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19.1.1
变量与函数
同步练习
一、选择题
1．（2021春?南岗区校级月考）在行进路程、速度和时间的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则下列说法正确的是
A．变量只有速度
B．变量只有时间
C．速度和时间都是变量
D．速度、时间、路程都是常量
2．（2020春?普宁市期末）一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是
A．常量，常量
B．变量，变量
C．常量，变量
D．变量，常量
3．（2020秋?姜堰区期末）下列关系中，不是的函数关系的是
A．长方形的长一定时，其面积与宽
B．高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程与行驶的时间
C．
D．
4．（2021春?市中区校级月考）若一个等腰三角形的顶角度数为（度，底角度数为（度），则它们的函数表达式应是
A．
B．
C．
D．
5．（2021?温州一模）某汽车的油箱一次加满汽油50升，可行驶千米（假设汽油能行驶至油用完），设该汽车行驶每100千米耗油升，则关于的函数表达式为
A．
B．
C．
D．
6．（2021?沙坪坝区校级模拟）函数中，的取值范围是
A．
B．且
C．且
D．
7．（2020秋?肇源县期末）变量与之间的关系是，当时，自变量的值是
A．13
B．5
C．2
D．3.5
8．（2020春?赫章县期末）下面说法中正确的是
A．两个变量间的关系只能用关系式表示
B．图象不能直观的表示两个变量间的数量关系
C．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况
D．以上说法都不对
二、填空题
9．（2020春?鱼台县期末）圆的面积与半径之间的关系是．请指出公式中常量是
．
10．（2021春?安丘市月考）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是
．（填上你认为正确的说法的序号）
11．（2021春?福田区校级月考）若某地打长途电话3分钟之内收费1.8元，每增加1分钟加收0.5元，当通话时间为分钟时且为整数），电话费（元与通话时间（分之间的关系式为
．
12．（2021?松北区一模）在函数中，自变量的取值范围是
．
三、解答题
13．在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体．下面是他测得的弹簧的长度与所挂物体的质量的一组对应值：
所挂物体的质量
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度
20
22
24
26
28
30
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）填空：
①当所挂的物体为时，弹簧长是
．不挂重物时，弹簧长是 ．
②当所挂物体的质量为（在弹簧的弹性限度范围内）时，弹簧长度是 ．
14．（2020春?莱州市期末）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力与提出概念所用的时间（分钟）之间有如表所示的关系：
提出概念所用时间
2
5
7
10
12
13
14
17
20
对概念的接受能力
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
15．（2020秋?肇源县期末）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程（千米）与剩余油量（升的关系式；
（2）当（千米）时，求剩余油量的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
19.1.1
变量与函数
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2021春?南岗区校级月考）在行进路程、速度和时间的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则下列说法正确的是
A．变量只有速度
B．变量只有时间
C．速度和时间都是变量
D．速度、时间、路程都是常量
【解析】解：在行进路程、速度和时间的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则速度和时间是变量，行进路程是常量，
故选：．
2．（2020春?普宁市期末）一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是
A．常量，常量
B．变量，变量
C．常量，变量
D．变量，常量
【解析】解：一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是常量，变量．
故选：．
3．（2020秋?姜堰区期末）下列关系中，不是的函数关系的是
A．长方形的长一定时，其面积与宽
B．高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程与行驶的时间
C．
D．
【解析】解：、对于的每一个取值，都有唯一确定的值，故正确；
、对于的每一个取值，都有唯一确定的值，故正确；
、对于的每一个取值，都有唯一确定的值，故正确；
、对于的每一个取值，没有唯一确定的值，故错误；
故选：．
4．（2021春?市中区校级月考）若一个等腰三角形的顶角度数为（度，底角度数为（度），则它们的函数表达式应是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：依题意，得．
故选：．
5．（2021?温州一模）某汽车的油箱一次加满汽油50升，可行驶千米（假设汽油能行驶至油用完），设该汽车行驶每100千米耗油升，则关于的函数表达式为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：该汽车行驶每100千米耗油升，
升汽油可走千米，
，
关于的函数表达式为，
故选：．
6．（2021?沙坪坝区校级模拟）函数中，的取值范围是
A．
B．且
C．且
D．
【解析】解：由题意得，，
解得，
故选：．
7．（2020秋?肇源县期末）变量与之间的关系是，当时，自变量的值是
A．13
B．5
C．2
D．3.5
【解析】解：当时，，
解得：，
故选：．
8．（2020春?赫章县期末）下面说法中正确的是
A．两个变量间的关系只能用关系式表示
B．图象不能直观的表示两个变量间的数量关系
C．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况
D．以上说法都不对
【解析】解：、两个变量间的关系只能用关系式表示，还能用列表法和图象法表示，故错误；
、图象能直观的表示两个变量间的数量关系，故错误；
、借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况，正确；
、以上说法都不对，错误；
故选：．
二、填空题
9．（2020春?鱼台县期末）圆的面积与半径之间的关系是．请指出公式中常量是 ．
【解析】解：公式中常量是，
故答案为：．
10．（2021春?安丘市月考）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是 ②③④ ．（填上你认为正确的说法的序号）
【解析】解：①1月23号，新增确诊人数约为150人，故本选项错误；
②1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同，故本选项正确；
③1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，故本选项正确；
④自变量为时间，因变量为新增确诊人数，故本选项正确；
故答案为：②③④．
11．（2021春?福田区校级月考）若某地打长途电话3分钟之内收费1.8元，每增加1分钟加收0.5元，当通话时间为分钟时且为整数），电话费（元与通话时间（分之间的关系式为 ．
【解析】解：由题意得，，
故答案为：．
12．（2021?松北区一模）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
三、解答题
13．在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体．下面是他测得的弹簧的长度与所挂物体的质量的一组对应值：
所挂物体的质量
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度
20
22
24
26
28
30
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）填空：
①当所挂的物体为时，弹簧长是
．不挂重物时，弹簧长是 ．
②当所挂物体的质量为（在弹簧的弹性限度范围内）时，弹簧长度是 ．
【解析】解：（1）反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量；
（2）①根据表格可知：当所挂物体重量为3千克时，弹簧长度为；不挂重物时，弹簧长度为；
故答案为：
．
②根据表格可知：所挂重物每增加1千克，弹簧增长，根据弹簧的长度弹簧原来的长度弹簧伸长的长度可知当所挂物体的重量为千克时，弹簧长度，将代入得．
故答案为：．
14．（2020春?莱州市期末）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力与提出概念所用的时间（分钟）之间有如表所示的关系：
提出概念所用时间
2
5
7
10
12
13
14
17
20
对概念的接受能力
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
【解析】解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；
（3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．
15．（2020秋?肇源县期末）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程（千米）与剩余油量（升的关系式；
（2）当（千米）时，求剩余油量的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
【解析】解：（1）该车平均每千米的耗油量为（升千米），
行驶路程（千米）与剩余油量（升的关系式为；
（2）当时，．
答：当（千米）时，剩余油量的值为．
（3）（千米），
，
他们能在汽车报警前回到家．
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精品试卷·第
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人教版
八年级数学下册
19.1.1
变量与函数
1.了解变量与常量的意义.会区分常量与变量,能够建立变量之间的关系式.
2.明确函数的相关概念，会求函数值和自变量的取值范围.
3.掌握画函数图象的一般步骤;了解函数的三种表示方法及其优点;能通过函数图象说出变量的变化情况，并对函数关系进行分析.
学习目标
汽车行驶里程随行驶时间而变化
气温随海拔而变化
树高随树龄而变化
量
1.汽车以60
km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s
km，行驶时间为t
h.
时间t，路程s
速度
下列变化过程中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？
2.每张电影票的售价为10元，设一场电影售出票x张，票房收入为y元
在以上这个过程中,变化的量是_____________________
不变的量是_____________
售出票数，票房收入
在以上这个过程中，变化的量是______________,
不变的量是
____________.
票价10元/张
导入新课
3.你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径分别为10cm，20
cm，30
cm时，圆的面积S分别为多少？
当圆的半径为10cm时，面积为S=100π
cm2
;
当圆的半径为20cm时，面积为S=400π
cm2
;
当圆的半径为30cm时，面积为S=900π
cm2
.
变化的量是—————；不变的量是————————.
S=
πr2
S，
r
π
下列变化过程中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？
4.用10
m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3
m，3.5
m，4
m，4.5
m时，它的邻边长y分别为多少？
当x为3m时，y为2m;
当x为3.5m时，y为1.5m;
当x为4m时，y为1m;
当x为4.5m时，y为0.5m;
变化的量是—————；不变的量是————————.
x，y
10
x
y
A
B
C
D
下列变化过程中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？
数值发生
变化的量
变量
数值始终
不变的量
常量
上述运动变化过程中出现的量，你认为可以怎样分类？
例1：
指出下列变化过程中的常量与变量
(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千克橘子的总价为m元，其中常量是
，变量是
；
(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是
，变量是
；
5
a，m
2，π
C，
r
（3）某人以a米／分的速度做匀速运动，用t分钟时间跑了s米，其中常量是
,变量是
.
a
t，s
问题：(1)—(4)每个问题各有两个个变量，在同一变化过程中的两个变量之间有什么联系呢？
(1)汽车以60
km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s
km，行驶时间
为t
h，填写下表，s的值随t
的值的变化而变化吗？
t
/h
1
2
3
4
5
s
/km
120
60
180
240
300
每当t取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应。
s的值是随t的值的变化而变化的。
(2)每张电影票售价为10元，如果第一场售出票150张，第二场售出205张，第三场售出310张．三场电影的票房收入各是多少元？
设一场电影售出
x张票，票房收入
y
元，y的值随x的值的变化而变化吗?
当
x=150
时，y=1500
当
x=205
时
,
y=2050
当
x=310
时，y=3100
每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应.
y的值随x的值的变化而变化.
(3)你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径分别为10cm，20
cm，30
cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？
当圆的半径为10cm时，面积为S=100π
cm2
;
当圆的半径为20cm时，面积为S=400π
cm2
;
当圆的半径为30cm时，面积为S=900π
cm2
.
每当r取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应.
s的值随r的值的变化而变化.
(4)用10
m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3
m，3.5
m，4
m，4.5
m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？
x
y
A
B
C
D
当x为3m时，y为2m;
当x为3.5m时，y为1.5m;
当x为4m时，y为1m;
当x为4.5m时，y为0.5m;
每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应.
y的值随x的值的变化而变化.
上面每一个变化过程中的两个变量都是互相联系的.
当一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的值与其对应.
一些用图或者表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面这样的关系.
归纳总结
问题：在以上所有问题中，所涉及的两个变量之间的对应关系有什么共同的特征吗？
?
都有两个变量
?
当
一个变量取定一个值时，另一个变量都有唯一确定的值与其对应.
?
都是在一个变化过程中;
一般地，在一个变化过程中，如果有两
个变量
x和
y，并且对于x
的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应
，那么
我们就说
x
是自变量，y
是
x
的函数.
函数的定义：
如果当
x
=
a
时
y
=
b，
那么
b
叫做当自变量的值为a
时的函数值.
汽车以60
km/h的速度匀速行驶，行驶路程s
（单位：km）随行驶时间为t（
单位：h）变化而变化，对于t的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与其对应.
可以认为：时间t是自变量，路程s是t的函数
当t=1时，函数值s=60
当t=2时，函数值s=120
时间x是自变量，心脏部位的生物电流y是x的函数
年份x是自变量，人口数y是x的函数.
当x=1984时，函数值y=10.34
注意区分函数与函数值：函数是变量，函数值是变量所取的某个具体数值
汽车以60
km/h的速度匀速行驶，行驶路程s
（单位：km）
随行驶时间为t（
单位：h）变化而变化。
1.自变量t
取-2
有实际意义吗？
2.你能用自变量t表示函数s吗？
答：1.自变量t
取-2
没有实际意义
2.对应的关系式：s=60t
（1）在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限
制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个
范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的
数值范围叫函数自变量的取值范围．
函数自变量的取值范围和函数的解析式
（2）像s=60t这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法.
这种式子叫做函数的解析式.
时间x是自变量，心脏部位的生物电流y是x的函数
图象法
年份x是自变量，人口数y是x的函数
列表法
函数的三种表示方法：
解析式法、图象法、列表法
例1：汽车油箱有汽油50
L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程
x（单位：km）的增加而减少，平均油耗为0.1L/km.
（1）指出自变量、自变量的函数，写出函数的解析式
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200
km时，油箱中还有多少油？
例题讲解
解：（1）行驶路程自x是变量,油箱中的油量y是x的函数函数.
（2）
0≤x≤500；
y
=
50－0.1x
=
50
-
0.1×
200
（3）
当x
=
200
时
∴汽车行驶200
km时，油箱中还有30L汽油.
=30，
因为x代表行驶里程，所以不能取负数.
因为行驶中耗油量0.1x，不能超过现有油量.
x
≥
0
0.1x
≤
50
得
x
≤
500
例1：汽车油箱有汽油50
L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程
x（单位：km）的增加而减少，平均油耗为0.1L/km.
（1）指出自变量、自变量的函数，写出函数的解析式
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200
km时，油箱中还有多少油？
函数的的解析式为：y
=50－0.1x
S
=
x?；
y
=
0.1x；
V
=
10－0.05
t.
；
y
=
——
10
n
6
S是
x的函数，
y是
x的函数，
y是
n的函数，
V是
t
的函数，
x
是自变量，
x
是自变量，
n是自变量，
t
是自变量，
下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式.
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变.
（2）每分向一水池注水0.1m3
,注水量y（单位：m3）随注水时间x（单位：分）
的变化而变化.
（3）秀水村的耕地面积是106
m2,这个村人均占有耕地面积y（单位：m2）随这个村人数n的变化而变化.
（4）水池中有水10L，此后每小时漏水0.05L，水池中的水量V（单位：L）随时间t（单位：h）的变化而变化.
巩固练习
梯形的上底长2cm，高3cm，下底长x
cm大于上底长但是不超过5cm.
写出梯形面积S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围.
巩固练习
（1）变量与常量的概念
（2）自变量、函数、函数值、自变量的取值范围、函数解析式的概念，注意区分函数和函数值
（3）表示函数的方法主要有：解析式法、图象法、列表法
（4）确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.
课堂小结
必做题：习题19.1
第5-7题
选做题：习题19.1
第14、15题
布置作业
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
