1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解任意角的概念．2．掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)3．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易错点)
1.通过对任意角的学习，提升学生数学抽象素养．2．借助角范围的形成与深入，提升学生数学运算和直观抽象素养.
1．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的表示
如图，
(1)始边：射线的起始位置OA，
(2)终边：射线的终止位置OB，
(3)顶点：射线的端点O.
图中的角α可表示为“角α”或“∠α”或“α”．
3．任意角的分类
(1)按旋转方向分
(2)按角的终边位置分
①前提：把角放在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
②分类：
4．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
1．下列说法中正确的是( )
A．第二象限角大于第一象限角
B．第二象限角是钝角
C．终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同
D．以上说法皆错
C [A错误．如第二象限角100°小于第一象限角361°.
B错误．如第二象限角－181°不是钝角．
C正确．]
2．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．
－670° [由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.]
3．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．
240° 三 [因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且180°＜240°＜270°，故α＝240°，它是第三象限角．]
任意角和象限角的概念
【例1】 (1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．
其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．
(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°，②855°，③－510°.
(1)① [①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；
②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；
③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；
④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．]
(2)[解] 作出各角的终边，如图所示：
由图可知：
①420°是第一象限角．
②855°是第二象限角．
③－510°是第三象限角．
1．判断角的概念问题的关键与技巧．
(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；
(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．
2．象限角的判定方法．
(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )
A．A＝B＝C
B．A?C
C．A∩C＝B
D．B∪C?C
D [由已知得BC，所以B∪C?C，故D正确．]
2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D [－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，
360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．]
终边相同的角的表示及应用
【例2】 (1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．
(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．
思路点拨：利用终边相同的角的集合与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(1)(－3)×360°＋195° [－885°＝－1
080°＋195°＝
(－3)×360°＋195°.]
(2)[解] 与α＝－910°终边相同的角的集合为
{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，
∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1,2,3.
当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；
当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；
当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.
1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．
2．运用终边相同的角的注意点
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．
3．下面与－850°12′终边相同的角是( )
A．230°12′
B．229°48′
C．129°48′
D．130°12′
B [与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1
080°＝229°48′.]
4．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．
{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z} [落在第二象限时，表示为k·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．]
5．已知角α＝2
018°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.
[解] (1)由2
018°除以360°，得商为5，余数为218°，
∴取k＝5，β＝218°，α＝5×360°＋218°.
(2)与2
018°角终边相同的角为k·360°＋2
018°(k∈Z)．
令－360°≤k·360°＋2
018°＜720°，k∈Z，
∴k取－6，－5，－4.将k的值代入k·360°＋2
018°中，得角θ的值为－142°，218°，578°.
任意角终边位置的确定和表示
[探究问题]
1．若射线OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射线OA绕点O逆时针旋转90°经过的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示？
提示：终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为{α|k·360°＋10°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z}．
2．若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
提示：(1)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
【例3】 (1)若α是第一象限角，则是( )
A．第一象限角
B．第一、三象限角
C．第二象限角
D．第二、四象限角
(2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
思路点拨：(1)→
→
(2)①→
②
(1)B [因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，
当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角．
所以是第一、三象限角．]
(2)[解] ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．
1．在本例(1)中，条件不变，问－是第几象限角？
[解] 由k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
∴k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，
∴是第一、三象限角．
又因为－与的终边关于x轴对称，
所以－是第二、四象限角．
2．若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
[解] 在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
1．表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
2．nα或所在象限的判断方法：
(1)用不等式表示出角nα或的范围；
(2)用旋转的观点确定角nα或所在象限．
例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z.
由0°＜＜30°，每次逆时针旋转120°可得终边的位置．
提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．
6．若角的终边落在如图所示的图形范围内，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
[解] 在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是nα及所在象限的判定．
2．本节课要重点掌握以下规律方法
(1)关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
注意：①α为任意角；
②k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；
③相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；
④k∈Z这一条件不能少．
1．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．第四象限的角一定是负角
C．60°角与600°角是终边相同的角
D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°
D [A错误，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角；
B错误，280°角是第四象限角，但它不是负角；
C错误，600°－60°＝540°不是360°的整数倍；
D正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为－360°，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为360°×＝60°.]
2．下列各个角中与2
021°终边相同的是( )
A．－147°
B．677°
C．321°
D．221°
D [因为2
021°＝360°×5＋2
021°，所以与2
021°终边相同的角是221°.]
3．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z} [观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．]
4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．
(1)－120°；(2)640°.
[解] (1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，
∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．
(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，
∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
PAGE1.1.2 弧度制
学
习
目
标
核
心
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养
1.体会引入弧度制的必要性，了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．2．能进行弧度与角度的换算、掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)
1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，提升学生数学抽象素养．2．在类比和数学运用过程中，培养学生数学建模和数学运算素养.
1．度量角的两种单位制
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
周角的为1度的角，记作1°
弧度制
定义
以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1
rad
2．弧度数的计算
思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
5.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
1．下列说法中错误的是( )
A．1弧度的角是周角的
B．弧度制是十进制，而角度制是六十进制
C．1弧度的角大于1度的角
D．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
A [A错误，1弧度的角是周角的.B、C、D都正确．]
2．(1)化为角度是________．
(2)105°的弧度数是________．
(1)252° (2) [(1)＝°＝252°；
(2)105°＝105×
rad＝
rad.]
3．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．
[由已知得S扇＝××22＝.]
4．－π是第________象限的角．
三 [－π＝－8π＋，∵是第三象限角，
∴－π也是第三象限角．]
角度与弧度的互化与应用
【例1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－.
[解] (1)72°＝72×＝；
(2)－300°＝－300×＝－；
(3)2＝2×＝；
(4)－＝－＝－40°.
角度制与弧度制互化的关键与方法
?1?关键：抓住互化公式π
rad＝180°是关键；
?2?方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数；
?3?角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
1．(1)将－157°30′化成弧度为________；
(2)将－化为度是________．
(1)－π
rad (2)－396° [(1)－157°30′＝－157.5°＝－×
rad＝－π
rad.
(2)－＝°＝－396°.]
2．在[2π，4π]中，与72°角终边相同的角是________．(用弧度表示)
π [因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝1时，θ＝432°＝π，
所以在[2π，4π]中与72°角终边相同的角是π.]
用弧度制表示角
【例2】 (1)把－1
480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π，并判断它是第几象限角？
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
思路点拨：(1)→
→
(2)→→
[解] (1)－1
480°＝－1
480×＝－＝－10π＋，其中0≤＜2π，因为是第四象限角，
所以－1
480°是第四象限角．
(2)因为30°＝
rad,210°＝
rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤．
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用.
3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
C [A，B中弧度与角度混用，不正确．
π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]
4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[解] 30°＝，150°＝.
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.
弧长公式与扇形面积公式的应用
[探究问题]
1．用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？
提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．
2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．
【例3】 (1)如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________；
(2)扇形OAB的面积是4
cm2，它的周长是8
cm，求扇形的半径和圆心角．
思路点拨：(1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程，再解方程求∠EAD的弧度数．
(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．
(1)2－ [设AB＝1，∠EAD＝α，
∵S扇形ADE＝S阴影BCD，
由题意可得×12×α＝12－，
∴解得α＝2－.]
(2)[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l
cm，半径为r
cm，
依题意有
由①②，得r＝2，∴l＝8－2r＝4，θ＝＝2.
故所求扇形的半径为2，圆心角为2
rad.
1．(变条件)将本例(2)中的条件“8”改为“10”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．
[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，
依题意有
由①得l＝10－2r，代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8(cm)，
此时，θ＝8
rad＞2π
rad(舍去)．
当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝
rad.
2．(变结论)将本例(2)中的条件“面积是4
cm2”删掉，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.
[解] 设弧长为l，半径为r，由已知l＋2r＝8，
所以l＝8－2r，|α|＝＝，
从而S＝|α|r2＝··r2＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，
当r＝2时，S取最大值为4，这时圆心角α＝＝＝2，
可得弧长AB＝αr＝2×2＝4.
1．弧度制下解决扇形相关问题的步骤：
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝|α|r2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．
2．通过弧度制的引入，使弧长公式及扇形面积公式均有了弧度制的新形式，体现了核心素养下两种公式的比较及弧度的渗透．
角度制下
l＝，S＝
弧度制下
l＝|α|r，S＝|α|r2＝lr
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于利用“180°＝π
rad”这一关系式．
3．弧度制下涉及扇形问题的解题策略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α(0＜α＜2π)是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．
1．下列说法正确的是( )
A．1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
D [利用弧度的概念判断，易知D正确．]
2．下列转化结果错误的是( )
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
C [对于A,60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.故选C.]
3．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________.
[－570°＝－＝－4π＋.]
4．求半径为π
cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．
[解] 因为r＝π，α＝120×＝，
所以l＝αr＝
cm，S＝lr＝
cm2.
PAGE1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
第1课时 任意角的三角函数的定义
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习
目
标
核
心
素
养
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)3.掌握公式一并会应用.
1.借助单位圆给出任意角三角函数的定义，培养学生数学抽象和数学建模素养.2.通过利用三角函数定义及符号特点求值，提升学生直观想象和数学运算素养.
1．任意角的三角函数的定义
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦，记作sin
α，即sin
α＝y
余弦
x叫做α的余弦，记作cos
α，即cos
α＝x
正切
叫做α的正切，记作tan
α，即tan
α＝
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin
α
R
cos
α
R
tan
α
3.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
4．诱导公式一
思考：终边相同的角的同名三角函数值一定相等吗？
提示：一定相等．
1．若角α的终边经过点P(2,3)，则有( )
A．sin
α＝
B．cos
α＝
C．sin
α＝
D．tan
α＝
C [这里x＝2，y＝3，则r＝＝，
∴sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝，故选C.]
2．已知sin
α＞0，cos
α＜0，则角α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．]
3．sinπ＝________.
[sinπ＝sin＝sin＝.]
4．角α终边与单位圆相交于点M，则cos
α＋sin
α的值为________．
[cos
α＝x＝，sin
α＝y＝，
故cos
α＋sin
α＝.]
三角函数的定义及应用
[探究问题]
1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin
α，cos
α，tan
α为何值？
提示：sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝.
2．sin
α，cos
α，tan
α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
提示：sin
α，cos
α，tan
α的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．
【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x＞0)，且cos
θ＝x，求sin
θ，tan
θ的值为________；
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
思路点拨：(1)
→
(2)→
(1)，3 [由三角函数定义知，
cos
θ＝＝＝x.
∵x＞0，∴x＝1，∴r＝.
∴sin
θ＝，tan
θ＝＝3.]
(2)[解] 直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin
α＝，cos
α＝－，tan
α＝－；
在第四象限取直线上的点(1，－)，
则r＝＝2，
所以sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝－.
1．将本例(1)中条件“x＞0”改为“x＜0”，结果如何？
[解] ∵x＜0，由＝x得x＝－1.
∴sin
θ＝，tan
θ＝－3.
2．将本例(1)中条件“x＞0”改为“x≠0”，结果又怎样？
[解] 因为r＝，cos
θ＝，
所以x＝，
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.
当x＝1时，sin
θ＝，tan
θ＝3，
当x＝－1时，sin
θ＝，tan
θ＝－3.
3．将本例(1)中“P(x,3)”改为“P(x,3x)”，且把“cos
θ＝”去掉，结果又怎样？
[解] ∵x≠0，∴r＝＝|x|.
当x＞0时，P在第一象限，θ为第一象限角，
这时r＝x，
则sin
θ＝，cos
θ＝，tan
θ＝3.
当x＜0时，P在第三象限，θ为第三象限角，这时r＝－x.
则sin
θ＝－，cos
θ＝－，tan
θ＝3.
4．将本例(2)的条件“x＋y＝0”改为“y＝2x”，其他条件不变，结果又如何？
[解] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sin
α＝＝，cos
α＝＝，tan
α＝＝2.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
由r＝|OQ|＝＝，
得：sin
α＝＝－，cos
α＝＝－，
tan
α＝＝2.
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin
α＝，cos
α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对参数(或)变量正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
三角函数值符号的运用
【例2】 (1)已知点P(tan
α，cos
α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin
145°cos(－210°)；②sin
3·cos
4·tan
5.
思路点拨：(1)先判断tan
α，cos
α的符号，再判断角α终边在第几象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．
(1)C [因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角．
∴sin
145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin
145°cos(－210°)＜0.
②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，
∴sin
3＞0，cos
4＜0，tan
5＜0，
∴sin
3·cos
4·tan
5＞0.
判断三角函数值在各象限符号的攻略：
?1?基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
?2?关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
?3?注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.
1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos
α≤0，sin
α＞0，则实数a的取值范围是________．
[－2,3] [因为cos
α≤0，sin
α＞0，
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，
所以所以－2＜a≤3.]
2．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．
四 [角α是第三象限角，则角是第二、四象限角，
∵＝－sin，∴角是第四象限角．]
诱导公式一的应用
【例3】 求值：(1)tan
405°－sin
450°＋cos
750°；
(2)sincos＋tancos.
[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan
45°－sin
90°＋cos
30°
＝1－1＋＝.
(2)原式＝sincos＋tan·cos
＝sincos＋tancos＝×＋1×＝.
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
3．化简下列各式：
(1)a2sin(－1
350°)＋b2tan
405°－2abcos(－1
080°)；
(2)sin＋cosπ·tan
4π.
[解] (1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin
90°＋b2tan
45°－2abcos
0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)sin＋cosπ·tan
4π
＝sin＋cosπ·tan
0＝sin＋0＝.
1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．
2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等．
1．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②sin
α是“sin”与“α”的乘积；
③若sin
α＞0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos
α＝－.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [①正确；②错误；sin
α是整体；③错误，如sin
＝1＞0；④错误，cos
α＝，故B选项正确．]
2．若sin
θ·cos
θ＞0，则θ在( )
A．第一或第四象限
B．第一或第三象限
C．第一或第二象限
D．第二或第四象限
B [因为sin
θ·cos
θ＞0，所以sin
θ＜0，cos
θ＜0或sin
θ＞0，cos
θ＞0，所以θ在第三象限或第一象限．]
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin
α＝，则sin
β＝________.
－ [设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，
由题意知y＝sin
α＝，所以sin
β＝－y＝－.]
4．求值：(1)sin
180°＋cos
90°＋tan
0°；
(2)cos＋tan.
[解] (1)sin
180°＋cos
90°＋tan
0°＝0＋0＋0＝0.
(2)cos＋tan
＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝.
PAGE第2课时 三角函数线及其应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点)
通过三角函数线的学习，培养学生数学抽象，直观想象和数学建模素养.
1．有向线段
(1)定义：带有方向的线段．
(2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM，MP.
2．三角函数线
(1)作图：①α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M.
②过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T.
(2)图示：
(3)结论：有向线段MP、OM、AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．
思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？
提示：当角的终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．
1．角和角有相同的( )
A．正弦线
B．余弦线
C．正切线
D．不能确定
C [角和角的终边互为反向延长线，所以正切线相同．]
2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线OM，正切线A′T′
B．正弦线OM，正切线A′T′
C．正弦线MP，正切线AT
D．正弦线MP，正切线A′T′
C [α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确．]
3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．
1 [若角α的余弦线长度为0时，α的终边落在y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0,1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.]
作已知角的三角函数线
【例1】 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)－；(2)；(3).
[解] 如图．
其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．
三角函数线的画法
?1?作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.
?2?作正切线时，应从A?1，0?点引x轴的垂线，交α的终边?α为第一或第四象限角?或α终边的反向延长线?α为第二或第三象限角?于点T，即可得到正切线AT.
1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．
[解] 如图：
sin＝MP，
cos＝OM，
tan＝AT.
利用三角函数线比较大小
【例2】 (1)已知cos
α＞cos
β，那么下列结论成立的是( )
A．若α、β是第一象限角，则sin
α＞sin
β
B．若α、β是第二象限角，则tan
α＞tan
β
C．若α、β是第三象限角，则sin
α＞sin
β
D．若α、β是第四象限角，则tan
α＞tan
β
(2)利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小．
思路点拨：(1)
(2)
(1)D [由图(1)可知，cos
α＞cos
β时，sin
α＜sin
β，故A错误；
图(1)
由图(2)可知，cos
α＞cos
β时，tan
α＜tan
β，故B错误；
图(2)
由图(3)可知，cos
α＞cos
β时，sin
α＜sin
β，C错误；
图(3)
由图(4)可知，cos
α＞cos
β时，tan
α＞tan
β，D正确．
]
图(4)
(2)解：如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.
显然|MP|＞|M′P′|，符号皆正，
∴sin＞sin；
|OM|＜|OM′|，符号皆负，∴cos＞cos；
|AT|＞|AT′|，符号皆负，∴tan＜tan.
?1?利用三角函数线比较大小的步骤：
①角的位置要“对号入座”；
②比较三角函数线的长度；
③确定有向线段的正负.
?2?利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：
①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.,
②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向.
2．已知a＝sin，b＝cos，c＝tan，则( )
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
D [由如图的三角函数线知：
MP＜AT，因为＞＝，
所以MP＞OM，
所以cos＜sin＜tan，
所以b＜a＜c.]
3．设＜α＜，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果＜α＜，上述长度关系又如何？
[解] 如图所示，当＜α＜时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，AT＞MP＞OM；当＜α＜时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′＞M′P′＞OM′.
利用三角函数线解三角不等式
[探究问题]
1．利用三角函数线如何解答形如sin
α≥a，sin
α≤a(|a|≤1)的不等式？
提示：对形如sin
α≥a，sin
α≤a(|a|≤1)的不等式：
图①
画出如图①所示的单位圆；在y轴上截取OM＝a，过点(0，a)作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′，并作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin
α≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin
α≥a的角α的范围．
2．利用三角函数线如何解答形如cos
α≥a，cos
α≤a(|a|≤1)的不等式？
提示：对形如cos
α≥a，cos
α≤a(|a|≤1)的不等式：
图②
画出如图②所示的单位圆；在x轴上截取OM＝a，过点(a,0)作x轴的垂线交单位圆于两点P和P′，作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos
α≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos
α≥a的角α的范围．
【例3】 利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．
(1)cos
α＞－；(2)tan
α≤；(3)|sin
α|≤.
思路点拨：
[解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是
.
(2)如图，由正切线知角α的取值范围是
.
(3)由|sin
α|≤，得－≤sin
α≤.
如图，由正弦线知角α的取值范围是
.
1．将本例(1)的不等式改为“cos
α＜”，求α的取值范围．
[解] 如图，由余弦线知角α的取值范围是
.
2．将本例(3)的不等式改为“－≤sin
α＜”，求α的取值范围．
[解] 由三角函数线可知sin＝sin＝，sin＝sin＝－，且－≤sin
θ＜，故θ的取值集合是
∪(k∈Z)．
3．利用本例的方法，求函数y＝的定义域．
[解] 要使函数有意义，只需2sin
x－1≥0，即sin
x≥.
由正弦线可知定义域为(k∈Z)．
利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法
?1?首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.
?2?角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.
?3?写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求.
提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合.
1．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题
(1)三角函数线的画法，见类型1；
(2)利用三角函数线比较大小，见类型2；
(3)利用三角函数线解简单不等式，见类型3.
2．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重．
3．利用三角函数线解三角不等式的方法
正弦、余弦型不等式的解法
对于sin
x≥b，cos
x≥a(sin
x≤b，cos
x≤a)，求解关键是寻求恰当的点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围
正切型不等式的解法
对于tan
x≥c，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围
1．下列判断中错误的是( )
A．α一定时，单位圆中的正弦线一定
B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．α和α＋π有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
B [A正确；B错误，如与有相同正弦线；C正确，因为α与π＋α的终边互为反向延长线；D正确．]
2．如果OM，MP分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MP＜OM＜0
B．MP＜0＜OM
C．MP＞OM＞0
D．OM＞MP＞0
D [角β＝的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角α＝的余弦线和正弦线满足OM＞MP＞0.]
3．若a＝sin
4，b＝cos
4，则a，b的大小关系为________．
a＜b [因为＜4＜，
画出4弧度角的正弦线和余弦线(如图)，
观察可知sin
4＜cos
4，即a＜b.]
4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin
α≥；(2)cos
α≤－.
[解] (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则角α的终边在如图①所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为
.
图① 图②
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则角α的终边在如图②所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为.
PAGE1.2.2 同角三角函数的基本关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)
1.通过利用单位圆推导出同角三角函数的基本关系式，培养学生逻辑推理和直观想象素养.2.通过同角基本关系式的运用，提升学生的运算能力.
1．平方关系
(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
(3)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
[提示] 成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．
2．商数关系
(1)公式：＝tan_α.
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．
(3)tan
α＝的变形公式：sin
α＝cos
αtan
α(α≠kπ＋，k∈Z)；cos
α＝.
1．化简的结果是( )
A．cos
B．－cos
C．sin
D．－sin
A [＝＝＝cos.]
2．若sin
α＝，且α是第二象限角，则tan
α的值等于( )
A．－
B.
C．±
D．±
A [∵sin
α＝且α是第二象限角，∴cos
α＝－
eq
\r(,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))))＝－，∴tan
α＝＝－.]
3．已知tan
α＝，且α∈，则sin
α的值是
．
－ [由tan
α＝得＝，
即cos
α＝2sin
α.
又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，
∴sin
α＝±，又∵α∈，∴sin
α＝－.]
4．已知＝2，则sin
αcos
α的值为
．
[由已知得＝2，
解得tan
α＝3，
∴sin
αcos
α＝＝＝＝.]
知一求二
【例1】 (1)已知α∈，tan
α＝2，则cos
α＝
.
(2)已知cos
α＝－，求sin
α，tan
α的值．
思路点拨：(1)根据tan
α＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cos
α.
(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin
α，tan
α.
(1)－ [由已知得
由①得sin
α＝2cos
α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，又α∈，
所以cos
α＜0，
所以cos
α＝－.]
(2)[解] ∵cos
α＝－＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin
α＝＝
＝，
tan
α＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin
α＝－＝－，tan
α＝.
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．
(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．
提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．
1．已知sin
α＋3cos
α＝0，求sin
α，cos
α的值．
[解] ∵sin
α＋3cos
α＝0，
∴sin
α＝－3cos
α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos
α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
∴cos
α＝±.
又由sin
α＝－3cos
α，可知sin
α与cos
α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，cos
α＝－，sin
α＝；
当角α的终边在第四象限时，cos
α＝，sin
α＝－.
给值求值
[探究问题]
1．齐次式包含齐次分式和齐次关系式，如何由某角的正切值求该角的齐次分式或齐次关系的值？
提示：在已知某角的正切值的情况下，把齐次式转化为含正切的关系式代入求值．
2．sin
α±cos
α与sin
αcos
α有怎样的关系，在求值中能否相互转化？
提示：(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α，若含sin
α＋cos
α＝t，则sin
αcos
α＝.这三者在求值中是可以转化的．
【例2】 (1)已知sin
α＋cos
α＝，α∈(0，π)，则tan
α＝
.
(2)已知＝2，计算下列各式的值：
①；
②sin2α－2sin
αcos
α＋1.
思路点拨：(1)法一：→→→
法二：→
→
(2)→
(1)－ [法一：(构建方程组)
因为sin
α＋cos
α＝，①
所以sin2α＋cos2α＋2sin
αcos
α＝，
即2sin
αcos
α＝－.
因为α∈(0，π)，所以sin
α＞0，cos
α＜0.
所以sin
α－cos
α＝＝＝.②
由①②解得sin
α＝，cos
α＝－，
所以tan
α＝＝－.
法二：(弦化切)
同法一求出sin
αcos
α＝－，＝－，＝－，
整理得60tan2α＋169tan
α＋60＝0，解得tan
α＝－或tan
α＝－.
由sin
α＋cos
α＝＞0知|sin
α|＞|cos
α|，故tan
α＝－.]
(2)[解] 由＝2，化简得sin
α＝3cos
α，
所以tan
α＝3.
①法一(换元)原式＝＝＝.
法二(弦化切)原式＝＝＝.
②原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
1．将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈，”其他条件不变，结果又如何？
[解] 由例(1)求出2sin
αcos
α＝－，
因为α∈，所以sin
α＜0，cos
α＞0，
所以sin
α－cos
α＝－
＝－＝－.
与sin
α＋cos
α＝联立解得sin
α＝－，cos
α＝，
所以tan
α＝＝－.
2．将本例(1)的条件“sin
α＋cos
α＝”改为“sin
αcos
α＝－”，其他条件不变，求cos
α－sin
α.
[解] 因为sin
αcos
α＝－＜0，所以α∈，所以cos
α－sin
α＜0，
cos
α－sin
α＝－＝－＝－.
1．sin
α＋cos
α，sin
α－cos
α，sin
αcos
α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α.
2．已知tan
α＝m，求关于sin
α，cos
α的齐次式的值：
解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin
α，cos
α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos
α≠0，所以可除以cos
α，这样可将被求式化为关于tan
α的表达式，然后代入tan
α＝m的值，从而完成被求式的求值．
提醒：求sin
α＋cos
α或sin
α－cos
α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
应用同角三角函数关系式化简
【例3】 (1)化简＝
.
(2)化简·.(其中α是第三象限角)
思路点拨：(1)将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．
(2)首先将tan
α化为，然后化简根式，最后约分．
(1)1 [原式＝＝＝1.]
(2)原式＝·
＝·
＝·
＝·.
又因为α是第三象限角，所以sin
α＜0.
所以原式＝·＝－1.
角函数式化简的常用方法
?1?化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
?2?对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
?3?对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
提醒：在应用平方关系式求sin
α或cos
α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.
2．化简下列各式：
(1)tan
α·(α是第二象限角)；
(2).
[解] (1)tan
α·＝tan
α·
＝tan
α·＝·.
因为α为第二象限角，
所以sin
α＞0，cos
α＜0，
所以原式＝·＝－1.
(2)
＝
＝＝－2.
应用同角三角函数关系式证明
[探究问题]
1．证明三角恒等式常用哪些方法？
提示：(1)从右证到左．
(2)从左证到右．
(3)证明左右归一．
(4)变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ＝NP或证＝等．
2．在证明＝sin
α＋cos
α时如何巧用“1”的代换．
提示：在求证＝sin
α＋cos
α时，观察等式左边有2sin
αcos
α，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，
所以等式左边＝
＝
＝
＝sin
α＋cos
α＝右边．
【例4】 求证：＝.
思路点拨：解答本题可由关系式tan
α＝将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．
[证明] 法一：(切化弦)
左边＝＝，
右边＝＝.
因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos
α)(1－cos
α)，
所以＝，所以左边＝右边．
所以原等式成立．
法二：(由右至左)
因为右边＝
＝
＝
＝＝
＝左边，
所以原等式成立．
1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．
2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
提醒：解决此类问题要有整体代换思想．
3．求证：(1)1＋tan2α＝；
(2)＝.
[证明] (1)左边＝1＋＝＝＝右边．
∴1＋tan2α＝.
(2)左边＝
＝
＝＝
＝＝右边．
故等式成立．
1．利用同角三角函数的基本关系式，sin
α，cos
α，tan
α可知一求二．
2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求是：
①项数尽量少；②次数尽量低；③分母、根式中尽量不含三角函数；④能求值的尽可能求值．
3．已知sin
α＋cos
α，sin
α－cos
α，sin
α·cos
α三个中的一个，便可求出另外两个，进而求出sin
α，cos
α，tan
α等．
4．关于sin
α，cos
α的齐次式，不管是等式还是给定条件后的分式，可同除以cos
α化成α的正切函数进行相关计算．注意“1”的代换．
1．下列各式中成立的是( )
A．sin2α＋cos2β＝1
B．tan
α＝(α任意)
C．cos2＝1－sin2
D．sin
α＝
C [A中不是同角；B中α≠kπ＋(k∈Z)；D中符号不能确定；只有C正确．]
2．已知α∈，cos
α＝，则tan
α＝( )
A．±
B.
C．－
D.
A [因为cos
α＝，且α∈，所以sin
α＝±，所以tan
α＝＝±.]
3．已知tan
α＝－，则的值是
．
[因为tan
α＝－，所以＝＝eq
\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－1)＝.]
4．(1)化简，其中α是第二象限角；
(2)求证：1＋tan2α＝.
[解] (1)因为α是第二象限角，所以sin
α＞0，cos
α＜0，
所以sin
αcos
α＜0，
所以＝
＝＝－sin
αcos
α.
(2)证明：1＋tan2α＝1＋＝＝.
PAGE1.3 三角函数的诱导公式
第1课时 公式二、公式三和公式四
学
习
目
标
核
心
素
养
1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式二、三、四2.能够准确记忆公式二、公式三和公式四．(重点、易混点)3.掌握公式二、公式三和公式四，并能运用诱导公式解决一些三角函数的化简、求值、证明问题．(难点)
1.通过对诱导公式的推导，提升学生的数学抽象和直观想象素养.2.通过诱导公式的应用，培养学生的数学运算素养.
1．诱导公式二
终边关系
图示
角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式
sin(π＋α)＝－sin
α，cos(π＋α)＝－cos
α，tan(π＋α)＝tan
α
2.诱导公式三
终边关系
图示
角－α与角α的终边关于x轴对称
公式
sin(－α)＝－sin
α，cos(－α)＝cos
α，tan(－α)＝－tan
α
3.诱导公式四
终边关系
图示
角π－α与角α的终边关于y轴对称
公式
sin(π－α)＝sin
α，cos(π－α)＝－cos
α，tan(π－α)＝－tan
α
思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？
(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
[提示] (1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
1．下列说法中正确的是( )
A．公式二～四对任意角α都成立
B．由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)
C．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin
C
D．以上说法均错误
C [A错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋，k∈Z.
B错误由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，
故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．
C正确因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C.
故选C.]
2．tan(－2
025°)的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D.
C [tan(－2
025°)＝－tan
2
025°＝－tan(5×360°＋225°)
＝－tan
225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan
45°＝－1.]
3．已知tan
α＝3，则tan(π＋α)＝
.
3 [tan(π＋α)＝tan
α＝3.]
4．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是
．
－ [由sin(π＋α)＝－得－sin
α＝－即sin
α＝，所以sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin
α＝－.]
给角求值问题
【例1】 求下列各三角函数值：
(1)sin
1
320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
[解] (1)法一：sin
1
320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin
240°＝sin(180°＋60°)＝－sin
60°＝－.
法二：sin
1
320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin
60°＝－.
(2)法一：cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos＝－.
法二：cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan
945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan
225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan
45°＝－1.
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
?1?“负化正”——用公式一或三来转化；
?2?“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
?3?“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
?4?“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
1．求下列各三角函数值：
(1)cos；
(2)tan(－765°)；
(3)sin
·cos
·tan
.
[解] (1)cos＝cos＝cos
＝cos＝cos＝.
(2)tan(－765°)＝tan(－720°－45°)＝tan(－45°)＝
－tan
45°＝－1.
(3)sin·cos·tan
＝sincostan
＝－sin×cos×tan
＝－××1＝－.
化简求值
【例2】 (1)化简：＝
；
(2)
化简：.
(1)1 [＝＝＝＝1.]
(2)[解] 原式＝
＝
＝＝1.
三角函数式化简的常用方法
?1?利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
?2?切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
?3?注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan.
2．化简：
(1)；
(2)化简：.
[解] (1)原式＝
＝＝－1.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
给值(式)求值问题
【例3】 (1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( )
A.
B.
C.
D．－
(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
思路点拨：(1)→
(2)→
→
(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝sin
α＋cos
α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin
αcos
α
＝＝.]
(2)[解] ∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－
＝－eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
1．例3(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．
[解] cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]
＝－cos(α－75°)＝.
2．将例3(2)的条件“cos(α－75°)＝－”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？
[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，
所以α－75°是第四象限角．
由
解得或
(舍)
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
解决条件求值问题的两个技巧
?1?寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.
?2?转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
利用诱导公式化简或证明问题
[探究问题]
1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．
当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin
α；
当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin
α.
2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan
α可知tan(kπ＋α)＝tan
α(其中k∈Z)．
【例4】 设k为整数，化简：
.
思路点拨：本题常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．
[解] 法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝
＝＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
所以原式＝＝－1.
明确三角函数式化简的原则和方向
?1?切化弦，统一名.
?2?用诱导公式，统一角.
?3?用因式分解将式子变形，化为最简.
提醒：注意分类讨论思想的应用.
3．求证：＝－tan
α.
[证明] 左边＝
＝＝－tan
α＝右边，
∴＝－tan
α.
1．各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
1．下列命题成立的是( )
A．诱导公式二、三、四中，角α可以为任意角
B．当α为钝角时，cos(π－α)＝cos
α
C．若α＋β＝π，则sin
α＝sin
β
D．若α＋β＝0，则tan
α＝tan
β
C [A错，因为α需使正切有意义；B错，不论α为任意角，都有cos(π－α)＝－cos
α；C正确，因为sin
β＝sin(π－α)＝sin
α；D错，tan
β＝tan(－α)＝－tan
α.]
2．tan等于( )
A．－ B. C．－ D.
C [tan＝tan＝tan
＝tan＝－tan＝－.]
3.的值等于
．
－2 [原式＝
＝
＝＝＝－2.]
4．化简(1)；
(2).
[解] (1)
＝
＝＝－cos2α.
(2)
＝＝－cos
α.
PAGE第2课时 公式五和公式六
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解角－α与角α的对称性，能借助单位圆，利用定义推导出公式五、公式六.2.能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点)
1.通过对公式五、公式六的推导，提升学生的素养.2.通过诱导公式的应用，培养学生的数学运算直观抽象和逻辑推理素养.
1．诱导公式五、六
2．公式五和公式六的语言概括
(1)函数名称：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值．
(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．
思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
[提示] sin＝sin
＝sin＝cos
α，
cos＝cos＝－cos
＝－sin
α.
1．化简：sin＝( )
A．sin
x
B．cos
x
C．－sin
x
D．－cos
x
B [sin＝sin＝cos
x．]
2．若α∈，则＝( )
A．sin
α
B．－sin
α
C．cos
α
D．－cos
α
B [∵sin＝－cos
α，
又∵α∈，∴＝＝|sin
α|＝－sin
α.]
3．计算：sin211°＋sin279°＝
.
1 [因为11°＋79°＝90°，
所以sin
79°＝cos
11°，
所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]
4．化简sin＝
.
－cos
α [sin
＝sin
＝－sin＝－cos
α.]
利用诱导公式化简求值
[探究问题]
1．公式一～四与公式五～六的主要区别是什么？
提示：公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变，在应用诱导公式中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”．即针对统一的诱导公式形式“k·90°±α(k∈Z)”或“k·±α(k∈Z)”中的k而言．
2．解决给值求值问题的策略是什么？
提示：(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
【例1】 (1)已知cos
31°＝m，则sin
239°tan
149°的值是( )
A.
B.
C．－
D．－
(2)已知sin＝，则cos的值为
．
思路点拨：(1)
(2)
(1)B (2) [(1)sin
239°tan
149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin
59°(－tan
31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan
31°)
＝－cos
31°·(－tan
31°)＝sin
31°
＝＝.
(2)cos＝cos
＝sin＝.]
1．将例1(2)的条件中的“－”改为“＋”，求cos的值．
[解] cos＝cos
＝－sin＝－.
2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin的值．
[解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角，
又sin＝，所以－α是第二象限角，
所以cos＝－，
所以sin＝sin＝－sin＝－cos＝.
诱导公式应用中解决给值求值的一般步骤
?1?定关系：确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：与；与；与等.常见的互补关系有：与；＋α与等.
?2?定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式.
?3?得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到答案.
利用诱导公式证明恒等式
【例2】 (1)求证：
＝.
(2)求证：
＝－tan
θ.
[证明] (1)右边＝
＝
＝
＝＝
＝＝左边，
所以原等式成立．
(2)左边＝
＝＝－tan
θ＝右边，
所以原等式成立．
三角恒等式的证明策略
?1?遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.
?2?常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法.
1．求证：＝－1.
[证明] 因为
＝
＝＝＝－1
＝右边，所以原等式成立.
诱导公式的综合应用
【例3】 已知sin
α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
思路点拨：→
→
→
[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sin
α≤1，所以sin
α＝－.
又α是第三象限角，
所以cos
α＝－，tan
α＝＝，
所以·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α
＝－tan2α＝－.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角之间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.
2．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，求下列各式的值：
(1)sin
α－cos
α；
(2)sin3＋cos3.
[解] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sin
α＋cos
α＝ ①，将①两边同时平方，得1＋2sin
α·cos
α＝，故2sin
α·cos
α＝－.
又＜α＜π，∴sin
α＞0，cos
α＜0.
(1)∵(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
α·cos
α＝1－＝，∴sin
α－cos
α＝.
(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α＝(cos
α－sin
α)(cos2α＋cos
α·sin
α＋sin2α)＝×＝－.
1．诱导公式一～六可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的形式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“奇变偶不变，符号看象限”．
2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成内的三角函数值”这种方式求解．用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤：
1．下列与sin
θ的值相等的是( )
A．sin(π＋θ)
B．sin
C．cos
D．cos
C [sin(π＋θ)＝－sin
θ；sin＝cos
θ；
cos＝sin
θ；cos＝－sin
θ.]
2．sin
95°＋cos
175°的值为( )
A．sin
5°
B．cos
5°
C．0
D．2sin
5°
C [sin
95°＝cos
5°，cos
175°＝－cos
5°，
故sin
95°＋cos
175°＝0.]
3．已知cos
α＝，且α为第四象限角，那么cos＝
.
[因为cos
α＝，且α为第四象限角，
所以sin
α＝－＝－，
所以cos＝－sin
α＝.]
4．化简：
.
[解] 原式
＝
＝＝＝.
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