2020~2021学年高一下学期人教B版(2019)必修第四册第十章检测卷（Word含解析）

2020~2021学年人教B版(2019)必修第四册第十章检测卷
　　本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知i为虚数单位,复数z满足i(z+1)=1,则复数z=
(　　)
A.1+i
B.1-i
C.-1-i
D.-1+i
2.已知复数z=2+i,则z·=
(　　)
A.
B.
C.3
D.5
3.若复数z=m(m-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则=
(　　)
A.i
B.-i
C.2i
D.-2i
4.若复数z1=4cos
+isin
,z2=cos
+isin
,则z1z2=
(　　)
A.--i
B.-+i
C.-+i
D.--i
5.若(1+i)x=1+yi,其中i是虚数单位,x,y∈R,则z=x+yi在复平面内对应的点在
(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6.如图,在复平面内,正方形OACB的顶点A,B,O对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么顶点C对应的复数为
(　　)
A.3+i
B.3-i
C.1-3i
D.-1+3i
7.设复数z在复平面内对应的点位于第一象限,且满足|z|=5,z+=6,则复数在复平面内所对应的点的坐标为
(　　)
A.(-3,4)
B.(4,-3)
C.(-4,3)
D.(3,-4)
8.在复平面内,O为坐标原点,复数z1=i(+i),z2=对应的点分别为Z1,Z2,则∠Z1OZ2的大小为
(　　)
A.π
B.
C.π
D.π
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全都选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知复数z=-+i,则以下结论正确的是
(　　)
A.z2≥0
B.z2=
C.z3=1
D.z2020=z
10.已知复数z=(m2-1)+(m-)(m-1)i(m∈R),则下列说法正确的是
(　　)
A.若m=0,则=1-i
B.若z=2,则m=
C.若z为纯虚数,则m=±1
D.若m=0,则4+2z+z2=0
11.已知复数z满足i2k+1z=2+i(k∈N),则z在复平面内对应的点可能位于
(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
12.已知i为虚数单位,则下列选项中正确的是
(　　)
A.复数z=3+4i的模|z|=5
B.若复数z=3+4i,则(复数z的共轭复数)在复平面内对应的点在第四象限
C.若复数(m2+3m-4)+(m2-2m-24)i(m∈R)是纯虚数,则m=1或m=-4
D.对任意的复数z,都有z2≥0
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的虚部为　　　　.?
14.在复平面内,设O是坐标原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,则向量对应的复数的虚部为　　　　.?
15.若虚数z1,z2是关于x的一元二次方程x2+px+q=0(p,q∈R)的两个解,且=z2,则pq=　　　　.?
16.复数z1,z2在复平面内对应的点分别为M1,M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i(i是虚数单位),则+=　　　　.?
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知i是虚数单位,复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i,m∈R.
(1)当复数z为实数时,求m的值;
(2)当复数z为虚数时,求m的值;
(3)当复数z为纯虚数时,求m的值.
18.(12分)已知i为虚数单位,复数z1=a-i(a∈R),z2=2+i.
(1)若a=3,求z1z2;
(2)若z1+2≥4+mi(m∈R),求m的值和a的取值范围.
19.(12分)已知z1=m2+i,z2=(2m-3)+i,m∈R,i为虚数单位,且z1+z2是纯虚数.
(1)求实数m的值;
(2)求z1·的值.
20.(12分)已知复数z1=1+(5-a2)i,z2=ai(a>0),2+z2∈R.
(1)求实数a的值;
(2)设z1,z2,z1-z2在复平面上对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
21.(12分)设z+1为关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的虚数根,i是虚数单位.
(1)当z=-1+i时,求p,q的值;
(2)若q=1,在复平面内,设复数z对应的点为M,复数2-4i对应的点为N,求|MN|的取值范围.
22.(12分)已知i为虚数单位,z=a+bi(a,b∈R)是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2,u=.
(1)求|z|及a的取值范围;
(2)求ω-u2的最小值.
参考答案
1.C　【解析】
由题意,得z=-1=-1-i,故选C.
2.D　【解析】
∵z=2+i,∴z·=(2+i)(2-i)=5,故选D.
3.A　【解析】
因为复数z=m(m-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,所以则m=0,所以z=-i,则==i.
4.C　【解析】
z1z2=4cos
+isin
×cos
+isin
=4i××+i=-+i,故选C.
5.A　【解析】
由(1+i)x=1+yi,得x+xi=1+yi,
∴即x=y=1,
∴z=x+yi=1+i在复平面内对应的点为(1,1),在第一象限.
故选A.
6.D　【解析】
由题知A(1,2),B(-2,1),O(0,0),则=(1,2),=(-2,1),连接OC,因为=+=(1,2)+(-2,1)=(-1,3),所以顶点C对应的复数为-1+3i.
7.D　【解析】
设z=a+bi(a,b∈R且a>0,b>0),
由|z|=5,z+=6,得解得∴=a-bi=3-4i,
∴复数在复平面内所对应的点的坐标为(3,-4).
故选D.
8.B　【解析】
∵z1=i(+i)=-1+i,
z2===
==+i,
∴Z1(-1,),Z2,,
则·=(-1,)·,=0,即⊥,
∴∠Z1OZ2的大小为.
故选B.
9.BCD　【解析】
∵z=-+i,
∴z2=-+i2=-i-=--i,故A错误;
∵=--i,∴z2=,故B正确;
z3=z2·z=--i-+i=-i+i+=1,故C正确;
z2020=z3×673·z=z,故D正确.
故选BCD.
10.BD　【解析】
若m=0,则z=-1+i,∴=-1-i,故A错误;
若z=2,则得m=,故B正确;
若z为纯虚数,则得m=-1,故C错误;
若m=0,则z=-1+i,∴4+2z+z2=4+2(-1+i)+(-1+i)2=2+2i-2-2i=0,故D正确.
故选BD.
11.BD　【解析】
∵i2k+1z=2+i,∴z=.
又i1=i5=…=i,i3=i7=…=-i,
当k为奇数时,z====-1+2i,
在复平面上对应的点为(-1,2),位于第二象限;
当k为偶数时,z====1-2i,
在复平面上对应的点为(1,-2),位于第四象限.
故选BD.
12.AB　【解析】
对于A,复数z=3+4i的模|z|==5,故A正确;
对于B,若复数z=3+4i,则=3-4i在复平面内对应的点为(3,-4),在第四象限,故B正确;
对于C,若复数(m2+3m-4)+(m2-2m-24)i(m∈R)是纯虚数,
则解得m=1,故C错误;
对于D,当z=i时,z2=-1<0,故D错误.
故选AB.
13.3　【解析】
∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i-2=-1+3i,
∴z的虚部为3.
14.-5　【解析】
由题意得=(2,-3),=(-3,2),
则=-=(2,-3)-(-3,2)=(5,-5),
∴向量对应的复数为5-5i,其虚部为-5.
15.1　【解析】
由题意可知虚数z1与z2为共轭复数,设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0),则z2=a-bi,又=z2,
∴a2-b2+2abi=a-bi,
∴解得
∴z1=-+i,z2=--i或z1=--i,z2=-+i.由根与系数的关系,得p=-(z1+z2)=1,q=z1·z2=1,
∴pq=1.
16.100　【解析】
设O为坐标原点,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以线段OM1,OM2为邻边的平行四边形是矩形,即∠M1OM2为直角.又M是斜边M1M2的中点,且||==5,所以||=2||=10,所以+=+==100.
17.解:(1)当复数z为实数时,m2-3m=0,∴m=0或m=3.
(2)当复数z为虚数时,m2-3m≠0,∴m≠0且m≠3.
(3)当复数z为纯虚数时,∴m=2.
18.解:(1)当a=3时,z1=3-i,
则z1z2=(3-i)(2+i)=7+i.
(2)由z1+2≥4+mi,
得a-i+2(2-i)≥4+mi,即a-(m+3)i≥0,
∴m=-3,a≥0.
19.解:(1)z1+z2=(m2+2m-3)++i,
∵z1+z2是纯虚数,
∴
解得m=1.
(2)由(1)得z1=1+i,z2=-1+i,
则=-1-i,
∴z1·=1+i-1-i=-1+i2=-+i=--i.
20.解:(1)∵z1=1+(5-a2)i,
∴=1+(a2-5)i.
∵2[1+(a2-5)i]+ai=2+(2a2-10+a)i∈R,
∴2a2-10+a=0,
解得a=2(负值舍去).
(2)由(1)可知,z1=1+i,z2=2i,
∴z1-z2=1-i,
∴A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
∴S△ABC=×2×1=1.
21.解:(1)∵z=-1+i,
∴z+1=i,则方程x2+px+q=0的两个虚数根分别为i,-i.
由根与系数的关系得
∴
(2)设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则=a+1-bi,
由题意可得(z+1)·=(a+1)2+b2=1.
令a+1=cos
θ,b=sin
θ,θ∈(0,π)∪(π,2π),
则M(cos
θ-1,sin
θ),又N(2,-4),
∴|MN|==其中cos
φ=,sin
φ=.
∵sin(θ-φ)∈[-1,1],
∴|MN|∈[4,6],故|MN|的取值范围是[4,6].
22.解:(1)ω=z+=a++b-i,
因为ω是实数,所以b-=0.
因为z为虚数,所以b≠0,所以a2+b2=1,所以|z|=1.
因为ω=z+=2a,且-1<ω<2,所以-(2)由题意知u==-i,
所以ω-u2=2a+=2a+=2a+=2a+1+-3≥1,
当且仅当a=0时,等号成立,
所以ω-u2的最小值为1.