2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
6.3平面向量基本定理及坐标表示
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知向量
，若
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?-2????????????????????????????????????????D.?2
【答案】
A
【解析】解：因为
，且
，所以
，即
，解得
，
故答案为：A。
2.若点
关于y轴的对称点为
，则向量
的坐标为（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】因为点
关于y轴的对称点为
，
则
，
∴
，
故答案为：C.
3.已知平面
、
的法向量分别为
、
且
，则
的值为（???
）
A.?-8??????????????????????????????????????????B.?-4??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?8
【答案】
A
【解析】因为平面
、
的法向量分别为
、
且
，
所以
，即
，
则
，
故答案为：A.
4.设直线
、
的方向向量分别为
，
，若
，则
等于（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?3
【答案】
B
【解析】由于
，则
，解得
.
故答案为：B.
5.已知直线
的一个方向向量为
，直线
的一个方向向量为
，则两直线所成角的余弦值为（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】由向量的夹角公式可得，
两条直线的夹角的余弦值为
。
故答案为：D.
6.如图，角
的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则
（???
）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】由图可知
，
所以
，
故答案为：A.
7.已知空间四边形
中，
，
，
，点M在OA上，且
，N为BC的中点，则
等于（???
）
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
【答案】
B
【解析】因为N为BC的中点，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
故答案为：B
8.已知三棱柱
中，
，
，D点是线段
上靠近A的一个三等分点，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】在三棱柱
中，满足
，且
，则
，
，
D点是线段
上靠近A的一个三等分点，则
，由向量的减法运算得
，
。
故答案为：A。
9.已知向量
，
，则
面积的最大值为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
【答案】
C
【解析】
，
,
，其中
，
故
，
，
故当
时，即
时，
取最大值为
.
故答案为：C.
10.如图，在三棱锥
中，
是
的中点，若
，
，
，则
等于（???
）
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
【答案】
C
【解析】
，
因此，
.
故答案为：C.
11.如图，梯形
中，
，
，点
为空间内任意一点，
，
，
，向量
，则
、
、
分别是（???
）
A.?1、-1、2?????????????????B.?
、
、1?????????????????C.?
、
、1?????????????????D.?
、
、-1
【答案】
C
【解析】
，
因此，
，
，
.
故答案为：C.
12.若在边长为
的正三角形
的边
上有
（
，
）等分点，沿向量
的方向依次为
，记
，若给出四个数值：①
；②
；③
；④
；则
的值可能的共有（???
）
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
【答案】
A
【解析】由题意，存在实数
，使得
，则
，
所以
，
所以
，
令
，解得
；
令
，解得
；
令
，解得
；
令
，解得
；
所以
的值不可能取所给的四个数值.
故答案为：A.
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.在平行六面体
中，
，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值是________．
【答案】
【解析】如下图所示：
，
，
，
，
，
，
，
所以，
，
因此，异面直线
与
所成角的余弦值是
。
故答案为：
。
14.已知平面向量
，
满足
，
与
的夹角为120°，则
的最大值是________.
【答案】
【解析】设
，
，
由题意可知，则由
与
夹角为
，所以
，①
且
，②
，③
，④
因为
，
联立①②③④，
，
令
，
即
，
，
整理得
，
将其看作关于
的方程，若方程有解，则有
，
整理得
，解得
，
因为
，所以
的最大值是
，
故答案为：
.
15.已知向量
，
，点
，
．则
________；在直线
上，存在一点
，使得
，则点
的坐标为________．
【答案】
；
【解析】
，
；
设
，
在
上，则存在实数
，满足
，
即
，则可得
，
，
，解得
，
.
故答案为：
；
.
16.如图所示，在平行四边形
中，
，
，将它沿对角线
折起，使
与
成
角，则
间的距离为________．
【答案】
2或
【解析】
，
．同理
．
在三棱锥
中，
与
成
角，
或
．
又
，
?
或
，
或|BD|=
，
故答案为2或
．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.在平行六面体
中，
，
，
，
，
，
，
，
分别为
，
的中点.
（1）
构成空间的一个基底，用它们表示
，
，设
，
，
.
（2）求
与
的夹角.
【答案】
（1）解：因为
，
，
所以
，
；
（2）解：因为
，
所以
，所以
与
的夹角为
.
【解析】（1）利用向量的共线定理及平面向量基本定理可得；
（2）利用平面向量数量积的运算进行计算可得
?与??的夹角。
18.在平面直角坐标系
中，设向量
，
，
．
（1）若
，求
的值；
（2）设
，
，且
，求
的值．
【答案】
（1）解：因为
，
，
，
所以
，
且
.
?因为
，所以
，即
，
?所以
，即
．
（2）解：因为
，所以
．
依题意，
．
因为
，所以
．
化简得，
，所以
．
因为
，所以
．
所以
，即
．
【解析】（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可；
（2）通过向量平行的坐标表示，转化求解角的大小即可。
19.已知△AOB中，边
，令
过AB边上一点
(异于端点)引边OB的垂线
垂足为
再由
引边OA的垂线
垂足为
又由
引边AB的垂线
垂足为
设
.
（1）求
；
（2）证明：
；
（3）当
重合时，求
的面积.
【答案】
（1）解：在
中，因为
，且
，
可得
，
则
，所以
.
（2）解：由（1）与已知，可得
，
由余弦定理可得
，
又因为
，则
，
则
，所以
.
（3）解：由已知可得
，
因为
，所以
，
，
因为
，
所以
，
当
重合时，
，解得
，解得
，
此时
，
所以
，
可得
，
所以
.
【解析】（1）根据平面向量的模长公式和数量积的运算公式，即可求解；（2）利用余弦定理，求得
，然后求出
，从而得到
，即可得到结论；（3）根据向量的夹角公式，求得
和
，从而求得
和
的值，当
重合时，
，求得
，最后根据三角形的面积公式和
，即可求解.
20.在平面直角坐标系
中，已知向量
，设
.
（1）求
的最小正周期；
（2）在锐角三角形
中，角
的对边分别为
，若
，求
面积的最大值.
【答案】
（1）解：
，
故
的最小正周期
；
（2）解：
又三角形为锐角三角形，故
，
，∴
，
∴
.
【解析】(1)首先由数量积的坐标公式以及两角和的正弦公式整理函数的解析式得到f(x)
，
结合正弦函数的周期公式即可求出结果。
(2)根据(1)的结论结合题意即可判断出三角形的形状，由三角形的面积公式以及余弦定理即可得到再由基本不等式即可求出
，
由此得到三角形面积的最大值。
21.如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．
（1）用α表示A，B两点的坐标；
（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．
【答案】
解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（+α），sin（+α）），
即B（﹣sinα，cosα）．
（2）设M（x，0），x≠0，
=（cosα﹣x，sinα），=（﹣sinα﹣x，cosα）．
MA⊥MB，
可得（cosα﹣x）（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．
xsinα﹣xcosα+x2=0，
可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（α-）∈[﹣
，
]．
综上x∈[﹣
，
0）∪（0，]．
点M横坐标的取值范围：[﹣
，
0）∪（0，]．
【解析】（1）利用三角函数的定义直接表示A，B坐标；
（2）设出M，利用向量的数量积为0，得到关系式，然后求解点M横坐标的取值范围．
22.如图，在三角形
中，
，
的角平分线
交
于
，设
，且
．
（1）求
和
的值；
（2）若
，求
的长．
【答案】
（1）解：因为
，
且
为三角形内角的一半，所以
为锐角；
，
所以
，
，
所以
（2）解：由正弦定理得
，即
，所以
，①
又
，所以
，②
由①②得
，又由
，得
，
所以
．
【解析】（1）先根据已知条件求出
的余弦值，再根据二倍角公式求出
，再根据三角形三内角之间的关系以及两角和的正弦公式即可求出
的值；（2）先根据第一问的结论以及正弦定理求出两边之间的关系，代入已知求出边长，再结合正弦定理即可求
的长.2020-2021学年高中数学必修第二册同步检测卷（人教A版2019）
6.3平面向量基本定理及坐标表示
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知向量
，若
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?-2????????????????????????????????????????D.?2
2.若点
关于y轴的对称点为
，则向量
的坐标为（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
3.已知平面
、
的法向量分别为
、
且
，则
的值为（???
）
A.?-8??????????????????????????????????????????B.?-4??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?8
4.设直线
、
的方向向量分别为
，
，若
，则
等于（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?3
5.已知直线
的一个方向向量为
，直线
的一个方向向量为
，则两直线所成角的余弦值为（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
6.如图，角
的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则
（???
）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
7.已知空间四边形
中，
，
，
，点M在OA上，且
，N为BC的中点，则
等于（???
）
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
8.已知三棱柱
中，
，
，D点是线段
上靠近A的一个三等分点，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
9.已知向量
，
，则
面积的最大值为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
10.如图，在三棱锥
中，
是
的中点，若
，
，
，则
等于（???
）
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
11.如图，梯形
中，
，
，点
为空间内任意一点，
，
，
，向量
，则
、
、
分别是（???
）
A.?1、-1、2?????????????????B.?
、
、1?????????????????C.?
、
、1?????????????????D.?
、
、-1
12.若在边长为
的正三角形
的边
上有
（
，
）等分点，沿向量
的方向依次为
，记
，若给出四个数值：①
；②
；③
；④
；则
的值可能的共有（???
）
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.在平行六面体
中，
，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值是________．
14.已知平面向量
，
满足
，
与
的夹角为120°，则
的最大值是________.
15.已知向量
，
，点
，
．则
________；在直线
上，存在一点
，使得
，则点
的坐标为________．
16.如图所示，在平行四边形
中，
，
，将它沿对角线
折起，使
与
成
角，则
间的距离为________．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.在平行六面体
中，
，
，
，
，
，
，
，
分别为
，
的中点.
（1）
构成空间的一个基底，用它们表示
，
，设
，
，
.
（2）求
与
的夹角.
18.在平面直角坐标系
中，设向量
，
，
．
（1）若
，求
的值；
（2）设
，
，且
，求
的值．
19.已知△AOB中，边
，令
过AB边上一点
(异于端点)引边OB的垂线
垂足为
再由
引边OA的垂线
垂足为
又由
引边AB的垂线
垂足为
设
.
（1）求
；
（2）证明：
；
（3）当
重合时，求
的面积.
20.在平面直角坐标系
中，已知向量
，设
.
（1）求
的最小正周期；
（2）在锐角三角形
中，角
的对边分别为
，若
，求
面积的最大值.
21.如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．
（1）用α表示A，B两点的坐标；
（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．
22.如图，在三角形
中，
，
的角平分线
交
于
，设
，且
．
（1）求
和
的值；
（2）若
，求
的长．
