教
案
教学基本信息
课题
一次函数的综合运用（二）
学科
数学
学段：7-9
年级
八年级
教材
书名：
人教版八年级下册教科书
出版社：
人民教育出版社
出版日期：
2013年12月
教学目标及教学重点、难点
(
解释
实际意义
函数
实际问题
设变量
找对应关系
函数问题的解
实际问题
的解
)
(
应用
函数
某些
现实问题中变量之间相互联系
建立数学模型
定义
自变量取值范围
表示法
一次函数
y=kx+b
（
k
≠
0
）
图像
：一条直线
性质：
k＞
0，y
随
x
的
增大而增大
k
＜
0，y
随
x
的
增大而减小
一次函数与方程（组）、
不等式之间的关系
)教学目标
会用一次函数的坐标特征表示动点;
经历用一次函数知识解决动点问题的过程，体会转化思想、方程思想、分类讨论思想以及数形结合思想;
提高分析问题，用数学知识解决问题的能力.
（二）重难点
教学重点：动点的坐标表示
教学难点：数形结合思想的运用
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
同学们，函数是刻画变量之间关系的模型，而一次函数，是诸多函数中，最为简单的一类，
(
应用
函数
某些
现实问题中变量之间相互联系
建立数学模型
定义
自变量取值范围
表示法
一次函数
y=kx+b
（
k
≠
0
）
图像
：一条直线
性质：
k＞
0，y
随
x
的
增大而增大
k
＜
0，y
随
x
的
增大而减小
一次函数与方程（组）、
不等式之间的关系
)我们先来复习一下一次函数的相关知识：
(
一次函数
y=kx+b
（
k
≠0）
图
象：一条直线
性质：
k
＞0，
y
随
x
的增大而增大
k
＜0，
y
随
x
的增大而减小
)
通过学习相关知识，我们肯定对“运动变化和联系对应”这句话有了一些感悟。今天，我们将一起通过对一次函数背景下动点问题的研究，继续深入体会，运动变化和联系对应的关系.
强调函数是刻画变量之间关系的模型，点明本章学习的主旨.
例题
1.已知：在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于A点,与y轴交于B点，点P从点B出发，沿直线上向下运动.点Q的坐标为（4，0），连接OP，PQ.
（1）当PB=PO时,求点P的坐标；
（2）当△OPQ的面积等于△ABO面积的一半时，求P点坐标；
分析问题：条件分析，结论分析，图形分析
任务1：根据题目描述，画出一次函数图象，并确定A,B,Q点的位置.
任务2：点P在运动的过程中，描述PB,PO及△OPQ面积的变化趋势.
任务3：根据一次函数的表达式，表示点P的坐标.
任务4：PB与PO相等时，画出点P的位置.
任务5：数形结合，用多种方法建立方程，并比较优劣.
任务6：用P点坐标表示△OPQ的面积.
任务7：数形结合，确定满足条件的点P的位置.
任务8：总结本题，明确一次函数的作用.
归纳总结：
充分挖掘给定条件，明确不变量与不变性；
充分对图形进行操作，分析动点的轨迹特征；
根据动点的量化特征，与其它点之间建立量化关系.
2.已知，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A（-4，0）,B（-1，0）C（-1，2）.
若直线l:y=kx-2经过点D,求直线L的表达式；
若直线l:y=kx-2与矩形ABCD有两个公共点，求k的取值范围.
任务1：根据题目中条件的描述，画出满足条件的矩形.
任务2：通过分析直线的表达式，描述这条直线的位置特征.
任务3：由直线经过点D的条件，列出满足条件的方程.
任务4：在k变化的过程中，描述这条直线与矩形的公共点个数.
任务5：数形结合，确定恰好不满足条件的直线.
任务6：分别列方程，求出两种情况下的k值.
任务7：利用一次函数的性质，写出k的取值范围.
任务8：总结本题，明确一次函数的作用.
归纳总结：
充分挖掘给定条件，明确不变量与不变性；
充分对图形进行操作，分析直线随k值的变化特征；
找到临界状态，并结合图形进行量化表示.
3.已知：在平面直角坐标系xOy中,点A（0，1），M（3，2），N（4，4）.动点P从点A出发，沿y轴
以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=－x+b也随之移动，设移动时间为t秒.
（1）当t=3时，求l的解析式；
（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；
（3）直接写出t为何值时，点M关于直线l的对称点落在坐标轴上.
任务1：根据题目中条件的描述，标出各点位置，并画出一次函数图象的初始状态.
任务2：通过分析直线的表达式，描述这条直线的位置特征.
任务3：运动3秒时，写出点P的坐标.
任务4：写出此时直线的表达式.
任务5：在时间t的变化过程中，确定b与t的关系.
任务6：数形结合，确定恰好不满足条件的直线.
任务7：分别列方程，求出两种情况下的t值.
任务8：通过图形操作，明确点M关于直线l的对称点的位置特征.
任务9：数形结合，确定满足条件点的坐标特征.
任务10：总结本题，明确一次函数的作用.
归纳总结：
充分挖掘给定条件，明确不变量与不变性；
充分对图形进行操作，分析直线随b值的变化特征；
找到临界状态，并结合图形进行量化表示.
本题以解析式确定的函数图象上的动点为背景，从图形特征到数量特征，初步体会数形结合思想的运用.
第一问充分挖掘PB=PO这个数量特征对应的图形特征，再回归到点P的坐标特征，让学生经历方法的对比与优化，体会数形结合思想解题的重要性.
第二问中，对动点P与△OPQ面积的之间的关系进行研究，从动点P的坐标特征与一次函数解析式的关系入手，引导学生从数的角度入手，通过形的特征来描述面积的表示方法，进一步体会数形结合思想.
本题以过定点的一次函数图象为背景，通过分析该图象上点的坐标特征，结合一次函数的基本性质，解决问题.
第一问的设置，意在让学生体会，要想确定解析式，只需要一个满足条件的点坐标即可.使学生体会找到满足条件的点坐标是解决问题的关键.
第二问的设置，希望学生体会，随着k的变化，直线上的点如何运动？直线与矩形之间的位置关系如何变化.在操作的过程中，引导学生体会，寻找临界位置的重要性.
本题以k确定的一次函数图象特征为背景.通过分析图象上点的坐标特征，结合一次函数的基本性质解决问题.
第一问仍然设置为利用点的坐标满足函数解析式，确定参量b的值，初步体会方程思想.
第二问设置M,N异侧背景的图形描述，通过学生充分操作，了解一次函数图象与点M,N之间的位置关系变化，结合第一问的解题经验，确定t的范围.
第三问的设置，意在让学生初步体会该一次函数除了需要研究坐标特征外，还有丰富的图形特征.利用几何性质来建立变量之间的联系的优势.
总结
一次函数是我们学习的较为简单的函数，通过对它的研究，我们可以掌握研究函数问题的基本方法，并能深入体会数形结合思想的运用.通过本节课的学习，我们应该对与一次函数相关的动点问题有以下归纳：对于一次函数的动点问题的解决建议：
（1）通过分析条件，明确一次函数的几何与代数特征
（2）利用数形结合思想，建立图形与坐标之间的联系
（3）通过数量关系构造方程进行求解
作业
如图，有一种动画程序，屏幕上正方形是蓝色区
域（含正方形边界），其中A(1,1),B(2,1),C(2,2),D(1,2),
用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到蓝色
区域时，区域便由蓝变红，则能够使蓝色区域变红的b
的取值范围为
．
(
0
1
2
2
1
)《一次函数的综合运用（二）》学习任务单
【学习目标】
利用一次函数的解析式，图象及性质，综合解决问题。借助函数的数量特征与图形特征，深化对数形结合思想的理解。
【课上任务】
1.通过复习一次函数的基本知识，你能想到这一章的主要数学思想方法是什么？
2.通过对题目1的分析，初步体会动点问题中，存在的变量与定量，并尝试发现变量与定量之间的关系；
3.通过对题目1的分析，体会从定量计算的角度刻画数学模型的分析思路；
4.通过对题目1的分析，体会从定性分析的角度转化条件及结论的分析思路；
5.通过对题目2的分析，体会k的变化对一次函数图像的影响，深化对b为定值的一次函数图形特征的理解和掌握；
6.通过对题目2的分析，初步体会求取值范围问题中，确定边界值，进行边界值验证，深入把握数形结合思想方法的运用；
7.通过对题目3的分析，体会b的变化对一次函数图象的影响，深化对k为定值的一次函数图形特征的理解和掌握；
8.通过对题目3的分析，深入体会图形语言与符号语言之间的互相转化，寻找连续运动变化过程中的不变性与不变量，并用其解决运动变化问题的基本方法。
9.通过对3道题目的学习，尝试总结，对含有参量的一次函数问题的理解和把握，形成解题策略，深化数形结合的思想方法的运用。
【学习疑问】（可选）
10．哪段文字没看明白？
11．哪个环节没弄清楚？
12．有什么困惑？
13．您想向同伴提出什么问题？
14．您想向老师提出什么问题？
15．没看明白的文字，用自己的话怎么说？
16．本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序？
17．同伴提出的问题，您怎么解决？
【课后作业】
19．作业1（本节例题相似题目2）
【课后作业参考答案】3≤b≤8教
案
教学基本信息
课题
一次函数综合：实际问题应用
学科
数学
学段：
7-9
年级
八年级
教材
书名：人教版八年级下册教科书
出版社：
人民教育出版社
出版日期：
2019
年
11
月
教学目标及教学重点、难点
教学目标
会用一次函数的知识解决生活中的问题；
经历用一次函数知识解决实际问题的过程，体会转化思想、方程思想、函数模型思想以及数形结合思想；
提高分析问题，用数学知识解决实际问题的能力。
（二）重难点
教学重点：用一次函数知识解决生活中的实际问题
教学难点：将实际问题转化为数学问题
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
一、知识回顾
通过前面的学习，我们已经研究了一次函数的相关知识，主要有哪些内容呢？
2.我们通过几道题目回忆一下相关知识：
（1）某通讯公司每月收取月租费50元，每通话1分钟再收费0.4元，若某月通话x分钟，则话费y与x之间的函数表达式为____________；
（2）画出函数y=0.4x+50的图象；
（3）如图：
两直线a和b分别表示甲乙两人跑步路程和时间的关系，由图象可知，当t_____时，甲跑步的路程等于乙跑步的路程；
当t_____时，甲跑步的路程大于乙跑步的路程。
通过上面的题目，我们回忆了一次函数的知识。在一次函数学习过程中，首先我们是从实际生活中的例子引出，抽象出一次函数的概念，可见数学来源于生活,之后我们对一次函数的图象和性质进行了研究，在生活中有很多问题都符合一次函数的模型，如匀速行驶的汽车、水费付费、手机通讯话费….可以用一次函数的知识来解决。今天我们继续用一次函数的知识解决生活中的问题。
回忆一次函数的相关内容，为后面解决问题做铺垫。
复习利用函数模型解决实际问题的基本过程。
列函数解析式，
有了函数解析式可以画出它
的图像，
利用函数图像数形结合解决问题，熟悉交点的含义，以及利用函数图像比较函数值的大小。
二、探究学习，解决问题
例1：
某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获利润分别为y甲，y乙（单位：元），y甲，y乙与销售量x（单位：件）的函数关系如图所示，请你根据图象解决下列问题：
（1）分别求出y甲、y乙与x的函数关系式；
（2）现在厂家有商品500件，单独分配给甲商场或乙商场，分配给哪个商场，厂家获得的利润更高？
（3）现在厂家有商品1200件，分配给甲商场和乙商场，如何分配，厂家获得的总利润最大？
分析问题：图像条件分析
任务1：图形给了哪些条件？如何利用这些条件求出y甲、y乙与x的函数关系式；
任务2：已知函数关系式和图像，如何比较函数值的大小？本题中函数值的大小对应的实际意义是什么？
任务3：请回答例题的第二问。你能用两种方法说明吗？
任务4：如何求利润总和？如果设分配给乙商场x件商品，则分配给甲商场多少件？用含x的关系式表示出利润总和y。
做一件事情，有时有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的。应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析，可以帮助我们清楚地认识各种方案，作出合理的选择。
在选择方案时，怎样从数学角度进行分析，这就涉及变量的问题，常会用到函数．
请看下面问题：
例2：怎样选取上网收费方式？
下表给出A、B、C三种上宽带网的收费方式
收费方式月使用费/元包时上网时间/h超时费/（元/min）A30250．05B50500．05C120不限时
选取哪种方式能节省上网费？
任务1：哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？影响网费变化的因素是什么？
任务2：一定会产生超时费吗？什么情况下产生超时费？
不一定，和上网时间有关，超过包时上网时间后才会产生超时费。
任务3：设上网时间为t小时，所需费用为y，你能表示出方式A的上网费用吗？
当0≤t≤25时，y＝30；
?当t＞25时，y＝30＋0.05×60（t－25），即y＝3t－45；
∴
任务4：类比方式A，你能用数学关系式表示出方式B中上网费用y与上网时间t的关系吗？方式C呢？
=120.
例1选取阅读两较少的，已知函数图像的题目，体会函数在实际问题中的应用方法以及重要作用，近一步体会数形结合的直观性。
已经给出变量和函数图像，从解决函数问题的环节开始。
已知x求函数值，关注分段函数的取其范围。
数形结合。
例2并未给出变量，需要学生自己找出变量，建立函数模型。
通过问题1引导学生找出问题中的变量，为抽象函数模型准备。
问题2，超时费不一定会产生，时间不超过25不会产生，超过25会产生，为学生表达A的费用需讨论时间的范围，需要分段打下基础，
让学生从粗到细的感知问题的整体结构和数量关系，感知上网费用随上网时间的变化而变化，并把这两个变量作为研究对象，引导学生最终把问题转化为一次函数问题．
三、建立模型，解决问题
任务5：你能在同一坐标系下画出三个函数关系式的图像吗？
任务6：函数交点是什么意思？如何求交点坐标？
时，
3t－45=50，解方程，得；
时，
3t－100＝120，解方程，得；
任务7：比较函数、、的大小呢？
任务8：上述比较函数值大小结果的实际意义是什么？
当上网时间不超过31小时40分钟时，选择方式
A最省钱；
当上网时间为31小时40分钟至73小时20分钟时，选择方案B最省钱；
当上网时间超过73小时20分钟时，选择方案C最省钱．
例3：A地有肥料200吨，B地有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两城．从A地往C、D两城运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B地往C、D两城运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现C城需要肥料240吨，D城需要肥料260吨，怎样调运总运费最少？
任务1：分析整理已知条件：
任务2：如果设A地运往C城x吨，则运往D地多少吨？
B地需要运往C城多少吨？B地运往D地多少吨？
A地运往C城的肥料量为x吨，
则运往D城的肥料量为（200-x）吨．
B地运往C、D城的肥料量分别为（240-x）吨与（60+x）吨．
任务3：总运费包括哪些？请分别表示出来。
总运费包括：
A→C的运费：20x
A→D的运费：25（200-x）
B→C的运费：15（240-x）
B→D的运费：24（60+x）
任务4：设总运费为y元，则y与x的关系式是什么？x的取值范围是多少？你能画出它的图像吗？
解：设总运费为y元，
y与x的关系式为：
y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x），
即y=4x+10040（0≤x≤200）．
任务5：上述函数有没有最小值？它的实际意义是什么？
由图象（或函数关系式子）可看出：
当x=0时，y有最小值10040，
因此，从A地运往C城0吨，运往D城200吨；从B地运往C城240吨，运往D城60吨，此时总运费最少，总运费最小值为10040元．
上述分段函数问题，需要在画出函数图象观察函数图象的基础上对上网时间进行分段讨论，让学生感受函数图象与方程、不等式数形结合的方法．
教师引导学生解释上述结果的实际意义．解释函数模型中解的实际意义，从而解决实际问题．
四、归纳总结、提升思想方法
小结
用一次函数解决实际问题的基本思路：
（1）明确问题的目标，发现问题中数量之间的关系；
（2）分析变量，找出问题中变量之间的函数关系；
（3）利用所学函数知识解决函数问题，如已知自变量求函数值，函数值的和，函数的最值，比较函数值的大小等等；
（4）说明函数问题的解的实际意义，从而说明实际问题的解．
提高学生反思过程的针对性，展示函数的应用价值，突出建立数学模型的思想方法和实际意义．
五、巩固应用
巩固练习：某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车.它们的载客量和租金如下表所示.
甲种客车乙种客车载客量/（人/辆）4530租金/（元/辆）400280
（1）共需租多少辆汽车？
（2）给出最节省费用的租车方案.《一次函数的综合运用（第一课时）》学习任务单
【学习目标】
1．会用一次函数的知识解决生活中的问题；
2．经历用一次函数知识解决实际问题的过程，体会转化思想、方程思想、
函数模型思想以及数形结合思想；
3．提高分析问题，用数学知识解决实际问题的能力。
【课上任务】
1．一次函数的相关知识，主要有哪些内容呢？
2．
利用函数模型解决实际问题的基本过程
3．回忆一下相关知识，三道题，
4．图形给了哪些条件？如何利用这些条件求出y甲、y乙与x的函数关系式；
5．已知函数关系式和图像，如何比较函数值的大小？本题中函数值的大小对应的实际意义是什么？
6．请回答例题的第二问。你能用两种方法说明吗？
7．如何求利润总和？如果设分配给乙商场x件商品，则分配给甲商场多少件？用含x的关系式表示出利润总和y。
8．哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？影响网费变化的因素是什么？
9．一定会产生超时费吗？什么情况下产生超时费？
10.
设上网时间为t小时，所需费用为y，你能表示出方式A的上网费用吗？
11.
你能在同一坐标系下画出三个函数关系式的图像吗？
12.
函数交点是什么意思？如何求交点坐标？上述比较函数值大小结果的实际意义是什么？
13.
如果设A城运往C乡x吨，则运往D城多少吨？
B城需要运往C乡多少吨？B城运往D城多少吨？
14.总运费包括哪些？请分别表示出来
15.
设总运费为y元，则y与x的关系式是什么？x的取值范围是多少？你能画出它的图像吗？
【课后作业】
某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车.它们的载客量和租金如下表所示.
甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
（1）共需租多少辆汽车？
（2）给出最节省费用的租车方案.
【课后作业参考答案】
（1）要保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6；每辆汽车最少有1名老师，汽车总数不能大于6；所以可知汽车总数为6.
（2）设租甲种客车x辆、则学校租车所需的总费用y（单位：元）是x得函数，依题意，得
y=400x+280（6-x）
整理，得:
y=120x+1680．
为使240名师生有坐，则45x+30(6-x)≤240，得4≤x；
为使租车费用不超过2300，则400x+280(6-x)≤2300，得x≤5；∴4≤x≤5．x应为整数，
∴x=4或5
在y=120x+1680中，
∵k=120＞0，
∴y随x的增大而增大．
∴当x取最小值，即x=4时，y有最小值．
所以最节省费用的租车方案是：租用4辆甲种客车，2辆乙种客车．
