吉林省长春市二实2020-2021学年高一下学期4月月考数学试卷 Word版含答案

长春二实验中学2020-2021学年度下学期月考
高一数学试题
2021年4月
本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页。考试时间为120分钟。考试结束后，只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知复数，则在复平面内，对应的点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、在中，若，，，则等于 （ ）
A． B． C． D．
3、已知向量，，.若，则 （ ）
A． B． C． D．
4、已知直角梯形上下两底分别为分别为和，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为 （ ）
A． B． C． D．
5、 已知向量，，则在上的投影向量为 （ ）
A． B． C． D．
6、圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为 （ ）
A． B． C． D．
7、如图四边形为平行四边形，，，
若，则的值为 （ ）
B． C． D．
8、在分别是内角的对边，，，当内角最大时，的面积为 （ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9、已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，
则下列结论正确的是 （　　）
A．点的坐标为 B．
C．的最大值为 D．的最小值为
10、下列说法正确的是 （　　）
A．若点是的重心，则
B．已知，，若，则
C．已知，，三点不共线，，，三点共线，若，则 D．已知正方形的边长为，点满足，则
11、已知角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有 （　　） A．当，，时，满足条件的三角形共有个
B．若，则这个三角形的最大角是
C．若，则为锐角三角形
D．若，，则为等腰直角三角形
12、在中，在线段上，且，．若，，则 （　　）
A． B．的面积为
C．的周长为 D．为钝角三角形
第Ⅱ卷 非选择题
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、已知，为平面内两个不共线向量，，，若，、三点共线，则　 　．
14、如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的。已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坏的体积是
15、在中，，，，，则的最小值为______，若，则________．
16、已知中，，是的角平分线，则　 　，若，则的取值范围是 ___________．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18—22题，每题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、设锐角的内角，，的对边为，，，已知.
（1）求的大小； （2）若，，求.
18、已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为，宽为的长方形，顶点在底面投影为底面中心，高为.
求该几何体的体积. （2） 求该几何体的侧面积.
19、已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
20、如图所示，我国渔船编队在岛周围的海域作业，在岛的南偏西方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我国渔船编队靠近，现测得与相距海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西方向，以海里/小时的速度向岛直线航行以保护我国渔船编队，分钟后到达处，此时观测站测得，之间的距离为海里.
求的值; （2）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？
21、如图，在矩形中，，，点为矩形内一点（不含边界），且设.
当时，求证：;
求的最大值.
在锐角中，内角，，的对边为，，，边上的中线，且满足.
求; （2） 若，求的周长的取值范围.
长春二实验中学2020-2021学年度下学期月考
高一数学试题答案
2021年4月
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D B D C A D B A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9 10 11 12
ABC AD BD CD
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14.
15. ； 16. ;
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18—22题，每题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
【解答】解：（1）∵锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsin A．
∴sinA＝2sinBsinA，
∵角A是△ABC的内角，∴sinA≠0，∴sinB＝，
∵△ABC是锐角三角形，∴B＝．
（2）∵a＝3，c＝5，B＝，
∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝27+25﹣＝7．
解得b＝．
18.（本小题满分12分）
【解答】解：（1）几何体的体积为
V＝?S矩形?h＝×6×8×4＝64．
（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：
h1＝＝5．
左、右侧面的底边上的高为：
h2＝＝4．
故几何体的侧面面积为：
S＝2×（×8×5+×6×4）
＝40+24．
19.（本小题满分12分）
【解答】解：（1）∵，，
∴设，且，
∴4λ2+λ2＝20，解得λ＝±2，
∴或；
（2）∵，且，
∴＝，
∴，
∴，且θ∈[0，π]，∴θ＝π．
20.（本小题满分12分）
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得 CD＝40×＝20，
△BDC中，根据余弦定理求得 cos∠BDC＝＝﹣，
∴sin∠BDC＝．
（Ⅱ）由已知可得∠BAD＝20°+40°＝60°，
∴sin∠ABD＝sin（∠BDC﹣60°）＝×﹣（﹣）×＝．
△ABD中，由正弦定理可得AD＝＝15，
∴t＝＝22.5分钟．即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A．
21.（本小题满分12分）
【解答】
解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0，0），B（2，0），C（2，），D（0，），
当时，P（，），
则＝（，），＝（﹣，），
则＝×（﹣）+（）2＝0，
故．
（2）设P（cosα，sinα），
则＝（2﹣cosα，﹣sinα），＝（﹣cosα，﹣sinα），＝（cosα，sinα），
则＝（2﹣2cosα，2﹣2sinα），
所以（）＝2cosα﹣2cos2α+2sinα﹣2sin2α＝4sin（）﹣2，
因为0，
故当时，（）?取最大值2．
（本小题满分12分）
【解答】解：（1）在△ABD中，由余弦定理得：，①
在△ACD中，由余弦定理得：，②
因为∠ADB+∠ADC＝π，所以cos∠ADB+cos∠ADC＝0，
①+②得：，即，
代入已知条件a2+2bc＝4m2，得a2+2bc＝2b2+2c2﹣a2，
即b2+c2﹣a2＝bc，，
又0＜A＜π，所以．
（2）在△ABC中由正弦定理得，又a＝2，
所以，，
∴＝2+sinB+（sincosB﹣cossinB）
＝2+4（cosB+sinB）＝，
∵△ABC为锐角三角形，，
∴，
∴，∴．
∴△ABC周长的取值范围为．
高一数学试题 第4页 共 6 页