高中数学人教版选修2第5单元导数单元测试（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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高中数学选修2-2导数单元测试
一、单选题（共8题；共40分）
1.曲线
在点
处切线为
，则
等于（???
）
A.?-4??????????????????????????????????????????B.?-2??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?2
2.函数
的图象在点
处的切线为
，则
在
轴上的截距为（???
）
A.?-1??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?-2??????????????????????????????????????????D.?2
3.已知函数
，则
（??
）
A.?是奇函数，且在
单调递减?????????????????????B.?是奇函数，且在
单调递增
C.?是偶函数，且在
单调递减?????????????????????D.?是偶函数，且在
单调递增
4.已知函数
的图象在点
处的切线斜率为6，且函数
在
处取得极值，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
5.若对任意的实数
恒成立，则实数
的取值范围是（????
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
6.已知
的图象如图所示，其中
是函数
的导数，则所给选项的四个图象中，函数
的图象可能是（???
）
A.?????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????D.?
7.若函数
在区间
上的极大值为最大值，则m的取值范围是（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
8.已知函数
在区间
上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
二、多选题（共4题；共20分）
9.已知曲线
在点P处的切线平行于直线
，那么点P的坐标为（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
10.若函数
在
的定义域上单调递增，则称函数
具有M性质.下列函数中具有M性质的是（??
?）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
11.已知函数f(x)=x3-3lnx-1，则（???
）
A.?f(x)的极大值为0?????????????????????????????????????????????????B.?曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线为x轴
C.?f(x)的最小值为0?????????????????????????????????????????????????D.?f(x)在定义域内单调
12.对于函数
，下列说法正确的是（???
）
A.?
在
处取得极大值
B.?
有两个不同的零点
C.?
D.?若
在
上恒成立，则
三、填空题（共4题；共20分）
13.曲线
在
处的切线的倾斜角为
，则
________.
14.函数
的单调递减区间是________.
15.已知三次函数
的图象如图所示，则
________．
16.若
在
上是减函数，则
的取值范围是________．
四、解答题（共6题；共70分）
17.已知函数
的导函数
的一个零点为
．
（1）求a的值；
（2）求函数
的单调区间．
18.已知函数
．
（Ⅰ）当
时，求
在
处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数
的单调性．
19.函数
（1）若
，求函数
在
处的切线；
（2）若
在区间
上单调递减，求实数
的取值范围.
20.若函数
，当
时，函数
有极大值．
（1）求函数的解析式；
（2）若存在
，使得
能成立，求
的取值范围；
21.已知函数
．
（1）讨论函数
的单调区间及极值；
（2）若关于
的不等式
恒成立，求整数
的最小值．
22.已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当
时，
；
（Ⅲ）设实数
使得
对
恒成立，求
的最大值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】【解答】由题意可得
，
而
。
故答案为：C.
【分析】利用导数的几何意义结合曲线
在点
处切线为
，进而求出切线的斜率，从而变形求出
的值。
2.【答案】
A
【解析】【解答】
，故
，
所以曲线
在
处的切线方程为：
.
令
，则
，故切线的纵截距为-1.
故答案为：A.
【分析】首先求出函数的导函数再把数值代入计算出导函数的值即为切线的斜率，再由大学生求出直线的方程以及点到直线的距离公式计算出结果即可。
3.【答案】
D
【解析】【解答】因为
，
,定义域关于原点对称，
且
，
所以
是偶函数，
当
时，
，
所以
在
单调递增，
故答案为：D
【分析】
根据奇偶性的定义即可判断奇偶性，然后结合指数函数的性质可判断单调性．
4.【答案】
C
【解析】【解答】由题可知：
，
则
解得
，
，
经检验，当
，
时，
在
处取得极大值，
所以
。
故答案为：C
【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用函数
的图象在点
处的切线斜率为6，再结合切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合已知条件，从而解方程组求出a,b的值，进而求出a+b的值。
5.【答案】
A
【解析】【解答】令
，
则
，令
若
时，
若
时，
所以可知函数
在
递减，在
递增
所以
由对任意的实数
恒成立
所以
故答案为：A
【分析】令
，
,再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围。
6.【答案】
B
【解析】【解答】由
的图象可得，当
时，
，函数
单调递减
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以可得
在
上单调递减
，
上单调递增，
上单调递减，
满足条件的选项只有B。
故答案为：B。
【分析】利用
的图象结合求导判断函数的单调性的方法，从而可得函数的单调性，进而选出函数
可能的图象。
7.【答案】
A
【解析】【解答】由题得
，令
，得
或
（舍去），
若
，则当
时，
，与题设矛盾；
若
，则当
时，
，
当
时，
，故
为函数的极大值点，
因为
在区间
内的极大值为最大值，所以
，即
，
所以
.
故答案为：A.
【分析】
先求导，并令导数为0，由（0，2）内的极大值为最大值求出m的取值范围．
8.【答案】
A
【解析】【解答】∵函数
在区间
上存在单调增区间，
∴函数
在区间
上存在子区间使得不等式
成立，
，
设
，
则
或
，
即
或
，
得
或
，
则
。
故答案为：A．
【分析】函数
在区间
上存在单调增区间，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以函数
在区间
上存在子区间使得不等式
成立，再利用导数的运算法则求出导函数，则
，设
，则
或
，从而结合代入法求出实数b的取值范围。
二、多选题
9.【答案】
B,C
【解析】【解答】设
，
则
，
令
，即
，解得
，
又
，
所以P点坐标为
或
．
故答案为：BC．
【分析】首先根据题意求出函数的导数，再由直线平行的性质计算出x的值由此得出点P的坐标即可。
10.【答案】
C,D
【解析】【解答】对于A，令
，则
，令
，得
或
，所以
在
和
上递增，而函数的定义域为
，所以
不具有M性质，所以A不满足题意；
对于B，令
，则
，而当
时，可知
，所以
不具有M性质，所以B不满足题意；
对于C，令
，则
在R上单调递增，满足题意.
对于D，令
，则
，令
，则
，当
时，
，当
时，
，所以
在
上递减，在
上递增，所以
，所以
，所以
在R上单调递增，满足题意.
故答案为：CD
【分析】
利用函数
在
的定义域上单调递增，则称函数
具有M性质，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而选出具有M性质的函数。
11.【答案】
B,C
【解析】【解答】f(x)=x3-3lnx-1的定义域为
，
令
，得
，
列表得：
x
(0,1)
1
(1,+∞)
-
0
+
f(x)
单减
?
单增
所以f(x)的极小值，也是最小值为f(1)=0，无极大值，在定义域内不单调；C符合题意，A、D不符合题意；
对于B:由f(1)=0及
，所以y=f(x)在（1，f(1))处的切线方程
，即
.B符合题意.
故答案为：BC
【分析】
求导得分析导数的正负，f（x）单调性，极值，最值，逐个判断即可得出答案．
12.【答案】
A,C,D
【解析】【解答】对于A：函数定义域为
，
，令
可得
，
令
可得
，所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
在
时取得极大值
，故答案为：项A符合题意
对于B：令
，可得
，因此
只有一个零点，故答案为：项B不正确；
对于C：显然
，
在
单调递减，
可得
，因为
，
即
，故答案为：项C符合题意；
对于D：由题意知：
在
上恒成立，
令
则
，因为
易知当
时.
，当
时，
，所以
在
时取得极大值也是最大值
，所以
，
所以
在
上恒成立，则
，故答案为：项D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】
首先利用函数的求导求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值，再利用函数的零点和方程的根的关系式求出函数有两个零点，进一步利用函数的单调性和函数的值比较出函数的大小关系，最后利用函数的恒成立问题的应用求出最后结果．
三、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】
则
故答案为：
【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，可得tanα，进一步求得α，再由三角函数的诱导公式求解
?。
14.【答案】
（-∞，0）和（0，1）（或写成（-∞，0）和(0，1]）
【解析】【解答】由题意得
，令
，解得
或
，所以函数的单调递减区间为（-∞，0）和（0，1）。
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调递减区间。
15.【答案】
1
【解析】【解答】解：由题意得，
，且
，
由题图可知，
是函数的极大值点，
是极小值点，
即
，
是
的两个根，
由
，
解得：
，
∵
，
，
∴
．
故答案为：1.
【分析】由图可知，
是函数的极大值点，
是极小值点，即得到?
，
是
的两个根，代入用m表示出p和n，再求出
，
即可求出。
16.【答案】
(-∞.-1]
【解析】【解答】
，
，
由于函数
在
上是减函数，
则
对任意的
恒成立，即
，得
，
二次函数
在区间
上为增函数，则
，
.
因此，实数
的取值范围是(-∞.-1].
故答案为：(-∞.-1].
【分析】根据题意求出哈的导函数由已知条件结合导函数的性质即可得出在恒成立，整理不等式分离参数集合二次函数的性质即可求出由此得出b的取值范围即可。
四、解答题
17.【答案】
（1）解：
，
由
，得
（2）解：由（1）得
，
则
．
令
，得
或
．
当
时，
；
当
时，
或
．
因此
的单调递增区间是
，单调递减区间是
【解析】【分析】(1)根据题意求出函数的导函数结合零点的定义代入数值计算出a的值即可。
(2)由(1)的结论即可得出函数的解析式，再对函数求导，令求出x的值结合导函数的正负情况即可得出原函数的单调性以及单调区间。
18.【答案】
解：（Ⅰ）
已知函数
，
则
的定义域为：
，
，
则
（1）
，又
（1）
，
在
处的切线方程为
，即
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
，
①当
时，
，此时
在
时单调递增，在
，
时单调递减；
②当
时，
，此时
在
时单调递增；
③当
时，令
，有
，或
，
此时
在
与
时单调递增，在
单调递减；
④当
时，
在
与
，
时单调递增，在
，
时单调递减；
⑤当
时，
在
时单调递增，在
，
时单调递减；
综上可知：
当
时，
在
时单调递增，在
，
时单调递减；
当
时，
在
与
，
时单调递增，在
，
时单调递减；
当
时，
，此时
在
时单调递增；
当
时，
在
与
时单调递增，在
单调递减．
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线的方程。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
19.【答案】
（1）解：
，
当
时，
，
函数
在
处的切线的斜率
，
切点坐标
，斜率
，
则切线方程为
，
即
（2）解：
在
上单调递减，
对
恒成立
可得：
当
时
，
，
所以
，所以
最小值为1，
所以实数
的取值范围：
.
【解析】【分析】(1)根据题意首先把a的值代入再对函数求导，然后把点的坐标代入到函数的解析式，即可计算出切线的斜率再由点斜式求出直线的方程即可。
(2)根据题意对函数求导结合已知条件函数的单调区间，整理由分离参数法得出由角的取值范围结合正弦函数的性质即可得出
，
由此求出a的取值范围。
20.【答案】
（1）解：
，
因为
时，函数
有极大值，所以
，
解得：
或
.
当
时，
，函数在
为增函数，
为减函数，
为增函数，
时，函数
有极小值，
与题意不符故
舍去.
当
时，
，函数在
为减函数，
为增函数，
为减函数，
时，函数
有极大值，
则
（2）解：存在
，使得
能成立，
所以在
时，
即可.
由（1）可知，函数在
为减函数，
为增函数，
为减函数，
时，
，
，
，
故
时，
，即
，
所以
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极大值，再结合当
时，函数
有极大值，进而求出a的值，从而求出函数的解析式。
（2）
存在
，使得
能成立，所以在
时，
即可，再由（1）可知函数f(x)的单调性，进而求出在
的函数的最大值，进而求出实数m的取值范围。
?
?
?
21.【答案】
（1）解：由
得
的定义域为
，且
①当
时，
恒成立，∴
在
上是减函数，无极值；
②当
时，令
，得
，令
，得
所以函数
在
上为增函数，在
为减函数，
且当
时，有极小值
，无极大值．
（2）解：
恒成立，即
恒成立，??????
令
，则
令
显然
是增函数，且
，使
即
且当
时，
时，
??
在
上是增函数，在
上是减函数
∴当
时，
有最大值
?
所以整数
的最小值为2
【解析】【分析】(1)首先对函数求导，由m的取值范围得出导函数的正负情况进而得到
函数f(x)的单调性以及单调区间；再由函数的单调性即可求出函数的极值。
(2)根据题意整理由分离参数法即可得出恒成立，构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出该函数的单调性，进而得出函数h(x)的最值，由此求出m的取值范围以及m的最小值。
22.【答案】
解：（Ⅰ）
，利用导数几何意义得切线斜率：
，又
，由点斜式得切线方程：
（Ⅱ）
，结论成立
（Ⅲ）由（2）知
时
在（0，1）上恒成立
当
时，令
则
当
时，
，即当
时，
在（0，1）上不恒成立
k的最大值为2．
【解析】【分析】（1）利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。‘
（2）令
，再利用求导的方法结合x的取值范围，从而推出
，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而推出
，从而证出当
时，
。
（3）
由（2）知
时
在（0，1）上恒成立
，再利用不等式恒成立问题求解方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出k的取值范围，进而求出k的最大值。
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