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9.1.2三角形内角和与外角和导学案
课题
9.1.2三角形内角和与外角和
单元
9
学科
数学
年级
七年级
知识目标
1.理解三角形的外角的两条性质以及三角形的内角和与外角和.
2.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算.
3.
联系三角形外角和内角的定义、邻补角的性质，探索三角形的外角的两条性质和三角形的外角和.
重点难点
重点：掌握三角形外角的性质以及其外角的和
难点：三角形角的有关计算.
教学过程
知识链接
1.什么叫三角形的外角？三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系？
2.三角形的内角和等于多少?
合作探究
一、教材第76页
1.我们都知道三角形的内角和为180°，那么，你能用几何知识进行证明吗？
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，
证明：∠1+∠2+∠3=180°.
二、教材第77页
1.你能根据三角形的内角和计算出直角三角形的两个锐角的度数和吗？
【归纳结论】三角形的内角和等于
；直角三角形的两个锐角
.
2.如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角.
三角形的外角与内角有什么关系呢？
很显然：∠CBD（外角）+
（相邻内角）=
。
那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
∵∠CBD+∠ABC=180°
∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°
∴∠CBD=∠ACB+∠BAC
【归纳结论】三角形的外角有两条性质：
(1)
；
(2)
.
三、教材第78页
1.与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的
.
问：你能用“三角形的内角和等于180°”来说明图中∠1+∠2+∠3=360°吗？
解：
【归纳结论】三角形的外角和等于
.
四、教材第79页
例1、如图D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC=70°
求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.
自主尝试
如图，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，用“<”表示∠1，∠2，∠A之间的关系为__________________
.
如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，则∠BDC=_______，∠BFD=_______
.
如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=∠E，∠C=
.
【方法宝典】
根据三角形内角和外角相关概念解题即可.
当堂检测
1.将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
2.如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系，下列正确的是（）
A.∠2=∠4+∠7
B.∠3=∠1+∠6
C.∠1+∠4+∠6=180°
D.∠2+∠3+∠5=360°
3.若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列哪个不可能是∠B的度数？（
）
A.37°
B.57°
C.77°
D.97°
4.如图，l∥m，∠1=115°，∠2=95°，求∠3的度数.
如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
6.如图，∠ABC=31°，又∠BAC的平分线AE与∠FCB的平分线CE相交于E点，求∠AEC的度数.
7.如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，求∠BDC的大小.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.C
2.C
3.C
4.解：∵l∥m，∠1=115°，
∴∠4=180°-∠1=180°-115°=65°，
又∠5=180°-∠2=180°-95°=85°，
∴∠3=∠4+∠5=65°+85°=150°
5.解：如图连接CE，
根据三角形的外角性质得
∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，
在△DCE中有
∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°.
6.解：设∠BAC=2x°，
则根据三角形外角的性质得：
∠BCF=（2x+31）°，
∵∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点，
∴∠EAC=x°，∠ECD=（∠E+x）°，
∵∠ECF是△AEC的外角，
∠ECD=∠ECF,∴∠ECD=∠E+∠EAC，
即：∠E+(∠E+x°）=x°+31°，
解得：∠E=15.5°.
7.解：如图，延长BD交AC于E.
∵DA=DB=DC，
∴∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°.
又∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°，∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，
∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°.
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精品试卷·第
2
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（共
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页）
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华师大版
七下数学
9.1.2三角形的内角和与外角和
回顾旧知
A
B
C
D
相邻的
内角
三角形的外角
2.你还记得三角形外角的定义吗？
不相邻的内角
不相邻的内角
1.你还记得三角形的内角和是多少吗？
探究新知
将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？
折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角.
可以将∠A，∠B
剪下并移至顶点C处拼接成一个角.
A
B
C
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
因为直线在平移下的像是与它平行的直线，
如图，将△ABC的边BC所在的直线平移，使其经过点A，得到直线B'C'
.
则
，
所以∠B+∠BAC+∠C=180°.
又
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
归纳总结
由此得到：
三角形的内角和等于180°.
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
方法展示
多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
探究新知
证明：延长BC到D，过C作l∥BA，
∵
l∥BA
∴
∠4=∠1(两直线平行，内错角相等)
∠5=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠3+∠4+∠5=180°
∴∠1+∠2+∠3=180°
C
A
B
1
2
3
4
5
l
D
练一练
下面图形中被小福娃遮住的角是多少度？
想一想
在△ABC
中，若∠C
=90°，你能求出∠A，∠B
的度数吗？为什么？你能求出∠A
+∠B
的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．
应用格式：
在直角△ABC
中，
∵ ∠C
=90°，
∴ ∠A
+∠B
=90°．
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC
可以写成Rt△ABC
练一练
如图，
∠C=∠D=90
°,AD,BC相交于点E.
∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90
°-
∠AEC.
在Rt△BDE中，
∠DBE=90
°-
∠BED.
∵
∠AEC=
∠BED，
∴
∠CAE=
∠DBE.
问题探究
三角形内外角有什么关系呢？
B
C
D
A
很显然：∠ACD(外角)+∠ACB(内角)=180°
那么外角
∠ACD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
想一想
B
C
A
D
把
∠ABC和
∠BAC分别移动，放到
∠ACD上，会出现什么结果呢？
发现：∠ACD=∠ABC+
∠BAC
归纳总结
∠ACD=∠ABC+
∠BAC
即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
可知：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
因为：∠ACD+∠ACB=180°
∠ABC+
∠BAC+
∠ACB=180
°
三角形外角的性质
如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C
的度数.
解：因为∠B+∠C=∠CAD，
所以∠C=∠CAD-∠B，
所以∠C=100°-30°=70°.
练一练
探究新知
B
C
A
）
）
1
2
3
）
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个,
这两个外角是对顶角,
因此取其一作为三角形的外角.
那么∠1+
∠2+
∠3就是△ABC的外角和.
）
做一做
所以：∠1+
∠2+
∠3=
360
°
∠1+
=
180
°
∠2+
=
180
°
∠3+
=
180
°
三式相加可以得到
∠1+
∠2+
∠3+
+
+
=
.
∠ACB
∠BAC
∠ABC
∠ACB
∠BAC
∠ABC
540
°
而
∠ACB
+∠BAC
+∠ABC=
180
°
归纳总结
三角形的外角和等于360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
∠BAE+
∠CBF+
∠ACD
=2(∠1+
∠2+
∠3)=360
°.
探究新知
例1、如图D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC=70°
求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.
80°
70°
？
？
∵∠ADC是△ABD的外角（已知）
解：
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°
又∵∠B＝∠BAD（已知）
（三角形的一个外角等于与它不
相邻的两个内角的和
）
∴∠B＝80°×＝40°（等量代换）
(2)∵∠B+∠BAC+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)
∴∠C=180°-∠B-∠BAC(等式的性质)
=180°-40°-70°
=70°
典例精析
练一练
如图，计算∠BDC.
A
B
C
D
(
(
(
51
°
20
°
30
°
A
B
D
E
A
C
D
E
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
A
B
C
D
(
(
(
51
°
20
°
30
°
解：（解法一）连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51°
+20°+30°=101°.
)
1
2
)
3
)
4
A
B
C
D
(
(
(
51
°
20
°
30
°
E
)
1
（解法二）延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51°
+20°+30°=101°.
（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过程同解法二）
)
2
要点归纳
A
B
C
D
(
(
(
1
3
(
∠BDC=
∠1+
∠2+
∠3.
课堂练习
1.已知△ABC中，∠A＝
70°，∠C＝30°，∠B＝______.
2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角是_______.
3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______.
80°
20°
50°
34°
4.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=
36°，
∠C=
76°，则∠DAC的度数为________.
5.如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？
E
D
C
B
A
解：∵∠1＝
∠A+
∠D
（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）
又∵∠2＝
∠B+
∠E
∴
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠1+∠2+∠C
=180°
1
2
课堂小结
三角形内角和与外角和
三角形的
内角和
三角形内角和等于180
°
直角三角形的两锐角互余
三角形外角和
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360
°
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