教 案
教学基本信息
课题 一次函数的概念
学科 数学 学段 第三学段 年级 八年级
教材 书名：义务教育教科书 出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年9月
教学目标及教学重点、难点
知识要素： 一次函数的概念，一次函数的图象. 主要方法与能力： （1）从熟悉的实际问题入手，关注从实际问题抽象为数学问题的过程，加深对一次函数的理解；将阅读的步骤融于其中，发展阅读能力与抽象能力. （2）通过归纳小结，得出一次函数的概念，然后通过对比，发现一般与特殊的关系. （3）运用描点作图法，研究一次函数的图象与正比例函数图象的关系，发展作图能力.
教学过程
教学环节 主要教学活动 设置意图
引入 引导学生思考问题：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km，气温下降6℃. 登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃. 试用函数解析式表示y与x的关系. 分析题目中的关键句，引导学生发现变量之间的函数关系，并写出函数解析式. 结合学生的生活实际，从学生熟悉的实际问题入手，激发学生的学习兴趣.
新课 引导学生找出下列问题中，变量之间的函数关系，并写出函数解析式. （1）有人发现，在20 ℃~25 ℃时蟋蟀每分鸣叫次数c 与温度t（单位：℃）有关，即c的值约是t的7倍与35的差. （2）一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得差是G的值. （3）某城市的市内电话的收费额y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话x min的计时费 （按0.1元/min收取）. （4）把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积y（单位：）随x的变化而变化. 融入数学阅读的步骤，分析题目中的关键句，引导学生发现变量之间的函数关系，并写出函数解析式. 从学生熟悉的实际问题入手，关注从实际问题抽象为数学问题的过程，从而加深学生对一次函数的理解. 将数学阅读的步骤融于教学当中，发展学生的阅读能力与抽象能力.
观察以上函数解析式，引导学生发现这些函数在形式上的共同点：都是常数 k 与自变量的积与常数 b 的和的形式. 给出一次函数的定义，并强调其中对常数k，b的要求. 探究一次函数与正比例函数之间的关系，引导学生发现一般与特殊的关系. 学生在教师的引导下通过归纳小结，得出一次函数的概念，发展抽象概括能力. 学生在探究一次函数与正比例函数之间关系时，体会一般与特殊的数学思想.
例题 例1：下列函数是一次函数吗？如果是，请指出其中k，b的值. （1） （2） （3） （4） 学生通过完成本道例题，加深对一次函数概念的理解，熟练掌握一次函数的概念.
例2：某学生的家离学校2 km，他以0.2 km/min 的速度骑车从家去学校，则他与学校的距离 s（单位：km）和骑车的时间 t（单位：min）的函数解析式为_____________，s 是 t 的_________函数，其中自变量 t 的取值范围是_____________. 学生通过完成本道例题，回顾生活情境中的函数问题的解决方法，熟练解决此类问题的基本步骤。
例题 例3：对于函数y = (k-3)x+k+2（k为常数） 当k_______时，它是一次函数； 当k_______时，它是正比例函数. 学生通过完成本道这两道例题，加深对一次函数和正比例函数概念的理解.同时提炼总结方法：若一个函数为一次函数，则只需让自变量的指数=1，且自变量的系数≠0.
例4：对于函数（n为常数） 当 n_______时，它是一次函数.
例5：若函数y = 2mx-(4m-4)（m为常数）的图象经过点（1,6），则m=_____，此时函数解析式为____________， 是_______函数. 本道例题用点坐标的形式呈现了变量间的单值对应关系，引导学生对一次函数形成较全面的认识，同时，引出一次函数的图象研究.
新课 回忆描点作图的步骤，引导学生画出函数y = -2x与y = -2x+5的图象. 学生通过观察，比较得出两个函数图象的相同点与不同点，然后完成填空. 引导学生通过比较解析式、表格和图象，发现两个函数的区别，以及这样的区别的不同表现形式. 运用同样的方法，画出函数 y = 0.5x 与 y = 0.5x-3 的图象. 最后总结得出一次函数的图象特征，以及一次函数可以由正比例函数平移得到的结论. 学生通过动手画图，认识一次函数的图象. 学生通过比较解析式、表格和图象，认识到这些表现形式是从不同角度反映两个函数的差别，这些形式是相互联系的.
例题 例6： （1）直线 y = 2x-3 是由直线 y = 2x 向_____平移_____个单位长度得到的； （2）把直线 y = -2x+1 向上平移 3 个单位长度得到的函数表达式是___________. 学生通过完成本道例题，复习巩固一次函数图象的平移规律.
总结 1. 定义：一般地，形如y = kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数. 2. 图象：一次函数y = kx+b（k≠0）的图象也是一条直线，我们称它为直线y = kx+b. 它可以由直线y = kx平移| b |个单位长度得到. （当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） 学生通过小结，回忆巩固本节课所学知识.
作业 1. 下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （1） （2） （3） （4） 2. 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2 m/s. （1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式. 它是一次函数吗？ （2）求第2.5 s时小球的速度. 3. 一个弹簧不挂重物时长12 cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比. 如果挂上1 kg的物体后，弹簧伸长2 cm. 求弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式. 学生完成课后作业，达到复习巩固的目的.《一次函数的概念》 学习任务单
【学习目标】
知识要素：
一次函数的概念，一次函数的图象.
主要方法与能力：
（1）从熟悉的实际问题入手，关注从实际问题抽象为数学问题的过程，加深对一次函数的理解；将阅读的步骤融于其中，发展阅读能力与抽象能力.
（2）通过归纳小结，得出一次函数的概念，然后通过对比，发现一般与特殊的关系.
（3）运用描点作图法，研究一次函数的图象与正比例函数图象的关系，发展作图能力.
涉及内容：
课本19.2.2中的问题2及思考内容，例2及思考内容.
【课上任务】
登山队员所在位置的气温 y与向上登高高度x之间的关系是什么？试用函数解析式表示.
在思考问题中，变量之间的函数关系是什么？请写出函数解析式.
观察以上函数解析式，这些函数在形式上具有什么共同点？
一次函数的定义是什么？
一次函数与正比例函数之间，具有什么样的关系？
如何画出函数y=-2x与y=-2x+5的图象？
以上两个函数图象具有哪些相同点与不同点？
如何借助三种函数表示方法，理解以上两个函数之间存在的关系？
一次函数的图象如何得到？它有哪些特征？
【学习疑问】
你有哪个环节没弄清楚？有什么困惑？
你想向同伴和老师提出什么问题吗？
本节课有几个环节，环节之间有什么联系和顺序？
【课后作业】
下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1） （2）
（3） （4）
一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2 m/s.
（1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式.它是一次
函数吗？
（2）求第2.5 s时小球的速度.
一个弹簧不挂重物时长12 cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成
正比.如果挂上1 kg的物体后，弹簧伸长2 cm.求弹簧总长y（单位：cm）
关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式.
【课后作业参考答案】
（1）（4）是一次函数，（1）是正比例函数.
（1）v = 2t，是一次函数；（2）5 m/s .
y = 12+2x（0 ≤ x ≤ m，m是弹簧能承受物体的最大质量）.
