱锥??的高为?
，
由?
，
能求出三棱锥??的高。
20.直棱柱
中，底面
是直角梯形，
，
．若
为
的中点，求证：
平面
，且
平面
．
【答案】
解：
为的
中点，连接
，
，
，所以
，因为
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
因为
面
，
面
，所以
平面
，
因为
面
，
面
，所以
平面
．
【解析】利用直棱柱的结构特征结合中点作中位线的方法证出证出线线平行，再利用平行四边形的定义证出四边形
是平行四边形，
再利用平行四边形的性质证出线线平行，即
，
再利用线线平行证出线面平行。
21.如图，在棱长为2的正方体
中，E
，
F
，
G
，
H分别是棱
的中点，直线AF与DH交于点P
，
直线BE与CG交于点S.
（1）求证：直线
平面ABCD；
（2）求四棱锥B-PDCS的体积.
【答案】
（1）证明：G，H分别是棱
的中点，
面ABEF
面ABEF，
又因为面
面
，
所以
，
所以
，又
面ABCD，
所以
面ABCD
（2）解：显然
，
又
，
所以
，
即
，又
面
，
所以
，
而
，所以
面PDCS，
在
中，
，
所以
【解析】（1）由已知条件可得
，可证面
平面ABEF
，
再根据线面平行的性质定理可得
，进而有
，即可证明结论；（2）E、G分别是棱
的中点，平几知识可证
，再由正方体线面垂直关系可得
，推证出
面PDCS
，
求出
，即可求出结论.
22.如图所示，
是
的直径，点
在
上，
是
所在平面外一点，
是
的中点.
（1）.求证：
平面
；
（2）.若
是边长为6的正三角形，
，且
，求三棱锥
的体积.
【答案】
（1）证明：
是
的直径，则由
是
的中点，
又
是
的中点.
在
中，可得
，且
平面
,
平面
.
所以
平面
.
（2）解：由
是
的直径，点
在
上，则
,即
.
又
，且
.
所以
平面
.
是边长为6的正三角形，则
.
?
又
【解析】(1)根据题意结合中点的性质即可得出线线平行再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)结合圆的性质即可得出线线垂直
，
再由线面垂直的判定定理以及性质定理即可得证出线面垂直
平面
.
即棱锥的高，由三角形内的几何计算关系以及三角形的面积公式计算出边长，把数值代入到体积公式计算出结果即可。
