2020-2021学年人教版八年级数学下册第18章 平行四边形 经典常考题专题训练（一）（word版含解析）

人教版八年级数学下册第18章
平行四边形
经典常考题专题训练（一）
1．如图，在?ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，∠A＝60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？
（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？
2．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且直线AB与DC之间的距离为4，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP+∠PAB，求AP的长度．
3．如图，已知?ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：?ABCD是菱形．
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．
4．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：∠DAC＝∠DCA；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
5．如图，在正方形ABCD中，点E．F分别在BC和CD上，BE＝DF，连接EF．
（1）求证：△AEF为等腰三角形．
（2）过点E作EM∥AF，过点F作FM∥AE，判断四边形AEMF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
6．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．
（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．
7．如图，在平行四边形BPCD中，点O为BD中点，连接CO并延长交PB延长线于点A，连接AD、BC，若AC＝CP，
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若AB＝9，BC＝12，AE＝3，则AF的长为　
　．
8．如图，四边形DEBF是平行四边形，A、C在直线EF上且AE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图中所有与△DFC面积相等的三角形．
9．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF＝CE＝1，求AC长．
10．如图，AC为矩形ABCD的对角线，点E，F分别是线段BC，AD上的点，连接AE，CF，若∠BAE＝∠DCF：
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AC平分∠DAE，AB＝4，BC＝8，求△AEC的周长．
11．已知：如图，在?ABCD中，∠BCD的角平分线交AB于E，交DA的延长线于F．
（1）求证：DF＝DC；
（2）若E是FC的中点，已知BC＝2，DE＝3，求FC的长．
12．如图，等边△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；
（2）求∠F的度数．
13．已知在?ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．
（2）在（1）的条件下，若AB＝4cm，求△PCD的面积．
（3）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
14．如图，在平行四边形ABCD中，F，G分别是CD，AB上的点，且AG＝CF，连接FG，BD交于点O．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若∠A＝45°，DB⊥BC，当CD＝2时，求OC的长．
15．如图，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点G是线段BC的中点，点E是线段AD上的一点，点F是线段AB延长线上一点，连接DF，且∠ABE＝∠CDG＝∠FDG．
（1）∠A＝45°，∠ADF＝75°，CD＝3+，求线段BC的长；
（2）求证：AB＝BF+DF．
参考答案
1．解：（1）AP＝2t（cm），AQ＝6﹣t（cm），
∵当△PAQ是等边三角形时，AQ＝AP，
即2t＝6﹣t，
解得t＝2．
∴当t＝2时，△PAQ是等边三角形；
（2）∵△PAQ是直角三角形，
∴∠AQP＝90°，
当∠AQP＝90°时，有∠APQ＝30°，，
即AP＝2AQ，
∴2t＝2（6﹣t），
解得t＝3（秒），
当∠APQ＝90°时，有∠AQP＝30°，，
即AQ＝2AP
∴6﹣t＝2?2t，解得（秒）．
∴当t＝3或时，△PAQ是直角三角形．
2．解：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，
∵BD＝CD，
∴BD＝BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴DN＝AM＝4，
又∵∠ABD＝∠MAP+∠PAB，∠ABD＝∠P+∠BAP，
∴∠P＝∠PAM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP＝AM＝8．
3．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴?ABCD是菱形．
（2）解：由（1）得：?ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AO＝CO，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE，
∵AE＝AF＝3，
∴∠AFE＝∠AEF，
又∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝5，
∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，
∴AO＝AC＝4．
4．（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCA；
（2）证明：∵∠DAC＝∠DCA，AB＝AD，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
5．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌△RtADF（SAS），
∴AE＝AF，
∴三角形AEF是等腰三角形；
（2）四边形AEMF是菱形．理由如下：
∵EM∥AF，FM∥AE，
∴四边形AEMF是平行四边形，
由（1）知AE＝AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
6．证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图，连接OP，
∵AD＝12，AB＝5，
∴BD＝＝＝13，
∴BO＝OD＝AO＝CO＝，
∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，
∴S△AOP+S△POD＝15，
∴××FP+××EP＝15，
∴PE+PF＝．
7．（1）证明：∵四边形BPCD是平行四边形，
∴CP＝BD，BP∥CD，BP＝CD，
∴∠OAB＝∠OCD，AB∥CD，
∵点O为BD中点，
∴OB＝OD，
在△AOB和△COD中，，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝CP，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝12，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴OA＝OB，AC＝＝＝15，
∴OA＝，
作OG⊥AB于G，如图所示：
则AG＝BG＝，
∴OG是△ABD的中位线，
∴GO∥AD，GO＝AD＝6，
∴GE＝AE+AG＝3+＝，
∴＝，
解得：AF＝，
故答案为：．
8．（1）证明：连接BD交AC于O，如图1所示：
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴OE＝OF，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：图中所有与△DFC面积相等的三角形为△ADE、△BEA，△CBF，理由如下：
∵AE＝CF，
∴△ADE的面积＝△DFC的面积，△ABE的面积＝△CBF的面积，
由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴△ADE的面积＝△CBF的面积，
∴△ADE的面积＝△DFC的面积＝△ABE的面积＝△CBF的面积．
9．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴OC＝DE，
∴四边形OCED为平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形OCED是矩形，
∴OD∥CE，∠OCE＝90°，
∵O是AC中点，
∴F为AE中点，
∴CF＝AF＝EF，
∵CF＝CE＝1，
∴CF＝1，
∴AE＝2，
∴AC＝＝＝．
10．解：（1）在矩形ABCD中，
AF∥CE，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAE＝∠DCF，
∴∠CAE＝∠ACF，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AF∥CE，
∴∠FAC＝∠ACE，
∴∠CAE＝∠ECA，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，
∴由勾股定理可知：x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
在Rt△ABC，
由勾股定理可知：AC2＝42+82，
∴AC＝4，
∴△ABC的周长为：5+5+4＝10+4．
11．解：（1）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE＝∠F，
∴∠F＝∠DCE，
∴DF＝DC；
（2）∵AD∥BC，
∴∠F＝∠BCE，∠B＝∠FAE，
∵E是FC的中点，
∴CE＝FE，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（AAS），
∴AF＝BC＝2，
又∵AD＝BC＝2，
∴DF＝4，
∵DF＝DC，E是CF的中点，
∴DE⊥CF，
∴Rt△DEF中，EF＝＝＝，
∴FC＝2EF＝2．
12．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
∵DE∥CF，
∴四边形DCFE是平行四边形，
（2）解：由（1）得：四边形DCFE是平行四边形，
∴CD∥FE，
∴∠F＝∠BCD，
∵△ABC是等边三角形，D是AB的中点，
∴∠ACB＝60°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝30°，
∴∠F＝30°．
13．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB，
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝CD，
∵CD＝CP，
∴CP＝CD＝DP，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠B＝60°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，
∵△PDC是等边三角形，
∴△PCD三边上的高相等，且等于sin60°×4＝×4＝2，
∴S△PCD＝×2×4＝4（cm2）；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴PD∥BC，
若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ，
设运动时间为t秒，
①当0＜t≤3时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝6﹣2t，
∴6﹣0.5t＝6﹣2t，
解得：t＝0（不合题意舍去）；
②当3＜t≤6时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣6，
∴6﹣0.5t＝2t﹣6，
解得：t＝4.8；
③当6＜t≤9时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝18﹣2t，
∴6﹣0.5t＝18﹣2t，
解得：t＝8；
④当9＜t≤12时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣18，
∴6﹣0.5t＝2t﹣18，
解得：t＝9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
14．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ODF＝∠OBG，
∵AG＝CF，
∴BG＝DF，
在△DOF和△BOG中，
，
∴△DOF≌△BOG（AAS），
∴OB＝OD；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝45°，
∵BD⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
∴∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴DB＝CB，
又∵CD＝2，
∴CB＝DB＝2，
∴OB＝1，
∴Rt△BCO中，OC＝＝＝．
15．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝45°，AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝135°，
∵∠ADF＝75°，
∴∠CDF＝135°﹣75°＝60°，
∵∠CDG＝∠FDG，
∴∠CDG＝∠FDG＝30°，
作GH⊥CD于H，如图1所示：
则DH＝GH，CH＝GH，CG＝GH，
∵CD＝DH+CH，
∴GH+GH＝3+，
解得：GH＝，
∴CG＝GH＝，
∵点G是线段BC的中点，
∴BC＝2CG＝2；
（2）证明：延长DG交AF的延长线于M，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠CDG＝∠M，
∵CDG＝∠FDG，
∴∠M＝∠FDG，
∴DF＝MF，
∵点G是线段BC的中点，
∴BG＝CG，
在△CDG和△BMG中，，
∴△CDG≌△BMG（AAS），
∴CD＝BM，
∵AB＝CD，BM＝BF+MF，
∴AB＝BF+DF．